1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 67
Текст из файла (страница 67)
,ОП' С другой стороны, многочлен/(YI'У2'•.• , У г ),рассматриваемый над полем Р(Х 1 , Х 2 , ••• , Х n ), будет симметрическим... , Y r~тносительно Уl' У2'qJ ('t 1 ,И поэтому представим в виде многочлена'{ 2 , ••• , 't r ). КОЭффИllиенты многочленав началенастоящегопараграфа,qJ будут, как показановыражатьсячерез коэффициентымногочлена/при помощи Сложения и вычитания, а поэтому они такжебу дут многочленами от 01'к искомому выражению для02' ...• ОП' ЭТО приводит, очевидно,/ через 01' 02' ••.• О"' 't l' '{ 2 , •••• '{,.Пр J1 М е р.
Многочленf (Xt.Х 2 • Ха. У!. У2) =ХIХ2ХЗ-ХIХ2Уt-ХIХ2У2-ХtХз!ll-ХIХ3У2-Х2ХЗУI-Х~ЗУ2снмметричен какпонеизвестнымХl'Х2 •Хз.таки+ Х 1 УIУ2 +X2YtY2 +Х яУttJ2понеизвестнымYt,У2'ноне будет симметрическим по всей совокупности пяти неизвестных, как обнаруживается хотя бы при транспозиции неизвестных Х 1 и Уl' Найдем выражение для f через (11' а2' (1з, 1:'1' 1:'2:f=Хt Х 2 Х З -(Х 1 Х 2 + Х 1 Х з + Х 2 Х з ) У! + (Х 1 + Х 2 +Х г ) УIУ2(ХI Х 2 + ХJХ з + Х 2 Х з ) У2 += (1;,-(12Уl-(12У2 + (1JYIY2 ...
(Jз-(J21:'1 +(111:'2'Доказанная сейчас теорема распространяется, понятно, также наслучай трехи большего числа систем неизвестных.Для многочленов, симметрических по двум системам неизвестных,справедливачерезтакжет е о р е м аэлементарныесправедливаследующаяОбъедин,ен,н,аяе д и н с т в е н н о с т исимметрическиемногочлены.представленииИными словами,т е о р е м а:cucme.kta8ле.м.ен,тарн,ых си.м.,м,етрических ,м,когО'lлен,О8 от задан,н,ых систе.Аен,еизвестн,ых Х 1 • Х 2 'виси,м,а н,ад nоле,м, Р..••• Х n и Уl' У2' .•• , У, алгебраически н,езаПусть, в самом деле,существуетмногочленqJ (01' 02' ••• , Оп' '{ 1 • '{ 2 , ...• '{,)над полемР,равныйнулю,хотя не все егокоэффициенты нули.Этот многочлен можно рассматривать как многочленС коэффициентами.
являющимися многочленамиот'IjJ (Т 101''{ 2 , •• :. '{,)O~."'.Оп'334МНОГОЧЛЕНЫотНЕСКОЛЬКИХ[ГЛ.НЕИЗВЕСТНЫХ11Можно считать, следовательно, что 'Ф-многочле.н от 't'l' 't'z, ••. , 't'rнад полем рациональных дробейQ = P(x 1 ,СистемаполемХ 2 , ••• , Хn )'У2' ... , У r остается алгебраически независимой надесли бы для этой системы существовала алгебраическаяYl'Q:зависимость с коэффициентами из Q, то, освобождаясь от знаменателей, мы получили бы алгебраическую зависимость в системе (4)противпредположения.Опираясьнатеоремуединственностиизпредыдущего параграфа, мы получаем теперь, что система 't'l' Т2' •.•• • • , 't'r также должна быть алгебраически независимой над полем Q,а поэтому все коэффициенты многочлена 'Ф равны нулю.
Эти коэффициенты являются, однако, многочленами от 0'1,0'2' •.. , О'n' а поэтому,снова на основании теоремы единственности для случая одной системынеизвестных (на этот раз системы X 1 , Х 2 •• •• ,Х n )' все КОЭффИllИенты этих последних многочленов сами равны нулю. Этим доказано,что в противоречие с предположением все коэффициенты многочленаq>должны быть равными нулю.§ 54*.Результант.
Исключение неизвестного. Дискриминант1 (xЕсли дан многочлен1 , Х 2 , ••• , х n ) из кольца Р [Х 1 , Х 2 ' ••• , Х n ]'то его решен,ие,м называется такая система значений для неизвестныхвзятых в поле Р или в не котором расширении Р этогорая обращает многочленВсякийрешен,ия,ми:тов11 (а 1 , а 2 , ••• , аn ) = о.,мн,огочлен, 1, стеnен,ь которого большеесликачествеа2 ,поля, котов нуль:неизвестноеX1входит••• , а n можно взятьн,уля, обладаетв запись этого многочлена,посуществуэлементы из поля Р, лишь бы степень многочленапроизвольные1 (Х 1 , CGz, ... , аn )оставалась строго положительной, а затем, используя теорему о существовании корня (§49), взять такое расширение Рполя Р, в котором многочлена 2 , ••• , а n ) от одного неизвестного Х 1 обладает1 (x 1 ,корнем CG1 • МЫ видим -\3месте с тем, чтопеничемnnсвойство многочлена стеот одного неизвестного обладать во всяком поле не болеекорнямидлямногочленовотнесколькихнеизвестныхперестает быть справедливым.Если дано несколькомногочленов отnнеизвестных, то можнопоставить вопрос о разыскании решений, общих для всех этих многочленов, т.
е.решений той системы уравнений, которая получаетсяв результате приравнивания заданныхGлучай этой задачи, а им~нномногочленовнулю. Частныйслучай систем линейных уравнений,РЕЗУЛЬТАНТ. ИСКЛЮЧЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО. ДИСКРИМИНАНТ§ 54}ужебылподвергнутвовторойглаведетальному335рассмотрению.Однако для ПРОТИВОПОЛОiКного частного случая одного уравнения отодногознаемнеизвестного,окорняхром расширениипроизвольнойноничего,имеющегокромеосновногонелинейнойпроизвольнуютого,степень,что они существуютвмыненекотополя. Разыскание и изучение решенийсистемыуравнений отнескольких неизвестных является, понятно, еще более сложной задачей, выходящей,впрочем,за рамки нашегоматематическойнауки-курса и составляющей предмет особойалгебраическойгеометрии.Мыже здесьограничимся лишь случаем системы д в у х уравнений произвольноi1степени отд в у хнеизвестных ипокажем,что этот случайбыть сведен к случаю о д н о г о уравнения ОТ О д Н О Г Оможетнеизвестного.Займемся сперва вопросом о существовании общих корней у двухмногочленов от одного неизвестного.
Пусть даны многочлены+ a1xn - 1 + ... +an_1x+an,к(х) = box s + b1x s - 1 + ... + bs_1x+ bs/(х) = aQx n}(1)над полем Р, причем а о =1= О, Ь о =1= о.Из результатов предшествующей главы без труда вытекает, что.юtогочлены / (х) u g (х) тогда u только тогда обладают общи,,}tкорне.М в некоторо,м, расширении поля Р, если они не являютСflвзаиAlНО nросты,м,и. Таким образом, вопрос о существовании общихкорней у данных многочленов может быть решен применением к ни\{алго ритма Евклида.Сейчас мы укажем другой метод для получения ответана этотвопрос.
Пусть Р будет некоторое такое расширение поля Р, в которомfn корней СХ 1 ' СХ 2 ' ••• , СХn ' а g (х) имеет s корней~s; В качестве Р можно взять поле разложения для(х) имеет-~1' ~2'••• ,про изведенияf(х)g (х).Элемент(2)1=1 }=1поля Р называется результанто,м, многочленовj (х) и g (х). Очевидно,что Лх) u g (х) тогда и только тогда обладают 8 jS общи",! кор·не,м" если R и, к) = О. Так какsк(х) = Ь о П (х- ~J)}=1ипоэтомуsg(cxJ = Ьо П (CXI-~ J)'1'=1то результантR (/,к) может быть записан также в видеnR (f, К) = a~ П g(cx1:1j ).(3)836МНОГОЧЛЕНЫI(x)Многочленыиотg(x)НЕСКОЛЬКИХ[ГЛ.НЕИЗВЕСТНЫХиспользуютсяв11определении резуль,танта не симметричным образом. Действительно,nsR(g, f)=Ь~а:ПП(~j-CGi)=(-l)nSR(f, g).(4)j=i i=l(3) R (g, /)В соответствии сможно записать в видеsR (g, f) = b~ П/фj)'j=lВыражениечленовиI(x)для(2)g(x)результантатребует знания корней многои поэтому практически бесполезно для решениявопроса о существовании у этих двух многочленов общего корня.Оказывается, однако, что результант R (/, g) .может быть nредсr;nавлен в sude .многочлена от коэффициентов а о , а 1 , ••• , а n ,Ь о , Ь 1 , ••• ,.многочленовbsиI(x)g(x).Возможность такого представления легко вытекает из результатов предшествующего параграфа.
В самом деле, формулаR ({,тантg)(2)показывает, что резульявляется симметрическим многочленом от двух систем неизвест. ных: системы ~,a2' ..-., аn И системы ~1' ~2' ... , ~S' ОН представим поэтому,какдоказано в концепредшествующегопараграфа, в видемногочлена отэлсмеItтарных симметрических многочленов по этим двум системам неизвестных,т.е.,ввидуформулВьета,ввидемногочленаотчастныхаоЬt =а---'- ,n, и ь:' j = 1, 2, ... , s; множитель a~ b~, включенный в (2),1, 2,освобождаетполученноевыражениебыло бы затруднительнымота о и ЬО взнаменателях.Впрочем,разыскивать выражение ,результанта через коэффициенты при помощи методое, изложенных в предшествующих параграфах,имывоспользуемсяинымприемом.Выражение для результанта многочленов(1),которое мы найдем,будет годно для любой пары таких многочленов.
Мы будем считать,точнее говоря,что с и с т е м ак о р н е й(6)многочленовмых(1) является системойнеизвестных,т.е.системойn+s независиn+s элементов,а л г е б р а и ч е с к и н е з а в \1 с И М Ы Х н а д п о л е м Р в смыслеМы получимвыражениедля§ 51.результанта, которое, рассматриваемое как многочлен от неизвестных (6) (после замены по формулам Вьета коэффициентов через корни), будет равно правой частиравенстваных (6).(2},Понимаятакже рассматриваемойравенствоименновкак многочлен от неизвестсмыслетакогоравенства относительно системы неизвестных(6),тождественногомы докажем, что~РЕЗУЛЬТАНТ. ИСКЛЮЧЕНИЕ541резульmан,mR (f,ДИСКРИМИНАНТ387g) .flflогочлен,О8 (1) равен: следующему Оllреdелu+ s:rnелю IlорядfCа nаоа1.•.аоаlаЬО•..
bsЬОЬ1местах}а"а"а1Ь1Ь1стоптмы отметимстрокS(7)InbsЬОдостаточно ясно;"'"аоD=(на свободныхНЕИЗВЕСТНОГО.стро"f••. bsнули).Строение этого определителялишь,чтонаего главной диагоналистоит s раз I\оэффициент ао и затем n раз коэффициент bs.Для доказательства, нашего утверждения мы двумя способамивычислимпроизведение a~ b~DM, где М естьгательный определительМ=nпорядкаследующий вспомо+ s:~ ~+S-IIBn+s'2~:H-1a n + s- 1а" +S-12~ ~ +5 - 2~~H-2~:+S-2аn(1".~;~~~;~11~21~s11+5 - 2+5 -a~+'-11(("+5-222nа 12а 2J((2аlаза111In"М является определителем Вандермонда и поэтому равен, как указано встроки,§ 6,произведению разностейпричемизвсякогоэлементов его предпоследнейПDедшествующегоэлементавычиrаеТСllлюбой следующпй элемент. Таким образом,,М=и поэтому,ПI<i<i<sввидуВычислим,nФi-Рj)'П ПФj-CG.j.}=1 i=l(CG,-CG j )(4),с другойстороны,произведениетеоремы об определителе произведенияветствующиеП1<1<I<nматрицыиучитывая,чтоDMнаоснованииматриц.
Перемножая соотвсеаявляютсякорнями338МНОГОЧJlЕНЫfдля(х), а все ~от НЕСКОJlЬКИХкорнями для-g (х),(гл.НЕИ3ВЕСТНЫХ11мы получим:DM=~;-ч (~!) ~~-1, (~2)... ~~-!f (~s)~~-2f(~,) ~~.-2t(~2) ... ~~-2f(~s). . . . . . .......M(~l)~J (~2)• •• ~sf ~s)•.. t( s)f(~2)fФl)ооООооооa~-Ig (а,)а 2n-, gоО. .. . .оо(а,).•.а n-1gnn -2 g (a )g•••аn( аn)оооОООоооa1g (а 1 )a2g (а2)••• anll (а n )оооg(at>R (!Мz)Il,(a n )n-9g ( а 1 )а!а2...... ..... ..n-2 g ( а n ).... .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
