1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Пусть(7.1будет действительное значение радикала а;тогда значение Рl радикала р, соответствующееформулы(5),(7.1наоснованиитакже будет действитеllЬНЫМ ввиду действительностичисла р. Таким образом, корень Х 1 =а 1+ Рlуравнения(11)оказы-§ 38]УРАВНЕНИЯ второА,ТРЕТЬЕЙ и ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ237вается действительным. Два других корня мы найдем, заменяя В формулах(1 О)настоящего параграфа корни из единицы 8(7)их выражениямииз'А.Х 2 =а 1 е -г 1"18 2 =а 1И 82 = 82(l+.vз)+А.1 l.vз)-"2 l -21"1 ( -"2-2- == _ а,1 + ~12х з =а 1 8 2= 81§ 19:+ i vза,l-~l2'+ 1"А.
1 8 = a1 (1.vз) + 1"1А. ( -"21+l.-2vз) =- T - l -2=_а,l+~]_il/-за,l-~l.2V2'эти два корня оказываются ввиду действительности чиселa1иPlсопряженными комплексными числами, причем коэффициент при мнимой части ОТlщчен от нуля, так какзначениями=Fa1~1' -эти числа являютсяразличных кубичных радикалов.Таким образом, еслu D<O, то уравн-ен-ие (11) и.меетдействuтеЛЫ-lЫЙ u два сопряжеН-Н-btх КОj,{,пле/uн-ЫХ корн-я.2) Пусть D = О.
в этом случаеа=V-odufi_!L2 'Пусть a 1 будет действительное значение радикала а; тогда ~l такжебудет, ввиду (5), действительным числом, причем а 1 = Рl' Заменяяв формулах (10) Рl через а 1 и используя очевидное равенство8+82=-1, мы получим:Таким образом, еслиD=О, то все /(орн-и уравнен-uя(11)дгЙ·сmОllтельны. приче.Ае два из н-их равн-ы .АtеждУ собой.3)Пусть, наконец,D> О.в этом случае в формуле Кардано подзнаком квадратного корня стоит отрицательное действительное число,апоэтомуподзнаками кубичныхрадикаловстоят сопряженныекомплексные числа. Таким образом, все значения радикалов а и рбудут теперь комплексными числами. Среди корней уравнения (11)должен, однако, содержаться хотя бы один действительный.
Пустьэто будет кореньТак ка!, действительны и сумма чисел ао и Во, и их произведение,равное -i ' точисла ао и Ро сопряжены между собой как корниквадратного уравнения с действительными коэффициентами. Но тогда238[ГЛ.ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНОВ9сопряжены между собой и числа а о 8 и ~o82, а также числа а о 8 2 и~o8, откуда следует, что корни уравнения (11)Х 2 = аов+ ~o82,ХЗ= а о 8 2 + ~o8также будут действительныМи числами.Мы получили, что все три корня уравнения (11) действительны,причем легко показать, что среди них нет равных. В самом деле,в противном случае выбор корня Х 1 можно было бы осуществитьтак, чтобы имело место равенство х 2 =х з , откуда<Х о (8-82)=~o(8-82),т.
е. ао=ро, что явно невозможно.Таким образом, еслиО, то ypaBfleH,ueD>(11) и.меет триразлиЧflЫХ действиmеЛЬflbtх /СОРflЯ.Рассмотренный сейчас последний случай показывает, что пр акт ическое значение формулы Кардано весьма невелико. В самом деле,хотя приD> Овсе корни уравненияс действительными коэф(11)фициентами являются действительными числами, однако разысканиеих поформулекомплексныхнометрическоймощьюКардано требуетчисел,что мы умеемформерадикаловэтихтеряетизвлечения кубичных корнейделать лишь переходомчисел.Поэтому записьпрактическоезначение.корней сПриизк тригопопомощиметодов, выходящих за рамки нашей книги, можно было бы доказать, что в рассматриваемом случае корни уравненияникаким способомнемогутбыть(11)при помощи радикалов с действительными подкоренныминиями. Этот случай решения уравнения (11) называется.AtbtM (не смешивать с неприводимостью многочленов!).При м еры.1.вообщевыражены через коэффициентывыражеflenpUBoau-Решить уравнениеуЗ +3 у 2-3у-14=0.Подстановка у = х- 1приводит это уравнение к видух 3 -6х-9=0.Здесь р=-6,q=-9,(12)поэтомуq249р34+27="4>0,т.
е. уравнение(12)имеетодин действительный иплексных корня. По (9) СХ=Поэтому€XJ.=2,.~l=l,~V"2+"2=v-8.два сопряженных ком-~=V~2-"2=v-3.VЗ3лам (10). Х 2 =-"2+ ! -2-' Х З =-"2- tуз2.Отсюда следует, что корнями заданного уравнения служат числаYl=2,1.т. е. Хl=3' Два других корня найдем по форму-У2=- ~ +i ~3. Уз=- ~ - i ~3.§ 38]2.239УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ, ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИРешить уравнениеЗдесь р=-12,q= 16,поэтомуq2р3Т+27=О.Отсюда следует: <х=3.V -8,т.
е. <хl =-2. ПоэтомуРешить уравнение+ 30 =о.q2р3784Т+27=- 2f<х 3 -19хЗдесь р=-19,q=30,поэтомуо.Таким образом, если оставаться в области действительных чисел, формулаКардано к этому уравнению неприменима, хотя его корнями являются действительные числа 2, 3 и -5.Уравнениячетвертойстепени.Решениеуравнениячетвертойстепени(13)с произвольнюlИ комплексными коэффициентами сводится к решению некоторого вспомогательного кубичного уравнения.
Достигаетсяэто следующим методом, принадлежащим Феррари.Предварительно уравнениедитсяквидух4(13)аподстановкой У=Х-"4+ рх + qx + r =2приво-О.(14)Затем левая часть этого уравнения следующим образом тождественнопреобразуется при помощи вспомогательного параметра а:x4+Px2+qx+r=( х 2 + ~ +а у +qx+r- ~2 _а2_2ах2 _ раили(х 2 + ~ +а )2_ [2ax 2 - qx+ (а 2 +ра-г+ Р: )] =0.(15)Подберем теперь а так, чтобы многочлен, стоящий в квадратныхскобках, стал полным квадратом.
для этого он должен иметь одиндвукратныйкорень,т.е.должноиметьместоq2-4.2a (а 2 + ра-г+ Р:Равенство(16)равенство)=0.(16)является кубичным уравнением относительно неизвестного а с комплексными коэффициентами. Это уравнение имеет, какмы знае'vl, три комплексных корня. Пусть а о будет один из них; онвыражается ввиду формулы Кардано при помощи радикалов черезкоэффициенты уравнения (16), т.
е. через коэффициенты уравнения {1t).240ВЫЧИСЛЕНИЕКОРНЕЙ[гл.МНОГОЧЛЕНОВ9ПРИ этом выборе значения для а многочлен, стоящий в квадрат·q , и поэтому уравных скобках в (15), имеет двукратный корень -4аонение (15) принимает вид(:,:2 + ~ +ао ут.е.онораспадаетсяна- 2ао (:.: - 4:J 2=0,дваквадратныхх' - V 2а"х + (f + а, + 2 ;:.:2Таккакотуравнения:2• .)~ о,1(17)+ V2o:ox + ( ~ +ао - 212aJ = О. Jуравненияпомощи тождественных(14)к уравнениямпреобразований,(17)мы пришли ПрИто корниуравнений(17)будут служить корнями и для уравнения (14)~ Легко видеть вместес тем, что корни уравнения(14)выражаются через коэффициентыпри помощи радикалов.
Мы не будем выписывать соответствующихформул ввиду их громоздкости и практической бесполезности,станем также исследоватьотдельнослучай, когда уравнениене(14)имеет действительные коэффициенты.Замечанияобуравненияхвысшихстепеней. В то время какметодами решения квадратных уравнений владели еще древние греки,открытиеизложенныхвышеметодовXVIи четвертой степени относится кстолетия продол жались безуспешныерешенияуравнений третьейвеку. После этого почти трипопытки сделатьследующийшаг, т.
е. найти формулы, выражающие при помощи радикалов корнилюбого уравненияпятойстепени(т.е.уравнения пятойстепенис б у к в е н н ы м и коэффициентами) через его коэффициенты. Этипопытки прекратились лишь после того, как Абель в двадцатыхгодах прошлого века доказал, что такие формулы для уравнений n-йстепени при любом n;;;э 5 заведомо не могут быть найдены.Этот результат Абеля не исключал, однако, возможности того,что корни всякого конкретногомногочлена с числовымициеtIтами все же каким-либо способом выражаютсяциенты при помощипринятоговорить,не которойчтовсякоекомбинации радикалов,уравнениеразрешимокоэффичерез коэффивт. е.,какрадикалах.Полностью вопрос об условиях, при которых данное уравнение разрешимо в радикалах, был исследован Галуа в тридцатых годах прошлого века.
Оказалось, что для всякого n, начиная с n = 5, можнонеразрешимые в радикалах уравнения n-й степени дажеуказатьс целочисленными коэффициентами. Таким будет, например, уравнениех 5 -4х-2=О.Исследования Галуа оказали решающее влияние на дальнейшеераЗВ!lтие алгебры. Их изложение не входит, однако, в наши задачи.ГРАНИЦЫ§ 39]§ 39.241КОРНЕЙГраницы корнейМы знаем, что не существует метода для разыскания точных значений корней МНОГОЧЛеНОВ с числовыми коэффициентами.
Тем не менее,самые различные проблемы механики, физики и всевозможных отраслей техники сводятся к вопросу о корнях многочленов, притом иног дадостаточно высоких степеней. Это обстоятельство явилось поводомдля весьма многочисленных исследований, имевших целью научитьсяделать те или иныевысказыванияо корнях многочленас числовымикоэффициентами, не зная этих корней.
Изучался, например, вопросо расположении корней накоторых всекомплексной плоскостикорни лежат внутриединичнo.rо(условия,круга, т. е.припо модулюменьше единицы, или условия для того, чтобы все корни лежали в левойполуплоскости, т. е. имели бы отрицательные действительные части,и т. д.). Для многочленов с действительным!! коэффициентами разрабатывалисьметодыопределениячислаих действительныхкорней,разыскивались границы, между которыми эти корни могут находиться,и т.
д. Наконец, Ml;lorO исследований было посвящено методам приближенноговычислениякорней:втехнических приложенияхобычнодостаточно знать лишь приближенные значения корней снекоторойзаранее данной точностью и если бы, например, корни многочленадаже записывались врадикалах, этирадикалы все равно были бызаменены их приближенными значениями.Все эти исследования составляли в свое время основное содержание высшей алгебры. Мы ВКllIочаем в наш курс лишь весьма небольшуючасть относящихся сюда результатов, причем, учитывая первоочередные потребности приложений, ограничиваемся случаем многочленовс действительнымикоэффициентами иихдействительных корней,лишь иногда выходя за эти рамки.
При этом мы будем систематически рассматривать многочленентами какf(х) с действительными коэффици(непрерывную) действительнуюфункцию действительного переменного х и всюду, где это будет полезно, будем применятьрезультатыиметодыматематическогоанализа.Исследование действительных корней многочленаf(х) с действительными коэффициентами полезно начинать с рассмотрения графикаэтого многочлена: действительными корнями .)tногочлена будут.очевидно, абсциссы точек пересечения его графика с осью х итолькоони.Рассмотрим,например,h (х)многочлен пятой степени=хо+ 2х 4 -5х 3 +8х 2 -7х-З.На основании результатов§ 24о корнях этого многочлена можноутверждать следующее: так как его степень нечетна, тоh(х) обладаетхотя бы одним действительным корнем; если же число действительных корней больше единицы, то оно равно тремкомплексныекорнипопарносопряжены.или пяти,так как242ВЫЧИСЛЕНИЕ[гл.КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНОВ9Рассмотрение графика многочлена h (х) позволяет сказать большео его корнях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
