1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Умножая обе части этого равенства на(2')V2,-268поляи[гл.МНОГОЧЛЕНЫРассмотрим теперь все действительныеполучить,при меняянесколькоразчисла,операциикоторыесложения,1Оможноумноженияи вычитания к хорошо известному читателю числу л и каким-либорациональным числам. Это будут числа, которые могут быть записаныввиде(4)где а о , а 1 , а 2 , . . . , аn-рациональные числа, n~O. Заметим, чтоникакое ЧИСло не может обладать двумя различными записями вида(4) -в противномполучилибы,чтослучае, беря разностьчислОдвухтакихзаписей,мыл удовлетворяет некоторому уравнениюс рациональными коэффициентами; методами математического анализадоказывается, однако, что л не может УДОВJI'етворятьнасамомделеникакому уравнению с рациональными коэффициентами, т.
е. являетсячислОМ трансцендентным. Не используя, впрочем, этого результата,т. е. не предполагая, что запись числа в видевсе же показать,что числа вида(4)однозначна, можноСОС1авляют hОЛЬЦО.(4)Кольцом будет также совокупность чисел, получающихся из числа лирациональных чисел при помощи операций сложения, умножения,вычитания и деления, примененных несколько раз. для доказательстванет необходимости искать длЯ рассматриваемыхчисел какую-либоспециальную хорошую запись (хотя она и может быть найдена): есличисла а и р получены из числа л и некоторых рациональных чиселуказаннымиа+ Р,операциями,тоэтожеверно,понятно,а-р, аР, а также (при р =#= О) дЛЯ числаt.Наконец, взяв совокупность комплексных чисел аиД/IЯчисел+ Ы с любымир а ц и о н а л ь н ы м и а, Ь, мы получим кольцо; это же будет иметьместо, если мы ограничимся Ц е л ы м иРассмотренные примеры не могуткоэффициентами а, Ь.датьполногопредставленияо том, сколь разнообразными бывают числовые кольца.
Мы не будемпока,однако,смотрениюпродолжатьодногонашсписок примеров испециальногоиоченьважногоперейдемтипак расчисловыхполучим:2=а V2+b V4:Подставляя сюда выражение (2') для V 4~ мы после очевидных преобразований придем к равенству(а+Ь 2 ) V2=2-ab.Еслиa+b 2 i:O,(2")тоV 2=2-abа+Ь2 'что невозможно, так как справа стоит рациональное число. Если же ато, ввиду(2"),и 2-аЬ=0ИЗ 9ТИХдвух равенствснова невозможно ввиду рациональности числа Ь.вытекает+Ь2=0,Ь З =-2, что§ 43]ЧИСЛОВЫЕколец.Мызнаем,конечно,КОЛЬЦАчтовИ269ПОЛЯсистемахвсехрациональных,всех действительных и всех комплексных чисел можно неограниченновыполнять деление (кроме деления на ну ль),в то время как делениецелых чисел выводит за пределы системы этих чисел.мы не обращали серьезного внимания на этотельностижеонооченьсущественноиДо сих порразличие, в действиприводиткследующемуопределению.Числовое кольцо называется ЧUСЛОВЫ.Jt nоле.м, если оно содержитчастное любых двух своих чисеJl (делитель предполагается, конечно,отличным от нуля).
Можно говорить, следовательно, о поле рациональныхвточисел, поле действительных Чliсел,поле комплексныхвре~якакНекоторыекольцоизцелыхчиселполемрассмотренных вышенечисел,является.примеровчисловыхколецв действительности ЯВШIЮТСЯ полями. Сначала заметим, что не существует числовых полей,от личныхотцеликом в нем содержащихся (систему,ПОЛЯрациональныхчисел исосгоящую из одного нуля,мы не будем счи гать поле\I). Справедливо даже следующееболееобщее утверждение:Поле раll,uон,альн,ыхчuслово.мчuселсодержитсяt~елu1СО.мвовся1СО.мполе.Пусть, в самом деле, дано некогорое числовое поле, которое мыобозначим буквой Р.
Если а-любое ЧИСло поля Р, отличное отнуля, то Р содержит и частное от деления числа а на самого себя,т. е. число единицу. Складывая единицу с самой собою несколькораз, мы получим, что все натуральные числа содержатся в поле Р.С другой стороны, в поле Р должнат. е.содержатьсяразность а-а,число нуль, а поэто~у к Р приГ\адлежит и результат вычитания любого натурального числа из нуля, т. е.
любое целое отрицательное число. Наконец, в поле Р лежат и частные целых чисел,т.е. вообще всерациональные числа.В поле КО\lПлексных чисел содержитсямного разЛИЧНЫХполей,и поле рационаJIЬНЫХ чисел будет лишь наименьшим среди них. Так,рассмотренноевышекольцочиселвида(5)с л ю б ы м и р а ц и о н а л ь н hI М И (а не только лишь с целы~и) коэффициентами а, Ь будет полем.двух чисел вида (5), аВсамом деле+ ь V2 и с + d V2,считаем отличным ОТ нуля; отлично отc-dVi,а+Ьнуля,рассмотримпричемчастноевтороеследовательно,числоичислои потомуv2 _ (а+ЬY2)(c-d У2)c+d У2 - (C+d У2) (c-d У2)Мы получили снова число видася рациональными. В этом(5), причем коэффициенты остаютпримере числоможно заменить,V2270поляи[гл.МНОГОЧЛЕНЫ1Опонятно, квадратным корнем из любого рационального числа, из котороговсамо\{полерациональныхчиселный корень.
Так, поле составляют числанеизвлекаетсявида а+Ыквадратс рациональными а, Ь.§ 44.Кольцов различных отделах математики, а также в применениях математики к технике и естествознаниюприходитсявесьмачастовстречаться с положением, когда алгебраические операции производятсяне над числами, а над объектами совсем инойчислотакихпримеровможнонайтивприроды.Большоепредшествующихглавахкниги-напомним умножение и сложение матриц, сложение векторов,операции над многочленами, операции над линейными преобразованиями. Общее определение алгебраичес"ой операции, которому удовлетворяютатакжеоперацииоперациивсложенияуказанныхиумноженияпримерах,вчисловыхсостоитвПусть дано некоторое множество М, состоящее илиилиизобъектов геометрической природы,вообщекольцах,следующем.изизчисел,некоторыхвещей, которые мы будем называть эле.мента.мu этого множества.Говорят, что в .множестве М определена алгебраичес"ая операция,если указан закон, по которому л ю б о й паре элементов а, Ь из этогомножества о Д н о з н а ч н ы м о б раз о м ставится в соотвеТС1;вие некоторый третий элемент с, также принадлежащий к М.
Эта операцияможет быть названа сложение.м, и тогда с будет называться су.м.мойэлементов а и Ь и обозначаться символом саЬ; эта операция может быть названа у.множение.м, т. е. с будет nроuзведение.м элементов а и Ь, С= аЬ; возможно, наконец, что для операции, определен=+ной в множестве М, будет введена новая терминология и символика.В каждом из числовых колец опреде.'lены две независимые операции-сложение и умножение.
ЧТО же касается вычитания и деления,тоихнельзясчитатьновымиоперациями,таккакониявляютсяобратными соответственно для Сложения и для умножения, если мыпримем следующее общее определение обратной операции.Пусть в множестве М определена алгебраическая операция, например сложение. Говорят, что для этой операции существуетобратная операция - вычитание, если для л ю б о й пары элементов а, Ь из М существует в М такой элемент d, притом лишь е д и нС Т В е н н ы Й, который удовлетворяет равенству Ь+d =а. Элемен тdназывается тогда разностью элементов а и Ь и обозначается символом d=a-b.В числовых полях обратной операцией обладает, очевидно, каксложение, так и умножение (последнее, правда, ограниченно: делитель должен быть отличным от нуля). В числовых же кольцах, неявляющихся полями (как, например, в кольце целых чисел), обратной операцией обладает лишь сложение.§ 44]271кольцоС другой стороны, в системе всех многочленов от неизвестного х,коэффициенты которых при надлежат к фиксированному числовомуполю Р, также определены две операции-сложение и умножение,причем сложение обладает обратной операцией-вычитанием.И в числовых кольцах, и в системе многочленов операции сложения и умножения обладают, как известно,следующимисвойствами(а, Ь, с- произвольные числа из рассматриваемого числового кольцаили произвольные многочлены из рассматриваемой системы):1.11.Сложение коммутативно: а+ Ь= Ь + а.+Сложение ассоциативно: а(Ь+ с)= (аш.
Умножение коммутативно: аЬ= Ьа.IV.V.+ Ь) + с.Умножение ассоциативно: а (Ьс)= (аЬ) с.Сложение и умножение связаны законом(а+Ь) с=асМы уже подготовлены теперь кдистрибутивности:+ Ьс.общемуопределениюпонятиякольца, одного из важнейших понятий алгебры.МножествоRназывается !Сольцом, если в нем определены двеоперации-сложение и умножение, обе коммутативные и ассоциативные, а также связанные законом дистрибутивности, причем сложениеобладает обратной операцией-вычитанием.Таким образом, примерами колец являются числовые кольца икольца многочленов от неизвестного х с коэффициентами из данного числового поля или даже из данного числового кольца.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
