1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 66
Текст из файла (страница 66)
,аn), которыйнами в качестве выражения для симметрического многочлена/(Х 1 , Х 2 , ••• , Х n ) через элементарныене только принадлежат к полю Р,коэффициенты .лtногочлена/симметрические МНОГО<Jлены,но даже выражаются черезпри помощи сложения и вычитания,т. е. принадлежат к кольцуL.порожсаеJrtому коэффициентамимногочлена / внутри поля Р.В самом деле, все коэффициенты многочлена <Р1 (см. формулу(5)предшествующего параграфа) относительно неизвестных Х 1 , Х 2 , '"••• , Х n суть, как легко видеть, целые кратные от коэффициента а опри высшем члене МНОГО<JленаПустьужедоказано,что/ки поэтому принадлежат к кольцупринадлежатLвсеL.коэффициенты(относительно Х 1 , Х 2 ' ••• , Х n ) многочленов Ф1' <p\j.' ••• , <Pl' Тогдакоэффициенты многочлена /Е = / - <Pl ~ <Р2 - ...
- <Pl также будутпринадлежатькаL,поэтомувLлежат и все коэффициентыМНОГО<Jлена<Pl+1 относительно Х 1 , Х 2 , ••• , Х n 'С другой стороны, степен,ь мн,огочлена <р (Jl' а2' ... , аn) ПОсовокупности а1' <12' ••• , аn равн,а степен,и. которую имеет JrtHt?го'tлен/(Х 1 , Х 2 ,... ,Х n ) ПО каждому из неизвесmн,ыхxj•В самомделе, так как(2)из предшествующего. пара графа есть высший член/,тоk]МНОГО<Jленааизпобудет степеньюпоэтому, ввиду симметричности,fотносительно неизвестного Х 1 ,и относительно любого другогонеизвестных' X i .
Однако степень <Pl по совокупности(5) из предшествующего параграфа, числу(k 1 - k 2 )+ (k 2 -kз )(Jравна,+ ... + (k n - 1 - k n ) + k n = k 1 •11Далее, так как старший членмногочленаниже старшего членамногочлена /, то степень /1 по каждому из Xj будет не выше чемстепень / по каждому из этих неизвестных. Однако МНОГО<Jлен <Р2играет для/1такую же роль, как <Р1 длясовокупности (J равнастепени/1пcf/,поэтому степень <Р2 покаждо'lfУ из X i , т. е. она 'Небольше чем k 1 и Т. д. Таким образом, и степень <{J (<11' <12' .•. , аn)не выше чем k 1 • Поскольку же никакое <{Jj с ё> 1 не может содер-§ 53)ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О СИММЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНАХжатьвсеер (а1' uз,а2,0"1'...
,.•. , а" в тех жео"n) В точности равнастепенях,чтои'Р1'то329степеньТем самым наше утверждениеk1•доказано.Наконец, пусть aO"ilO"~2 ••• O"~, будет один ИЗ членов многочленаер (0"1' 0"2' ... , а,,). Назовем весо.м этого члена числот. е. сумму показателей, умноженных на индексы соответствующих Ui'Это будет, иными словами, степень взятого нами члена по совокупности неизвестных Х 1 , Х 2 , ••• , Х n ' как вытекает из доказанной в § 51теоремы о степени произведения многочленов. Тогда справедливоследующееутверждение:/Если одн,ородн,ый си.м.метри'ееСlCиЙ .многО'lлен,и.меетпосовокупностивыражен,ияравн,огон,еизвестныхs,(х l' Х 2 , ••• , х n )то все 'lлен,ыего0'2' .•.
, О'n) 'lерез о" будут одного и того же веса,IP (0'1's.Действительно,если(2)изпредшествующеговысший ЧJ1ен однородного многочленаОднако вес члена 'Р1 равен, по(k 1 -k 2 )степень/,(5) из предшествующего параграфа,+ 2 (k 2 -k з ) + ... + (n-l) (k n -1-kn)= k1т. е. также равенs.параграфа естьтоДалее, многочленОДНОРОДНЫХ многочленов степениs+ Ilkn =+ k + k з + ...
+ k n ,2/1 = /-ер1как разность двухсам будет однородным степениа поэтому и член 'Р2 многочлена ер будетвесаss,и т. д.Симметрические рационалыlеe дроби. Основнап теорема о симметрическихмногочленахможетбытьраспространенарациональных дробей. Назовем рациональную дробьвестных X 1 , Х 2 'самой себе принаслучаиf от n неиз••• , х n си.м.метри'lеС1<Ой, если она остается равнойлюбой перестановкенеизвестных. Легко показать,что это определение не зависит от того, берем ли .мы дробь lg илиравную ей дробь ~. Действительно, если <о есть некоторая переgoстановка наших неизвестных, а ер- произвольный многочлен от этихнеизвестных, то условимся через ерШ .обозначать тот многочлен,в который переводится IP перестановкой <О. По предположению, прилюбом <о330т.
е.МНОГОЧЛЕНЫfgw = gfw.отНЕСКОЛЬКИХ[гл.НЕИ3ВЕСТНЫХ11С другой стороны, из1..=ь..gследуетfgo=gfo,него равенства наоткуда[,gojg: =gWЛ.Умножая обе части послеД4мы получаем:откуда после сокращения наследует:jro =gf = go'Оt:fg: = g/:, т. е.•Справедлива следующая т е о р е м а:Всякая симметрическая рm,ио/{,аль/{,ая дробь от /{,еизвест/{,ых• •• , Х N С коэффицие/{,тами из поля Р представима в видеX1• Х2 •рацио/{,альной дроби от элеме/{,тар/{,ых симметрических многочле/{,ов 0'1. 0'2' ••• , О'n С коэффицие/{'тами, с/{,ова nри/{,адлежащими к Р.Действительно, пусть дана симметрическая рациональная дробьf (Xl.Х2 • .... Х n )g (Xl'Х 2 • • •• , Х n )'fПредполагая ее несократимой, можно было бы доказать, что ии gбудут симметрическими многочленами.
Следующий путь будет,однако,болееческим,товсехn! -tпростым.умножаемЕслимногочленов,gмногочленчислительине является симметризнаменательполучающихсяизgнаприпроизведениевсевозможныхнетождественных подстановках неизвестных. Легко проверить, чтознаменатель будет теперь симметрическим многочленом. Ввиду симметричностивсейдробиотсюдаследует,чточислительтеперьтакже будет симметрическим, а поэтому для доказательства теоремыостаетсявыразитьметрическиечислитель и знаменатель через элементарные симмногочлены.Степенные суммы.
В приложениях часто встречаются симметрическиемногочлены5kт. е. суммы k-xчлены,= X~+ Х: + ... + X~,k = 1, 2, ... ,степеней неизвестных Х1' Х 2 , ••• I Х n ' Эти много·называемыеосновной теореме,стеnе/{,/{,ымисуммами,должнывыражаться,Разыскание этих выражений является, однако, при большихзатруднительным,многочленамиустановлена.почерез элементарные симметрические многочлены.ипоэтомуSI' 52' •••представляети 0'1' 0'2' " ' ,интересО'ттаkвесьмасвязьмеждукоторая будет сейчас§ 53]ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О СИММЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНАХПреждевсегосправедливость81= 0"1'Далее,если331k ~ n, то легко проверитьравенствs (X~-lX2)1,),8 k - 1 0"1=8 k - 20"2= S (x~-lX2) + S (X~-2X2X3)'8k ++ S (x:- i x 2 .
. . X iX i+l ),2~i~k-2,. . . . . . . . . .. . . . . ....... .... .810"k-l = S (X~X2 ••• X k - 1 ) + kO"k'8 k -Pi =S (x~-HlX2" .Xi )(1)Беря альтернированную сумму ЭТИХ равенств (т. е. сумму с чередующимися знаками), а затем перенося все члены в одну часть равенства,мы получим следующую формулу:8 k - 8k - 10"1 +8 k - 20"2-".+ (-1)k- 1 8J О"k_l + (-l)kkО"k = О(kЕсли жеk> n,то система равенств(1)~(2)n).примет вид8 k - JO"I =8 k +S (x~-lX2)'8 k - 20"2=S(X~-lX2)+ S (X~-2X2X3)'2~i~n-1.8 k - nО"n =S (x~-n+lX2••• хn ).откуда вытекает формулаSk-8k-10"1Формулы(2)+ 8 k _ 20"2-'" + (_1)n 8k - nО"n =и(3)ипозволяют(k> n).(3)называются формулами Ньютона. Они связывают степенные суммы с элементарныминамиОпоследовательносимметрическимимногочленаходить выражения для81.
82'8з •••• через 0"1' 0"2' ••• , О"n' Так, МЫ знаем, что SI = 0"1' что вытекаети из формулы (2). Если. далее. k=2~n, то, по (2), S2-S10"1+ 20"2 = О,+откудаДалее, при k=3~nбудет83-S20"1+810"2-30"3=0, откуда, используя найденные уже выражения для 81 и 82' получаем:SЗ =O"~ -30"10"21)См.(11)+ 3аз ,предшествующего параграфа.332МНОГОЧЛЕНЫчтонамотНЕСКОЛЬКИХ[гл.НЕИЗВЕСТНЫХизвестно (см. (12) из предшествующего пзрзграфа).k = 3. 110 n = 2. то. ПО (3). Sз - В2ОlSt(J2 = О. откудаSз = o~ -3ОlО2' ПОЛЬЗУI1СЬ формулами Ньютона.
можно получитьЕслиуже11+жеобщую формулу.мула,впрочем.выражающую Sk через Он О2'весьмаЕсли основноегромоздкаполедаетвозможность•••• Оn' Эта форбудем ее приводить.неО2.(J l'поэтому делеn имеет смысл 1). то формула (2)последовательномногочленысумм В1. В2'мыР имеет характеристику О иние на любое натуральное числотрическиеи• •••выразитьоnэлементарныечерезnпервыесим M~степенныхsn' Так. Оl = В1. а ПЩlТому••••IО2="2 (Sl(Jl -(Jз= 3" (SЗ -1В2)В2ОlI= "2 (B~ -В2)'+ В.(2) = 6"1 (s~ -3S 1S 2 + 2s з )и т. д. Отсюда и из основной теоремы вытекает следующий результат:Всякий сиМАumраческий Аu/,ого'tлен, от••.•хnl-/,аJполе.;}tР характеристикиnнеизвестн,blХ Х 1 • Х 2 •НУЛЬ.. _представим в видемногочлена от степенн,ых CYM.u В1' S2' •••• ВN С коэффициентами.принадлежащими к ПОЛЮ Р.Многочлены,симметрическиепо двум системам неизвестных.В следующе~f параграфе.
а также в § 58 будет использовано однообобщение П()!lЯТИИ сиыметрического многочлена. Пусть даны двесистемынеизвестныхX 1• Х 2 •••••ХNИYl'У2'••• ,УГ'ПРИ'Jемихобъединение(4)алгебраическинезависимонадполемР. Многочлен над полем Рj (X 1! Х 2 • " ' ! Х N • Yl' У2' .••• УГ) называется симметрическим подвум cucmeMa.u неизвестНblХ. если он не меняется при любых перестановках неизвестных X J • Х 2 • • ••• Х N между собой инеизвестныхУl' У2' .•.• У Г между собой. Если для элементарных симметрическихмногочленов от Х 1 • Х 2 • ...• Х N мы сохраним обозначения Оl' О2' •••• оn.а элементарные симмеТРИ'lеские многочлены от Уl' У2'значим через'1' '2' ...•дующим образом.Yt.У2'...•из Р) отдву.uпо!(Х 1 • Х 2 • •••• Х N • Уl' У2!системам.•.• У Г) над полем Р.неизвестНblХХ1 •Х2 ••..•ХnиУ Г ' npeJcmaBU.u в виде .uногочлена (С коэффициента.АtUэлементарныхcucmeMa.ucu.uMempurteCKUX ,м,н.огочлен.ов по эти.А'неизвесmных:!(Х 1 • Х 2 • "'! ХN • Уl' У2!1)У Г обо.Всякий мн,огочленсимметрический.•.•'Г' то основная теорема обобщается сле-....
У')=<р(оl! О2'....ОN. Т 1 • Т 2 ..... 'Г),В поле характеристики р выражение !!... не имеет смысла при a:l: о.ртак как в этом поле при любом х будет рх=о.допОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ о СИММЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНАХ§ 531в самом деле, многочлен/(Уl'/333можно рассматривать как МНОГОчленс коэффициентами, являющимися многочленами от••• , Х". Так как / не меняется при перестановках liеизвест-YZ' ... , Yr)Х(, Х 2 ,НЫХ X 1 ' Х 2 , ••. , Х", то КОЭффИllиенты многочлена / будут симметрическими многочленами от Х 1 ' Х 2 ' ••• , Х n И поэтому, ПО основнойтеореме,ОТпредставимы в виде многочленов (с КОЭффИllиентами из Р)01, 02' ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
