1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 64
Текст из файла (страница 64)
е. если существует такое ё, 1:=;;;; i:=;;;; n, чтоk 2 = '2' ... , ki- 1 = li-1, но k i >k 1 = '1'Иными словами, членбудет(1)вышечлена(2),'i'есл.и показательпри Х 1 в (1) больше, чем в (2), или если эти показатели равны, нопоказатель при Х 2 в (1) больше, чем в (2), и т. д. Легко видеть,что из того, что член (1) выше члена (2), не следует, что степеньпервого по совокупности неизвестных больше степени второго: изчленовпервый выше, хотяОчевидно,Iчтоимеет меньшую степень.излюбыхдвухразличныхчленов многочлена(Х 1 , Х 2 , ••• , Х n ) один будет выше другого.
Легко проверить также,что если член(1) выше члена (2), а член (2), в свою очередь. вышечлена(3)т. е. существует такое'1 =m1 ,j, 1 :=;;;;j:=;;;; n,'2 = т 2 ,••• , 1/_1что= т/_ 1 ,но 1,> т/,то, независимо от того, будет ли 1 больше, равно или меньше /,член (1) будет выше члена (3). Таким образом, ставя раньше тот320МНОГОЧЛЕНЫИЗ двухчленов,ОТкоторыйНЕСКОЛЬКИХвыше,мы получимупорядочение членов многочленаf(x 1 ,[ГЛ.НЕИЗВЕСТНЫХ11вполне определенноех2 , о о о,х n )' которое и называется лексикографическим.Так,многочленf(x 1 , х 2 , хз, х 4 ) =х:+ 3х~х:хз-х~х:х:"+ 5х 1хзх; + 2Х 2 +X~X4-4расположен лексикографически.При лексикографической записи многочлена f(x 1 , Х 2 ' • о О ,х n )один из его членов будет стоять на первом месте, т. е. будет вышевсех других членов. Этот член называется высши.м 'tлено.м .много-члена; в предшествующем примере высшим членом будет член x~.Относительно высших членов мы докажем л е м м у,использованапридоказательствеосновнойкоторая будеттеоремыследующегоnнеизвестн,ыхrтараграфа:Высший член произведения двух .многочленов отравен произведению высших член,ов со.множителеЙ.В самом деле, пусть перемножаются многочлены f(X 1 , Х 2 , о о о ,х,,)иg(x 1 , х 2 , о о о 'Х n )' Еслиk,k.ах ! Х 2бу дет высший член многочленаfkn(4)о о О ХN(х 1 , х 2 , о о о ,х n ), аa'x~'x~ о о О x~n-любой другой1 ~i~n,члензтогомногочлена, точтоk1 =81'00'0,(5)ki- 1 =8 i - 1,существует такоеki >i,8i oЕсли, с другой стороны,(6)(7)будут высший и любой другой члены многочленато существует такоеj, 1 ~ jО,"11 =t 1 ,Псремножая члены(4)и~Ij(6),n,_1g(x 1 ,Х2 , о о о,х n )'что=f/_ 1 ,I/>t j •а также члены(5)и(7),мы получаем:(8)(9)Легкомер,видеть, однако, что членi ~j,k 1 +/1 =8 1 +f 1 ,таккак(8) выше члена (9); если, напритоkj >8i'..o,ki-l+li-l=8j-t+fi-t,I; ~ t j •Так жевыше произведения членов(4)ипроверяется,(7),атакженоk j +li >8i +tj,чтовышечлен(8)будетпроизведения§ 52]СИММЕТРИЧЕСКИЕчленови(5)Таким образом, член(6).членов многочленовf321МНОГОЧЛЕНЫ(8) -произведениевысши'(и g-будет выше всех других членов, получающихся в результате почленного перемножения многочленова потомуэтотчленнеуничтожаетсячленов, т.
е. остается высшим членом§ 52.прив произведениинеменяютсяниприкакойобразом,сu,м,,м,етрuчеСfШ,м,uцuя.мU).g,fg.ипоэтому.Аu/,огочлен,а,м,uПростейшимипримерамивыделl,IЮТСЯ те,перестанов/(еВ такие многочлены все неизвестные входят,симметричнымиСимметрические многочленыСреди многочленов от нескольких иеизвестныхкоторыеfприведении подобныхэти(илинеизвестных.следовательно, вполнемногочленыназываютсясu,м,,м,етричесfCU,м,и Фун,fCбудут: сумма всех неизвестных+ Х2 + ... + Хn ' сумма квадратов неизвестных X~ + X~ + ....
. , + X~, произведение неизвестных X 1X 2 • •• хn И т. д. Ввиду предX1ставимостивсякойтранспозицийкоторогоприnподстановки§ 3),(см.многочленаприсимволовв виде произведениядоказательстведостаточнопроверить,симметричностичтооннене меняется никакой транспозиции двух неизвестных.Мы будем рассматривать дальше симметричес/(ие многочлены отnнеизвестных с коэффициентами из некоторого поля Р.
Легко видеть,чтосум,м,а, разностьunроuзведение двух си,м,,м,етрuчесfCUХ ,м,н,огочлен,ов са'ми будут CU,М.Аtеmрuчес/(и,м,и, т. е. симметрические многочлены составляют подкольцо в кольце P[X 1 , Х 2 , ••• ,Х n ] всех многочленовоr nнеизвест ныхсu,м,,м,етричесfCUХнад,Мн,огочлен,овотполемnР,называемоен,еизвестн,ыхн,ад/(ольцо,м,nоле,м, Р.К этому кольцу принадлежат все элементы из Р (т. е. все многочленынулевойменяютсянистепени,атакженуль), таккак они заведомо непри какой перестановке неизвестных. Всякий другойсимметрическийи даже имеетмногочленпонимнепременно содержит нсеоднуиту же степень:nнеизвестныхесли СИ'l1метрическиfifмногочлен(X 1 , Х 2 , ••• , Х n ) обладает членом, в который неизнестное X i нходит с показателем k, то обладает и членом, получаЮЩИМСIlиз него транспозицией неизвестных X i и Х/, т. е.
содержащим неизвестное Х ] в той же степениСледующиеназываютсяnk.симметрическихэле,м,ентарны'мИмногочленовси,м,,м,етричес/(u,м,иотnнеизвестных.многочлен,а.ми:+ ... +Хn ,+ ... +Хn - 1 Хn ,01 =X1 +Х 202 =Х 1 Х 2 +Х 1 Х зОЗ=ХIХ2ХЗ+ХIХ2Х4+'"...+Хn-2Хn-1Хn,.. . .... . . . .Оn-l = X 1X 2 ••• Х n - 1 + Х 1 Х 2 ••• Х,,_ 2 Х n + ... + Х 2 Х з ••• Х N 'ОП= Х 1Х2••• Х n '~J(1)322МНОГОЧЛЕНЫОТНЕСКОЛЬКИХ[ГЛ.НЕИЗВЕСТНЫХЭти многочлены, симметричность которых очевидна,11играют в теории симметрических многочленов очень БCl.IIЬШУЮ роль. Они подсказаны формулами 8ьетакоэффициенты(см.многочлена§ 24),оти поэтомуодногоможно сказать, чтонеизвестного,имеющегостаршим коэффициентом единицу, будут.
с точностью до знака,8лементарными симметрическимимногочленами от его корней.Эта связь элементарных симметрических МНОГОЧlIенов с формулами13ьета будет весьма существенна для тех применений симметрическихмногочленовктеориикоторых мы сейчас ихмногочленовотодногонеизвестного,радиизучаем.Так как симметрические многочлены от n неизвестных ХН Х 2 , •••• •• , Х N над полем Р составляют кольцо, то очевидны следующиеутверждения: симметрическим многочленом будет всякаяцелаяположительнаямногочленов,степеньлюбогоизэлементарныхсимметрическиха также произведение таких степеней, притом взятоес любым коэффициентом 11З Р, и, наконец, всякая сумма указанныхuроизведениЙ.
Иными словами, всякий многочлен от элеJtентарныхсимметрическихJtногочленов 01' 02' ••• , ОПСкоэффициентамииз Р, раССЛtатриваемый как многочлен от неизвестных Х 1 , Х 2 , •••• •• , Х n ' будет симметрическим. Так, положим n=3 и возьмеммногочлен 010220з, Заменяя 01' 02 И 0з их выражениями, мы+получим:0102+ 20 з = xiX 2 + X~X3 + XtX: + Х:Х з + Х 1 Х; + Х 2 Х; + 5х 1 х 2хз ;справа стоит, очевидно,симметрическиймногочлен от Х 1 , Х 2 , Х з 'Обращением этого результата является следующая о с н о в н а ят е о р е м аос и м м е т р и ч е с к и хм н о г о ч л е н а х:Всякий симметрический многочлен от неизвестных Х 1 • Х 2 • •••Х n над полем Р является многоttлено.,u от элементарных• ..
,симметрическихмногочленов 01' 02.' ••• ,Оп С коэффициентами,принадлежащими к полю Р.Пусть, в самом деле. дан симметрический многочлен/(Х 1 , Х 2 , ••• , Х n )И пусть В его лексикографической записи высшим будет член(2)Показатели при неизвестныхв этом членедолжны удовлетворятьнеравенствам(3)Действительно, пусть при некотором 1 будет k{/(х 1 , Х 2 • •••• Х n ),однако,будучисимметрическим,< k{+l'долженМногочленсодержать,член(4)§ 52]СИММЕТРИЧЕСКИЕ323МНОГОЧЛЕНЫполучающийся из члена (2) транспозицией неизвестных Х, и Х,+I'ЭТО приводит нас к противоречию, так как член (4) в смысле лексичлена(2):Х 2 , •.• ,X'_l В обоих членах совпадают,в члене (4) больше, чем в члене (2).кографического расположениявышеноВозьмем теперь следующеепроизведение(3)трических многочленов (ввиду неравенствпоказатели при Хl'показательпри Xiэлементарных симмевсе показатели будутнеотрицательными):(5)Это будет симметрический многочлен от неизвестных Х 1 , Х 2 , ••• ,Х тпричем его высший членравен(2).членуДействительно, высшие0'1' 0'2' О'з, ...
,О'n равны соответственно Х 1 , Х 1 Х 2 ,Х 1 Х 2 Х З , ••• , Х 1 Х 2 ••• Х n ' а так как в конце предыдущего параграфачленымногочленовдоказано, что высший членпроизведенияравен произведению высших членов сомножителей, то высшим членом многочлена (jJl будетаох~,-kз (X1 x 2)k.-k, (х 1 х 2 х з )k.-k • •••••• (Х 1 Х 2 •••Хn -1)k"_1 -k n (Х 1 Х 2 •••ХN)kn=Отсюда следует, что при вычитании (jJl измногочленов взаимно уничтожатся, т.1-11е.k, k.
•••а ОХ 1 Х21 высшиевысшийk"ХN •члены этихчлен симметрического многочлена(jJl =будет ниже члена (2), высшего в многочленеПовторяя для многочленакоэффициенты которого при1.11'надлежат, очевидно, к полю Р, этот же прием, мы придем к равенству11 =(jJ2+/2'где (jJ2 есть про изведениестепенейэлементарных симметрическихмногочленов с некоторым коэффициентом из поля Р, атрическийчлен вмногочлен,11'высшийчленкоторого12 -ниже, чемсиммевысшийОтсюда вытекает равенство1=(jJl +(jJ2+/2'Продолжая этот процесс, мы для не которогопоэтому придем к выражению для••• , О'n С коэффициентами из Р:I(х 1 , Х 2 ,••• ,Хn )1вsполучим Iвs=~ (jJ, =(jJ (0'1' 0'2' •••i=1быбесконечнуюо и'О'n)'В самом деле, если бы этот процесс был бесконечнымполучили=виде многочлена от 0'1' 0'2' •••последовательность1),то мысимметрическихмногочленов(6)1)Следует учесть, что многочлен <Рв содержит, вообще говоря, и такиечлены, каких нет в многочлене ' в -l'= f S-I-q>Sи поэтому переход от 'в-l к 'Всвязан не только с уничтожением некоторых членов изИ С появлением новых членов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
