1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 62

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 62)

Отсюда следует выполнимость одно­значного делепия.Таким образом, классы равnых между собой рациоnальн.ыхдробей с коэффициен.тами из поля Р составляют при н.ашемоnределен.ии операций коммутативн.ое поле. Это поле и будетискомым полем Р(х). Мы должны еще, впрочем, доказать, чтовпостроенномнамиполесодержитсяподкольцо,изоморфноекольцу Р[х], и что всякий элемент поля представим в виде част­ногодвухэлементовизэтогоподкольца.Если мы произвольному многочленуf(х) из кольца Р [х] поста-вим в соответствие класс рациональных дробей, равных дроби f ~x)(среди всех дробей содержатся, понятно, и дроби, знаменатель ко­торых равен единице), то получим взаимно однозначное отображение,§ 50]кольцаПОЛЕР [х]внутрьРАЦИОНАЛЬНЫХпостроенногоДРОБЕЙ311нами поля.

Действительно, изравенстваf (х} _1 -<р (х)1=следовало бы j (х).1t.ep (х), т. е. [(х)= ер (х). Это отображе­ние будет даже изоморфным, как показывают равенства'(х) +g(x) _1f (х)·! +g (x)·l_ f (х) +g(x)1 -}2f (х) g (х)-1-'-1-=1-f (x).g (х)I'.Таким образом, классы дробей, равных дробям вида f (IX )ставляютвнашемполеподкольцо, изоморфное кольцу,со­Plx).Дробь f ~x) можно поэтому обозначить просто j(x).

Так как, нахонец, приg(х)=1= окласс дробей, равных дробиратным для класса дробей, равных дроби'(х)1-1- • g (х)g1g (х)'являетсяоб-~x), то из равенства'(х)= g (х)следует, что все элементы н.ашего поля можн,о считать (В смыслеопераций, определенных в этом поле) частными многочленов изкольца Р[х).Мы построили над произвольным полем Р поле рациональныхдробей Р(х).

Этим же методом, беря вместо кольцакольцоцелыхОбъединяяэтичисел,дваможнослучаяпостроитьполемногочленоврациональныхи используя такой жеметод,чисеJI.можнобыло бы доказать теорему, что вообще всякое коммутативное кольцо~ез делителей нуляявляется подкольцомнекоторого поля.ГЛАВА ОДИННАДЦ.\ТА51МНОГОЧЛЕНbI ОТ liEСКОЛЬКИХ НЕИ3ВЕСТНЫХ§ 51.КОЛЬЦО многочленов от нескольких неизвестныхНередко приходится рассматривать многочлены, зависящие не отодного, а от двух, трех, вообще от нескольких неизвестных. Так,в первых главах книги нами уже изучались линейные и квадратичныеформы, представлшощие собой примеры таких многочленов. Вообще.мн,огочлен,о.ttf(Х 1 , Х 2 ,...• Хn ) от 1lн,еuзвестн,ых ХрXl., ...• Х nнаднекоторым nО.хе.м Р называется сумма конечного числа членов видаk"Х k,2 , ••• ,Хn,гдевсе1 Х k,k 1=-- О ,скоэ фф ициентамипредполагается, понятно, что многочленfиз поляР',приэтом(Х 1 , Х 2 ' ••• , Х n ) не содержиrподобных членов и что рассматриваются лишь члены с отличными ОТнуля кОЭффициентами.

Два многочлена от n неизвестных, ЛХ" Х2, ... ,х n ) и g (х 1 , Х2, •.. , х n )' считаются равнылш (или тождествен,н,о равн,ы­.Ат), если равны их коэффициенты при одинаковых членах.Если дан многочлен(Х 1 ' х 2 , ... , х n ) над полем Р, то его сте­nен,ью по отношенuю к неuзвеСinНО.АtУ Хl' i1,2, ... , Il, называетсяf=наивысший показатель, с каким входит Х 1 в члены этого многочлена.fСлучайно эта степень может быть рав'iОЙ О, что означает, что хотясчитаеТСII многочленом от Il неизвестных ХI' Х2, . . .

, ХI' ••. , Х n ' нонеизвестноеXjнасамомделевегозаписьневходит.С другой стороны, если мы назовем степенью членачисло+ +, ... ,+k 1 k2k n , т. е. сумму пока" а r елей при неизвестных, тостеllенью .многочлена f(x 1 , Х2, ..• , Х n ) (т. е. степенью по с о в 0к у п н о с т и н е и з в е с т н ы х) будет наивысшая из степеней его чле­нов. В частности, многочлена\1И нулевой степени будут, как и в случаеодногонеизвестного,лишьотличныеот нуляэлементыиз поля Р.С другой стороны, как и в случае многочленов от одного неизвестного,нуль будет единственныммногочленом откоторого не определена. Понятно,может содержать несколькочленовIlнеИdвестных,степеньчто многочлен в общемнаиные шей степенинельзя говорить о старшем (по степени)ислучаепоэтомучлене многочлена.§ 51]кольцоМНОГОЧЛЕНОВДля многочленов отnотНЕСКОЛЬКИХ313НЕИЗВЕСТНЫХнеизвестных над полем Р следующим обра­зом определяются операции сложения и умножения.

СУ.Аt.AtОЙ много­членов j (х 1 , Х2, ••• , х n ) и g (Х р Х2, ••• , х n ) называется многочлен,коэффициенты которого получаются сложением соответственныхfкоэф~ициентов многочленови g; если при этом не который членвходит лишь в один из многочленовg, то коэффициен r при немf,в другом многочлене считается, понятно, равным нулю. Произведениедвух«одночленов')определяетсяследующимравенством:x k•Xkn.

bxZtx 1•X Z,. _ (аЬ) X kt +Ztxk.+laX kn +/lIax kl12···n12"'n12·.·n,после чего nроизведеliие многочленовf(х 1 , Х2, ••. , х n ) иg(x 1 , Х 2 ,••• , х n )определяется как резу льтат почленного перемножения и последующегоприведения подобных членов.отПри таком определении операций совокупность мн,огочленовn неизвестных над полем Р превращается в коммутативноекольцо, причем это КОЛbll,О не содержит делителей нуля. В самомделе,n = 1 наши определения совпадают с теми, которые были§ 20 для случая многочленов от одного неизвестного. Пустьдоказано, что многочлены от n - 1 неизвестных Х р Х2, ••• , х n - 1приданы вужеС коэффициента\lИ из поля Р составляют кольцо без делителей нуляВсякиймногочленотflнеизвестныхх 1 , Х2, ••. , Х n - 1 'Х ,.можнопредставить, притом единственным способом, как многочлен от неиз­вестного Х ,.

С коэффициентами, являющимися многочленами от Х рХ 2 , ••• , х n - 1 ; обратно,изкольцарассматривать,всейвсякиймногочленовотконечно,совокупностимногочлен от Х ,. С коэффициента \IИХ 1 ' Х2, ••• , Х n - 1кЗI(надполемР можномногочлен над этим же полем Р отнеизвестныхХ р Х2, ••• , Х n - 1 ' Х n 'Безтрудапроверяется, что полученное нами взаимно однозначное соответствиемеждумногочленамиотnнеизвестныхинеизвестного над кольцом многочленов отизоморфнымпомногочленамиn -1отношению к операциямотодногонеизвестных являетсясложенияи умножения.Доказываемое утверждение вытекает теперь из того, что многочленыотодноговестныхнеизвестногосамисоставляютнад кольцомкольцо,м ногочленов отn- 1неиз­причем оно как кольцо многочле­нов от одного неизвестного над кольцом без делителей нуля самоне содержит делителей нуля (см.§ 47).Мы доказали, следовательно, существование кольца многочленовотломn неизвестных надP[X 1 , Х2, ••• , Хn ]'полем Р;это кольцообозначаетсясимво­Следующие рассмотрения позволяют посмотреть на кольцо много­n неизвестных с несколько иной точки зрения.

Пустьполе Р содержится в некотором коммутативном кольце L в качествеподкольца. Возьмем в L n элементов (Х 1 , (Х2, ... , (х ,. и найдем мини­мальное подкольцо l/ кольца L, содержащее эти элементы и всеполе Р, т. е. подкольцо, получающееся в результате присоединениячленов от314J{МНОГОЧЛЕНЫОТНЕСКОЛЬКИХполю Р элементов a 1 , а2, ... , а n . Гlодкольцоэлементов кольцаL,[ГЛ.НЕИЗВЕСТНЫХL'11состоит из всехкоторые выражаются через элементы а 1 , а2,...

, а nи элементы поля Р при помощи сложения, вычитания и умножения.Легко видеть, что это будут в точности те элементы кольцакоторые можно записать (при помощи операций, имеющих место вввидемногочленовотпричем эти элементыскладыватьсясложенияииа2,a 1,... , а nскоэффициентамибудут как элементыумножатьсяумножениякакразмногочленовпоnоткольцауказаннымLL,[)из Р,между собойвышеправиламнеизвестных.Конечно, данный элемент ~ из подкольцаL'будет, вообще говоря,записями в виде многочлена от а 1 ,обладать многими различнымиа2, ... , а n с коэффициентами из поля Р. Если для всякого ~ ИЗL'такаяотзаписьо Д н о з н а ч н а,т.е.еслиразличныемногочленыа 2 , ••• , а n будут различными элементами кольца L' (и, следо­L), то система элементов a 1 , а 2 , •• " аn называетсяалгебраически независимой над полем Р, в противном случае­a 1,вательно, кольцаалгебраически зависимой 1).

Отсюда можно вывести такое заключение:Если lюле Р является подкольцом коммутативного кольца Lu если система элементов а 1 , а 2 , ... , а n из L алгебраическu не­зависима над Р, то подкольцо L' кольца L, nорождаемое при­соединением к полю Р элементов a 1 , а 2 , ••• , а n ,изоморфнокольцу .lrlногочлен,ов Р [X1 , Х 2 , ••• , Хn ]'ИздругихсвойствкольцамногочленовотnнеизвестныхР [х 1 , х 2 , ••• , Х n ] укажем на следующее: это кольцо можно вклю­чить в поле рацион,альных дробей Р (х], Х 2 , ••• , х n ) от n н,еиз8естн,ых надПОЛем Р.записан в видеВсякийэлементпричем тогда и только тогда ;=: 'поляможет бытьдробейкоторые,§ 45,былоуказано в1 ,х 2 ,производятся по правилам,справедливы длячастных во·всяком поле.

Доказательство существования 'поля Р (х 1 , х 2 ,про водится так же,§ 50как это делалось вДля многочленов от несколькихнеизвестныхделимости, обобщающую ту т€орию делимостинеизвестного, которую мы изучали в гл.и5изучениезадачи,кольцатомынеприводимыемногочленовограничимсяот10.несколькихтолько... ,х n ],если /'Ф = g\p.

Сложение иумножение этих рациональныхкакэтогоfg,где/и g -многочленыизкольцаР[хдля случаяох n)можно построить теориюдля многочленов от одногоТак как, однако, детальноенеизвестныхвопросом••• ,n = 1.неразложениивходитвнашимногочленанамножители.Введем сначала следующеепонятие:если всечлены многочленаХ 2 , ••• , Х!!) IIмеют одну и ту же степеньто такой многочлен назы­вается одНОРОфtblМ многочленом IIЛИ, короче, формой s-й степени; намf (X1,s,1) Соответствующие понятия для случая n= 1 были уже введены в § 47:элемент а, алгебраически независимый над полем Р в смысле только чтоданногоопределения,былназвантампротивном случае-а л г е б р а и ч е с к 11 Мт р а н с ц е н.!I е н т н ы мнаА Р.над Р, в·§ 51]КОЛЬЦОМНОГОЧЛЕНОВотНЕСКОЛЬКИХуже известны линейные и квадратичные формы.далее, кубичные формы.

все члены которых имеютвестных степень 3. и т. д. В С Я К И Й м н о г о '1 Л е ноднозначно представим в виде с уммыо тэ т и хдостаточнон е и з в е с т н ы х,объединитьчтобы получить искомоеt (Х1 'и м е ю Щ11можно рассматривать,по совокупности неиз­от n н е и з в е с т н ы хнескольких формХраз н ы еимеющиепредставление. Так.+ x~.четвертойстепенис т е п е н и:одну и ту же степень.многочленчетвертой степениХ 2 • X3)=3Xlx;-7x~ х; +X2-5ХIХ2хз+х~-2хз-6+х:формыни)при т о мвместе все члены.315НЕН3ВЕСТНЫХбудетсуммойx~ -7x~x;. кубичной формы 3х 1 х; -5х 1 х 2 х з +линейной формы Х z -2х з и свободного члена (формы нулевой степе­-6.Докажем теперь следующую т е о р е м у:Степень произведения двух отличных от нулямногочленов отnнеиз­вестных равна сумме степеней этих многочленов.Предположим сначала, что нам даны фор м ы <р (Х 1 • Х 2 • •••• Х n ) сте­пении 'Ф (X1 • Х 2 • ••• , Х n ) степениПроизведение любого члена формы <рt.s+ t.на любой член формы 'Ф будет, очевидно, иметь степень sа потомупроизведение <р'Ф будет формой степени sтак как приведение подобны"членов не может сделать все коэффициенты этого произведения равныминулю ввиду отсутствия в кольце Р [x 1 • X z• .•.• Х n ] делителей нуля.Еслитеперьданыпроизвольныемногочлены(Х 1 , X z • ...• Х n ) иg (Xl' Х2 • ••• , Х n ) соответственно степеней s ито, представляя каждый изних в виде суммы форм разных степеней.

Характеристики

Список файлов книги