1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 43
Текст из файла (страница 43)
ТаКИ\f обраЗО~I, ВСЯ1Сое ортогональное nреобразованuе+неизвестных ЯВЛяется невырождеННЫ.Jt.Самособойразумеется,что утверждать обратное нельзя; отметим также, что далеко не всякая матрица с определителем,равным+ 1,будетортогональной.Матрица, обратпая 1с ортогональной, са.ма будет ортогональной. Действительно, переходя в (4) к транспонированным матрицам,Смыполучим:другойстороны,произведениеортогонаЛb1-lЫХ.матрицса.моортогонально. Действительно, если матрицыQи Rортогональные,то, используя§ 26иравенство,(4),а также равенство(6)изсправедливое для обратной матрицы,аналогичноемы ПОЛУЧИМ:в § 37 будет использовано следующее утверждение:Матрица перехода от ортонор.мированноЙ базы еВ1Слuдовапространства 1с любой другой его ортонор.мuрованноЙ базе является ортогональной.Пусть, в самом деле, врованные базы е 1 , е 2 ,пространстве Е n заданы две ортонорми••• , е n и e'l' e~, ••• , e~ с матрицей переходаQ= (qij) ,е'=Qe.Так как база е ортонормированная, то скалярное произведение любых двух векторов, в частности любых двух векторов из базы е',равно сумме произведений соответственных координат этих векторовв базе е.
Так как, однако, и база е' ортонормированная, то ска}IЯРНЫЙ квадрат каждого вектора из е' равен единице, а скалярноепроизведение любых двух разных векторов из е' равно нулю. Отсюда для строк координат векторов базы е' в базе е, т. е. длястрок матрицыQ,вытекают те утверждения, которые, как выведеновыше из равенства(5), характерны для ортогональной матрицы.Ортогональные преобразования евклидова пространства.
Сейчас уместно изучить один интересный специальныйтиплинейныхпреобразований евклидовых пространств, хотя преобразования этоготипа и не будут у нас далыпе использоваться.Линейное преобразованиееревклидовапространстваЕ n называется ортогональnы.м nреобразоваnие.м этого еВ1Слuдова пространства,если оносохраняет скалярный квадрат всякого вектора, т. е.для любого вектора а(аер, аер)=(а, а).(6)220ЕВКЛИДОВЫ{гл.ПРОСТРАНСТВА8Отсюда выводится следующее более общее утверждение, которое,понятно,такжеможет бытьпринято вкачестве определения ортогонального преобразования'Ортогональноесохраняетпреобразованиескалярное<рпроизведениеевклидовалюбых двухпространствавекторова, Ь,(а<р, Ь<р) = (а, Ь).Действительно, ввиду(7)(6)«а+Ь)<р, (а+Ь)<р)=(а+Ь, а+Ь).Однако«а+ Ь) <р,+ Ь) <р) =+ Ь<р) == (а<р, а<р) + (а<р, Ь<р) + (Ь<р, а<р) + (Ь<р,(а + Ь, а + Ь) = (а, а) + (а, Ь) + (Ь, а) + (Ь, Ь)(аОтсюда, используятативность(а<р(6)скалярного-1- Ь<р,а<рЬ<р),как для а, так и дЛЯ Ь, и учитывая коммуумножения,2а поэтому имеет место и(а<р, Ь<р) =получаем2 (а,Ь),(7).При ортогональном преобразованuu евклuдова пространстваобразы всех векторов любой ортонормированной базы сами составляют ортОНОРАlUрован,н,ую базу.
Обратн,о, если лuн,ейн,оепреобразованuе евклuдова пространства переводит хотя бы однуортон,ормирован,н,ую базу сн,ова в ортон,ормированную базу, тоэто преобразование ортогон,альн,о.В самом деле, пусть <р - ортогональное преобразование пространства Е т а е 1 , е 2 , ••• , еn-произвольная ортонормированнаябаза этого пространства. Ввиду (7) из равенств(ерe,)=l,i=1,2, ... , п,(ер ej)=O при i=l=jвытекают равенства(е,<р, е,<р) =1, i=l, 2, ... ,(е,<р, е;<р)=о прит.ие.система векторов е 1 <р, е2<Р,.•• ,п,i=/=j,еn<р оказывается ортогональнойнормированной, а поэтому она будет ортонормированнойбазойпростраНСl ва Еn •Обратно,пустьлинейноепреобразование<рпространстваЕnпереводит ортонормированную базу е 1 , е 2 , ••• , е n снова в ОРТОНОРмированную базу, т. е система векторов е 1 <р, е 2 <р,ортонормированной базой пространства Еn . Если•.• , еn<р является§ 35]-ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ221произвольный вектор пространства Ет тоnаср= ~a! (e1qJ),1=1т.
е.векторaqJимеет в базете же координаты, что И вектор аeqJв базе е. Эти обе базы являются, однако, ортонормированными, апоэтому скалярный квадрат любого вектора равен сумме квадратовего координат в любой изэтих баз. Таким образом,n(а, а) = (aqJ, aqJ) = ~ а;,i=1т. е.равенство(6)действительно выполняется.Ортогональное nреобразование еВlCлидова пространства в любой ортОНОР.АtированноЙ базе задается ортогональной .матрицей.Обратно, если линейное nреобразование еВlCлидова пространствахотя бы в одной ортонор.мированноЙ базе задается ортогональной .матрицей, то это nреобразование ортогонаЛЬ1l0.Действительно, если преобразование qJ ортогональное,е 1 , е2 ,о•• ,е n ортонормированная, то и система векторовабазаe1qJ, e2 qJ, .о•• • О, enqJ будет ортонормированной базой.
Матрина А преобразования qJ в базе е,(8)eqJ=Ae,будет, следовательно,матрицейпереходабазы е к ортонормированной базе eqJ, т.оте.,ортонормированнойкакдоказановыше,будет ортогональной.Обратно, пусть линейное преобразование qJ задается в ортонормированной базе е 1 , е 2 ,место, следовательно,••• , е n ортогональной матрицей А; имеетравенство(8).ванная, то скалярное произведениелюбых векторов из системыТак как база е ортонормиролюбыхвекторов,e1 qJ, e2qJ, •..
, enqJ,вчастностиравно сумме произведений соответственных координат этих векторов в базе еО Поэтому,так как матрица Аортогональна,(etqJ, e1qJ) = 1, i=1, 2, 0'0'(e1qJ, ejqJ)=O при i=j::j,т.е.системаn,eqJ сама оказывается ортонормированной базой простраНС1 ва Е n • Отсюда вытекает ортогональность преобразования {jJ.Как читатель знает из курсавсех аффинных преобразованийначалокоординат,кальнымивращенияотражениями)аналитическойплоскости,(соединенные,являютсягеометрии,средиоставляющих на местебытьединственными,может,сзерсохраняющими222ЕВКЛИДОВЫ[гл.ПРОСТРАНСТВАскалярное произведение векторов. Такимобразом,8ортогональныепреобразования n-мерного евклидова пространства можно рассматриватькак«враLЦения»этогопространства.К числу ортогональных преобразований евклидова пространствапринадлежит, очевидно, тождественноестороны,преобразование.С другойустановленная нами связь между ортогональными преобраЗ0ваниями и ортогональными матрицами, а также изложенная всвязь между операциямиn реобразованияминад линейными§ 31и надматрицами ПОзволяют из известных свойств ортогональных матрицвывести слеДУЮLЦие свойства ортогональных преобразований евклидовапространства,ВСЯ1соелегкопроверяемыеортогональноеинепосредственно:nреобразованиеявляетсяневырожденны,м и его обратное nреобразование также ортогонально.Произведениелюбыхортогональныхnреобразованийортогонально.§ 36.Симметрические преобразованияЛинейное преобразование <р n-мерного евклидов а пространстваси,М,Метрически,М (или са,Мосоnряженны,М), если длялюбых векторов а, Ь этого пространства имеет место равенствоназывается(аер, Ь) = (а, Ь<р),(1 )т.
е. символ симметрического преобразования можно при скалярномумножении переносить с одного множителя на другой.I1римерами симметрическихпреобразованийслужат,очевидно,тождественное преобрззование Е и нулевое преобразование Ф. БолееоБLЦИМ примером является линейноеВСякий вектор умножаетсяпреобразование,при которомна фиксированное число а,аер=аа.Действительно, в этом случае(аер, Ь) = (аа, Ь)= а (а,Ь) = (а, аЬ)= (а,Ьер).Роль симметрических преобразований весьма велика и нам необходимоизучитьихдостаточнодетально.Си'м'метрическое nреобразование евклидов а пространства в любой ортОНОР'мированной базе задается си'м'метрической 'матрицей. Обратно, если линейное nреобразование евклидова пространства хотя бы в одной QртОНОР'мированной базе задаетсяси'м'метрической ,Матрицей, то это nреобразование си'м'метрическое.Действительно, пусть симметрическое преобразование ер задаетсяв ортонормированной базе е 1 , е 2 ,••• , е nматрицей А=(аи)' Учитывая, что в ортонормированной базе скалярное произведение двух§ 36)СИММЕТРИЧЕС~ИЕ223ПРЕОБРАЗОВАНИЯвекторов равно сумме произведений соответственных координат этихвекторов,мыполучаем:(eiqJ, ef)=(i;CGike k, ef)CG if ,=k=1(e i, efqJ) = (e i, i;CGjkek)=CGji,k=1т.
е., ввидуДЛЯ всехiи(1),).Матрица А оказалась,такимобразом,симметрической.Обратно, пусть линейное преобразованиемированной базеe1 , е 2 ,qJ задается в ортоноре n симметрической матрицей"',аи=алдля всехiи }.A=(CGij ),(2)ЕслиnЬ= 1=1~~iei'-любые векторы пространства, тоbqJ=CqJ=i;~i (eiqJ) = i;(i;~iCGij)ei'1=1j=11=1i;y. (e.qJ)= i;(i;y'CG.t)e i •j= 1 J1= 1 j= 1 //JИспользуя ортонормированность базы е, получаемn(ЬчJ, С) =.~ ~iCGijYj'/.1=1n(Ь, CqJ)=.~ ~iYPji'1./=1Ввиду(2)правые части последних равенств совпадают, а поэтому(bqJ, с)=(Ь, щ),чтои требовалось доказать.Из поnученного результата ,вытекает следующее свойствосимметрических преобразований, легко проверяемое и непосредственно:СуммаCUM.AtempU1ieclCUXnреобразоваl-lUЙ, а таlCже nроuзведеl-luесимметрuчеСlCого nреобразоваl-lUЯ па чuслочесlCUМU nреобразоваl-lUЯМU.являютсяCUM.Jtempu-докажем теперь следующую важную теорему:ВсехараlCтерuстuчеСlCuеbal-lUЯ деЙствuтельnы.ICOpl-lUСUМ.nетрuчеСlCогоnреобразо224ЕВКЛИДОВЫR[гл.ПРОСТРАНСТВАТак как характеристические корни любого линейного преобразованиясовпадаютпреобразованиязадается втохарактеристическимилюбойбазе,акорнямиматрицыэтогосимметрическое преобразованиеортонормированных базах симметрическими матрицами,достаточноВсесвдоказатьследующеехаРaJстеристическиеутверждение:корниси.м.JtетрическоЙ.матрицыдействительны.В самом деле, пусть 1..0 будет характеристический корень (бытьможет, комплексный) симметрической матрицы А(a ij ),=IA-ЛоЕI=О.Тогдасистемалинейныходнородныхуравне1шйскомплекснымикоэффициентамиn~Cl.ijX j=jo= 1имеетравныйрешением~1,нулю~2,ЛоХ i ,i = 1, 2, ...
, n,определитель,~n'••• ,вообщет.е. обладаетговоря,н е н ул е в ы мкомплексным;такимобразом,n~ аиР j = ЛО~i' i = 1, 2, ... ,n.(3)j=lУмножая обе части каждого ё-го из равенств (3) на числоряженноечастисвсехчислом~i'И складываяполучающихсяравенств,n~отдельномылевыеприходи мКи[3i'сопправыеравенствуnCl.ijP{. j=lj13i = 1..0 i=l~ ~i13i'(4)Коэффициент при 1..0 в (4) является отличным от нуля действичислом, будучи суммой неотрицательных действительныхчисел, хотя бы одно из которых строго положительно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
