1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Понятно, что элемент хкольца Р[х) транецендентен над полем Р.Справедлива следующая т е о р е м а:Если эле.Jtент сх кольца L mpaHCl{eHaeHmeH над поле;,t Р, топодкольцо L', полученное присоединение'м' эле'м'ента сх к полю Р(т. е. минимальное подкольцо кольца L, содержащее поле Р и элемент сх), изо'м'ОРфно КОЛbl{У .Jtногочленов Р [х).В самом деле, ВСЯКИЙ элемент В кольца L, который может бытьзаписанввидеn~O,с коэффициентами а о ,в подкольцезаписямиa1 ,(4 )an - 1 , а n из поля Р, будет содержатьсяне может обладать двумя различными•.• ,L'.
Элемент Ввида (4), так как,вычитая из одной записи другую,мыполучили бы, что существует уравнение над полем Р, удовлетворяемоеэлементомсх,впротиворечиемента. Складывая элементы видас(4)трансцендентностью этого элепо правилам сложения в кольцеL,можно, понятно, складывать коЭффициенты при одинаковых степеняхсх;~TOС другойсовпадает,стороны,однако,сперемножаяправиломсложенияэлементывидамногочленов.(4) поправилам§4~289ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ НАД ПОЛЕМумножения в кольцеL,мы можем, пользуясь законом дистрибутивности, совершить почленtJое перемножение, а зате\l собрать подобныечлены;этоприводит,очевидно,кизвестномунамправилуумножения многочленов. Этим доказано, что элементы видаставляют в кольцеLт.
е. совпадающеесподкольцо,и что этоL',(4)сосодеРlКащее поле Р и элемент а,под кольцо изоморфно кольцумногочленов Р [х].Мы видим, что сделанный выше выбор определений для операцийнад многочленами не-был случайным: он вполне определяется тем, ЧТОэлемент х кольца Р [х] должен быть трансцендентным над полем Р.Заметим, что при построении кольца многочленов Р [х] мы нигденеаиспользовалиделенияэлементовполяРименно, при дока.зательстве утперждения омногочленов, должныбыли бысослаться наилишьстепениодинраз,произведении:отсутствие в поле Рделителей нуля. Можно, следоватеlIЬНО, взять произвольное коммутативное кольцоLи, повторяя ПРОJеденное выше построение, получить кольцо .многочленов L [х] над КОЛЬЦОJrt L; е с л и при э т о '11К 0.1 Ь Ц О L н е с о Д е р ж и т Д е л и т е л е й н у л я, то степень произведения многочленов будет равна сумме степеней сомножителейи поэто'\lУl{О Л Ь Цос о д е р ж а т ьм н о г о чл е н о вд е л и т е л е йL[х]т а кж ен ебуд е тн у л я.Возвращаясь к многочленам с коэффициентами из ПРОИЗВОЛЬНОГОп О Л Я Р, заметим,что на этот случай переносится по существу всят е о р и я Д е л и м о с т и м н О г о ч л е н о в, изложенная внашейкниги.Именно,селения с остатком,вкольцеPlx]u.fteentлЕест 20-22алгоритмпричем и частное, и остаток сами будут принадлежать к КОЛЬЦУ Р [х).
Далее, в кольце Р[х} имеет смысл понятие делителя и сохраняются все его основные свойства.этомто обстоятельство,что алгоритм деления неПривыводит за пределы основного поля Р, позволяет утверждать, что свойство многоfчлена <р (х) быть i1.елиmелеЛt для(х) не зависит от того, расли },ЕЫ поле Р или же его любое расuшрение.В колЬ!~е Р [х] сохраНflfотся также определение и все свойства наибольшего общего делителя, в mo},t числе сохраняютсяалгорипиt Евклида и теорою, доказанная в § 21 при ПО},tощиэтого алгоритЛtа.
Заметим, что так как алгоритм деления с остатcMampUBae},tком не зависит, как мы знаем, от того, какое поле выбрано в качествеосновного,то можно утверждать, что наибольший общий делительдвух данных },mогочленов также не зависит от того, pacc},tam-pUBae},tли ,мы поле Р или же его произвольное расширение Р.Наконец, для Jrt/iогочленов над поле},t Р сохраняет c.fIЫСЛ понятие КОРНЯ и остаются справедлuвы},tu основные свойства КОРней.
Сохраняется и теория кратных корней; впрочем, к этому вопросу мы вернемся еще раз в конце следующего пара графаЭти замечания позволят нам в дальнейшем при изучении многочленов над любым поле,1 Р ссылаться на § 20-22.290поляи[ГЛ.мнОГОЧЛЕНЫ10Разложение М60гочленов на неприводимые множители§ 48.На основании теоремы о существовании корня в§ 24для полейкомплексных и действительных чисел были доказаны существованиеиединственностьразложениямногочленананеприводимыемножители. Эти результаты являются частными случаями общих теорем,о гносящихся к многочленам над произвольным полем Р. Настоящийпараграф посвящаетсятеорииразложенияОпределимМногочленовизложению этой общей теории, параллельнойцелыхсначалатакуюжечиселнапростыероль,какуювпростые числа. Заранее подчеркнем,идтиречьи л илишьр а в н аомногочленах,е Д и н и Ц е;этокольцечислаfПусть дан многочлен1с т е п е н ьвполне- 1ителями дляотнуля9лементдляjизР,причемcf(x),исчерпываютсяЧтоn.жеVIl,делигде с-отличныйвседелителикарется делителейно меньшеn, то они могутмогут и отсутствовать.В первом-неnриводимым в этом поле.Вспоминая определение деЛИ1еля, можно сказать, что .klногочлен.(х) стеnен,и n nривооим в поле Р, если он, может быть рqзложен,н,ад этим nолоt (т.
е. в /Сольцежителей,и j(1)Р[х]) в nроизведен,uестеnен.и которых .fteftbUl,ef(х)= qJ (х)(х) н,еnриводим в поле р, еслиодин,из мн,ожителейСледуеторассмо грения.j (х) называетси nриводимыоЛ: в поле Р (или надполем р), во втором случаеfприn, n ~ 1, с коэффИtщентамиС другой стороны, по(х), степень которых больше О,случае многочленчтовсе многочлены нулевой степениимив кольце Р[х] существовать, аб о л ь ш етому,исключаются изf(x).(х), имеющие степеньjиграютразложений 'целых чисел набудут и все многочленыf(x)многочлена§ 2\в кольцечиселк о т о р ы хсоответствует(х) степенииз поля Р.
Ввиду свойства V избудут служить делителями дляиграютцелыхчто в этом определении будетопределении простых чисел и изучениипростые множителимножители.те многочлены, которыеимеетдвух мн,оn:'1' (х),(1)в любомстеnен,ьО,его разложен,ии видадругоЙ-стеnен.ьn.обратить особое внимание. на то обстоятельство, чтоприводимостиилинеприводимостимногочленаможноговоритьлишь по отношению к данному полю Р, так как многочлен, неприводимыйвэтом поле,может оказатьсяприводимымвнекоторомего расширении Р. Так, многочлен х 2 -2 с целыми коэффициентаминеприводимженввполерациональныхпроизведение двухчиселмножителей-оннеможет быть разлопервой степени с рациональными коэффициентами.
Однако в поле действительных чисел этотмногочленоказываетсяприводимым,х2 _2= (х -какп) (хпоказывает+ V'2).равенство§ 48]РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НР> НЕПРИВОДИМЫЕ МНОЖИТЕЛИМногочлен х 2 +1291неприводим не только в поле рациональных чисел,но и в поле действительных чисел; он делается приводимым, однако,вполекомплексныхчисел,таккакУкажем некоторые основные свойства неприводимых многочленов,причем будем помнить, что речь идет о многочленах, неприводимыхвпо л еР.а) Всякий .АUlогочлеn первой стеnеnи nеnриводим.В самом деле, если бы этот многочлен был разложим в произведение множителейменьшей степени, то эти множители должны былибы иметь степень О. Однако произведение любых многочленов нулевой степени снова будет многочленом нулевой степени, а не первой.~) Если многочлен р (х) неnриводим, то неnриводимыми всякuй 'лtногочленср (х),гдес-отличныйотнулябудетэлементиз Р.Это свойство следует из свойств1иУН§ 21.Оно позволит намтам, где это будет нужно, ограничиваться рассмотрением неприводимых многочленов, старшие коэффициенты которых равны единице.у) Если f(x)- nроизвольный, а р (х)-неnриводимый многочлен, то либо [(х) делится па р (х), либо же эти многочлеnывзаимнопро сты.Если (f (х), р (х)) = d (х), то d (х), будучи делителем непривоДИМОГD многочлена р (х), либо имеет степень О, либо же есть много*член вида ср (х), сО.
в первом случаепросты, во втором [(х) делится на р (х).f(x)и р (х)взаимноб) Если произведение многочлеНО8 [(х) и g(x) делится на nеприводимый многочлеn р (х), то хотя бы одиn из этих мnожител ей делится па р (х).Действительно, если [(х) не делится на р (х), то, по у)' [(х)и р (х) взаимно просты, а тогда, по свойству б) из § 21, многочлен g (х) должен делиться на р (х).Свойство б) без труда распространяется на случай произведениялюбого конечного числа множителей.Следующие две теоремы являются главной целью всего настоящего параграфа.ВСЯ1сий многочлеn [(х) из !Сольца Р [х], имеющий степень n,разлагается 8.
произведение HenpUBoaUMblX множителей.n;:;?: 1,Действительно,если многочлен [(х) сам неприводим, то указанное произведение состоит всего из одного множителя. Если же онпривод'им, то можетменьшей степени.водимые,бытьразложенвпроизведениемножителейЕсли среди этих множителей снова имеются прито производимих дальнейшееразложение на множители,'и т.
д. Этот процесс должен остановиться после конечного числашагов, так как при любом разложении[(х) намножители сумма292полястепеней этихмножителей,множителейзависящихидолжнаот х,[ГЛ.МНОГОЧЛЕНЫнеравнятьсяможет10и поэтому числоnпревосходитьn.Разложение целых чисел на простые множители однозна'шо, еслиограничиваться рассмотрением целых положительных чисел. Однаковкольценостьювсехдоцелыхчиселоднозначностьзнаков:так,-6=2.5) и т. д. Аналогичное= (- 2).
(-в кольце многочленов.положениеесть разложение многочленаj(x)С2,j1,=(х)множителей.разложенияjи••• , Cs ИЗ пол\!Р таковы, что ихто[С 1Р1 (х)] • [С 2 Р2 (х)] ..• [CsP s (х)]Оказываетс\!,j(x) в произведение lIепривочтоэтимPtx)дву.мяисчерпываютсявсе(х):Если .мliогочлеli=то s = t и.paaelicmaa(х) из кольцаjжеli в nроизвеdеliuеj(x)место••• Ps (х)также будет, ввиду В), разложениемдимыхимеетв произведение неприводимых множителей и если элементы С 1 ,равноТОЧ10=2·5=Еслилх) = Р1 (х) Р2 (х)произведениеимеет место лишь с(-3)=(-2).3,/ienpuaoiJu.!tlbtXРl (х) Р2 (х) .• , ps (х) = q1 (х) q2 (х)присоответствующейqi (х)сnособа.лш разло.JlIiожителеЙ:= ciPi (х), i =.•• qt (х),liу.мерации.U.Jtеют(2).место(3)1, 2, .•.
, s,где ci-отлиЧliые от IiУЛЯ эле.менты из поля Р.Эта теорема верна дл\! м ногочленов первой степени, так как онинеприводимы.Мы будемпо степени многочлена,поэтому вести доказательство индукциейт. е. будем доказывать теорему дляj(x),предполагая, что для многочленов меньшей степени она уже доказана.Так какq1(х)являетс\!ства 6) и равенства(2), qlделителемдляj(x),то,ввиду свой(х) будет делителем хотя бы для одногоиз многочленовPi (х), например для Рl (х). Так I<аl<, однако, многочлен Р1 (х) неприводим, а степень ql (х) больше нуля, то существуеттакойэлемент С 1 ,чтоq1 (х) = C1Pl (х).Подставляя это выражениезаконно,так как вql(х) в(2)(4)и сокращаянаPl(х) (чтокольце Р[х) нет делителей нул\!), мы ПОЛУЧИМравенствоР2 (х) Рз (х)'"Ps (х)Так как степень многочлена,степениj(x),тоуже= [С 1q2 (х)) qз (х)••• qt (х).равного этим произведения м, меньшедоказано,и что существуют такие элементы c~,s-1 =t-l, откуда s=t,cs , ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
