1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 51

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 51)

е. в точке с координатами (ао, [(ао», проведемкасательную к этой кривой и обозначим через d абсциссу точкипересечения этой касатеJIЬНОЙ с осью х. Рис. 11-14 показывают,!IААвРис.13.Рис.14.что число d можно считать приближенным значением корня а. МетодНьютона состоит, следовательно, в замене кривой у ~ [(х) на от­резке (а, Ь) ее касательной в одной из границ этого отрезка. У сло­вие, наложенное на выбор точки ао, очень существенно: рис. 15показывает, что без соблюдения этого условия точка пересечениякасательной с осью х может вовсе не давать приближения к иско­момукорню.262ВЫЧИСЛЕНИЕВыведемформулу,поКОРНЕЙкоторой[гл.МНОГОЧЛЕНОВразыскиваетсяизвестно, уравнение касательной к кривой у= [(х) вчислоd.9Какточке (ао, [(ао»может быть записано в видеу - [(ао)Подставляя сюда координатысосьюх,= [' (ао) (х (d,ао).О) точки пересечения касательнойполучим:-[(ао)=[' (ао) (d-ao),откуда(2)Если читатель соединит на рис.тообнаружит,чтометоды11-14линейнойточки А и В хордами,интерполяции и НьютонаАвРис.вовсеХкорняа15.случаях даютприближение 1с истинному зн~чениюс разных сторон.

Целесообразно поэтому, если отре­зок (а, Ь) уже таков, как это тре­!Jбуется в методе Ньютона, к о м б и­н и р о в а т ьАполучимэтиэтимдвапутемтесные границы с иЕсли они еще нео-о::Т--:~Н~'~--Т---I~.rточностиdметода.Мымного болеедля корня а.даюттребуемойприближения,то к этимпределам следует еще раз приме-нитьfJРис.указанные оба метода (см.рис. 16) и т. д., причем можнодоказать, что этот процесс действи­тельно позволяет вычислить корень а16.с любой точностью.Прнменим эти методык рассматривавшемуся впредшествующих пара­графах миогочленуh (х) =х5 +2х4 -5х 3 +8х 2 -7х-3.ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЕЙ§ 42]263Мы знаем, что этот многочлен обладает простым корнем аl' заключен­ным в границах 1 < аl <2.

Можно сказать заранее, что эти границыслишком широки для того, чтобы методы линейной интерполяции и Ньютона,примененные лишь по одному разу, могли дать хороший результат. Приме­ним их, однако, чтобы иметь один пример, не требующий сложных вычи­слений.Как мы видели в предшествующем параграфе, при х = 1 производныеh' (х), h" (х), . •• , h V (х) получают положительные значеliИЯ. Отсюда следует,иа основании результатов § 39, что значение х = 1 служит для h' (х),а также и дляh" (х)ие содержит,следовательно,верхней границей положительных корней.

Отрезокможно применить метод Ньютона. Кроме того,положительна,атакнужнопринятьh" (х)всюду в этом отрезкекакh (1) =-4,то(1,2)корней этих производных, а поэтому к немуао=2.h (2) =39,Учитывая,чтоh' (2)=109,мы по формуле(2)получаем:39179d=2- 109 = 109= 1,64 ...С другой стороны, формула(1) дает:_2.(-4)-1.39 _ 47 -109с-4 _ 39- 43 - , .••и,следовательно,корень(tlзаключен1,09 <аlв границах<1,65.Мы получили слишкоtr' незначительное сужение границ для того, чтобыпризнать этот результат удовлетворительным.

I(онечно, к вновь полученнымграницам можно было бы еще раз применить наши методы. Целесообразно,однако, с самого начала найти для (tl достаточно тесные границы, напримерс точностью досразусделает,0,1или дажеи лишь затем применять эти методы. Это0,01,понятно, все вычисления весьма громоздкими, но при решенииконкретных задач, требующих достаточно точного знания корней многочлена,наэтоприходитсяидти.Вернемся к нашему многочлену h (х) и его корню аl' причем заметим,что все значения многочленов, приводимые ниже, вычисляются методом Гор·нера. Так какh (1,3) =-0,13987,то1,3т.

е. мынашли значениекорняh (1,31) = 0,0662923851,< <xt <1,31,аl с точностью до0,01.Применим теперьк этим новым границам метод линейной интерполяции:с=1,31. (-о, 13987)-1 ,3·0,06629238510,2694098006~-0,13987-0,0662923851= 0,2061623851Применим к этим же границамжить а о =I,31. Так какметод Ньютона,1,30678 ...причем сле.1\ует поло·h' (1,31) =20,92822405,тоd =131_ 0 ,0662923851 =27,3496811204,20,9282240520,92822405Таким образом,и .поэтому, полагая аl1,30678 < аl < 1,30684,= 1,30681, мы сделаем ошибку,13063, 8 ...меньшую чем0,00003.2б4ВЫЧИСЛЕНИЕКОРНЕЙ[гл.МНОГОЧЛЕНОВМы не показали до сих пор, что изложенные9выше методы насамом деле позволяют вычислить корень с любой точностью, т.

е.не доказали сходимости этих методов.Докажем это хотя бы дляметода Ньютона.Пусть,как и выше,простойкорень а многочлена1 (х)содер­жится в отрезке (а, Ь), выбранном так, как это необходимо для при­менения метода Ньютона. Отсюда следует, в частности, существова­ние таких положительных чисел А и В, что всюду на отрезке (а, Ь)If'(х)1> А, 1/" (х) 1< В.(3)<(4)Введем обозначениеиположим,чтоС(Ь-а)Для выполнения этого неравенстваграницы (а, Ь)1.придется,возможно,корня а более узкими границами;заменитьэто не отразится,однако, на справедливости неравенств (3) Пусть ао будет та из гра­ниц а, Ь, в КОТОРОЙ следует при менять метод Ньютона.

На основа­нии формулы (2) мы последовательно получим в качестве прибли­зн ачений корня а числаа1,а 2 , ••• , ak , ••• ,в отрезке (а, Ь) и связанные между собой равенствамиженныхak = ak -1f (ak_l)(ak_l) 't'лежащиеk= 1, 2, . . •(5)Пусть(б)Тогдагде О< е<1.Таккакj' (a k ) =1= О(5)на отрезок (а, Ь), 10, учитываяh:-2+f"(ak 8hk)t'(ak)=hkf (ak)+ t'(ak)=a-ввидуусловия,наложенногои (б), получим:(f (ak) )ak-t'(ak) =a-ak +1=hk + 1•ОтсюдаIhk+ 1 I=2If"(ak+8hk)12[' (ak)hkCh< hk2В2А =k,2k=О,1,2, ..•Таким образом,Ihk+1 I <или, так как2СЗh4C7h8C2k+1_1 2 k + 1Ch k<k-l<k-2<"'<hoIhoI = 1а- ао 1< Ь- а,Ihk +1I<C-l[С(Ь-а)]2 k +1,k=O, 1,2,...(7)§ 42)ПРИБЛИЖЕННОЕОтсюда,ввиду условия(4),ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЕЙ265следует, что разн,остьHe.)t а.

и его nрuближпmым зн,ачен,иемak ,hk между кор­nолучеющ),t nоследова­тельн,ым при.мен,ен,ием метода Ньютона, стре.Jtится к нулю привозрастанииОтметим,(k+ 1)-гочто и требовалосьчтоформула(7)доказать.даетоценкуflогрешностидляшага, что существенно, если метод Ньютона применяетсяодин, а не вВk,курсахкомБИНаЦИИ с меТОДО\1 линейной интерполяции.теориипознакомиться соприближенныхспособа\1Ибо.lеевычисленийчитательрациональногоможетрасположениявычислений в изложенных выше методах, облегчающими их приме­нениеВ этих же курсах можно найти изложение многих другихметодов приближенного вычисления корней.

Среди них наиболеесовершенным является метод Лобачевского (иногда ошибочно назы­вае\1ЫЙ методом Греффе) Этот метод позволяет находить прибли­женныезначения всехпричемне требуеткорнейсразу,предварительноговтомчисле иотделениякомплексных,корней;онсвя­зан, однако, с весьма громоздкими вычислениями. В основе этогометода лежит излагаемая ниже, в гл. 11, теория симметрическихмногочленов.ГЛАВА ДЕСЯТАЯПОЛЯ И МНОГОЧЛЕНЫ§ 43.Числовые кольца и поляв очень многих предшествующих разделах курса мы оказывалисьвследующемположении:излагаяматериал,мыдопускаликрас­смотрению или любые комплексные числа, или же только действи­тельныечисла,нозатемдолжныбылиделатьполученные результаты остаются справедливыми,лишьдействительнымичислами(или,дословно переносятся на случайзамечание,еслисоответственно,любыхчтоограничитьсячтооникомплексных чисел).Какправило, во всех этих случаях можно было заметить, что изложеннаятеорияполностьюсохраниласьбы и втомслучае,еслибы мыдопустили к рассмотрению лишь рациональные числа.

Настало времяпоказатьчтобычитателюизлагатьистинныепричиныдальнейшийобщности, т. е. наэтогоматериалобщепринятомвпараллелизмаестественнойалгебраическомсдляязыку.тем,негоС этойцелью мы введем понятие п о л я, а также более широкое, но в нашемкурсе играющее лишь служебную роль, понятие к о л ь Ц а.Очевидно,ивсехчто системы всех комплексных, всех действительныхрациональныхчисел,равнокакисистемавсех целыхчисел,обладают тем общим свойствОht, что в каждой из них не толькосложениеиJhlножение,ноивычитаниеоставаясь в пределах саhlОЙ этойcucmehlbl.ныхнапример,числовыхтельных целыхсистемотличаетих,hlОЖНОвыполнять,Это свойство указан­отсистемыили положительных действительныхположи­чисел.Всякая система чисел, комплексных или, в частности, действитель­ных, содержащая сумму, разность и произведение любых двух своихчисел, называется числовым КОЛЬЦОhl.

Таким образом, системы всехцелых, рациональных, действительных и комплексных чисел являютсячисловыми кольцами. С другой стороны, никакая система положи­тельных чисел не будеткольцом,таккак если а и Ь-два раз­личных положительных числа, то либо а- Ь, либо Ь- а отрицательно.Не будет кольцом и никакая система отрицательных чисел хотя быпотому,чтопроизведение двух отрицательных чисел положительно.Числовые кольца далеко не исчерпываются рассмотренными вышечеТЫРI?МЯ примерами.

Сейчас будут указаны некоторые другие при-§ 43]ЧИСЛОВЫЕмеры,причемпроверкаКОЛЬЦАутверждения,И267полячторассматриваемаясистемачисел действительно является кольцом, каждый раз предоставляетсячитателю.Четные числа составляют кольцо; вообще при любом натураль­nномсовокупностьцелых чисел,нацелоn,делящихся набудеткольцом. Нечетные числа кольца не составляют, так как сумма двухнечетныхчиселчетна.Кольцом будет совокупность рациональных чисел,знаменателизаписей которых в виде несократимой дроби являются какими-либuстепенями числа2;к этой совокупности при надлежат, в частности,все целые числа, так как их несократимые записи имеют ЗН8менателемчисло1,т.

е. два в нулевой степени. В этом примере вместо числа2можно взять, конечно, любое простое число р. Вообще, беря любоемножество простых чисел,сматриваясистемуконечное или даже бесконечное, и рас­рациональных чисел,знаменателинесократимыхзаписей которых могут делиться лишь на простые числа, принадле­жащие к взятому множеству, мы также получим кольцо. С другойстороны,совокупность раЦИОН<:fльных чисел, знаменатели несократи­мых записей которых не делятся на квадрат никакого простого числа,не будет кольцом, так как указанное свойство чисел не сохраняетсяприих умножении.Гlереходим[{примерамчисловыхколец, не лежащихцеликомв кольце рациональных чисел. Совокупность чисел видаa+bV2",где а и Ь--любыерациональные(1)числа,будеткольцом; к этомукольцу принадлежат , в частности, все рациональные числа (при Ь = О),а также само число[(ольцо,если бы[{оэффициентамичислаV2"(при а = О, Ь = 1).

Мы получили бы такжеV2ограничилисьа, Ь. В этихVsвзять Vз илиСистема чисел видалишьчисламипрнмерахможно,вида(1)с целымиконечно,вместои т. д.a-t-b v3/2слюбымирациона.'1ЬНЫМИ(илилишь с(2)любымицелыми)коэффи­циентами а, Ь не будет кольцом, так как произведение числана самого себя нельзя,как легко проверить, записать в видеV2(2) 1).Однако система чисел видаa+bV2+cV~~с любыми рациональными коэффициентами а, Ь, с уже будет кольцом,иэто жеимеетместо,еслиограничиться.случаемцелыхкоэффи­циентов.1)Действительно, пустьV4=a+b V2,где числа а и Ь рациональны.

Характеристики

Список файлов книги