1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 39
Текст из файла (страница 39)
ез трехмерного7линейного пространствалинейное пр~образование ~ задается матрицейА=(-2 11О)3 2 .-4 1ОЕслпто(5. 1, -2)(-2 11От.О)3 2 =(-9, 16,-4 1е.a~ = - 9е1О),+ 16е2'Связь между матрицами линейного преобразования в разныхбазах. Само собою разумеется, что матрица, задающая линейноепреобразование, зависит от выбора базы. Покажем, какова связьмежду матрицами, задающими в разных базах одно и то же линейHO~ преобразование.Пусть даны базы е и е' с матрицей перехода Т,е'=Те,и пусть линейноепреобразование(11)<р задаетсяв этих базахсоответственно матрицами А и А',е<р=Ае,Второе из равенстве'<р=А'е'.приводит, ввиду(12)(11),(12)к равенству(Те) <р = А' (Те).Однако(Те) <р = Т (еер).Действительно, если ('t'il'(т н е 1't'12' ••• , 't'in) -i-я строка матрицы Т, то+ 't'i2 e2+ ... + 't'jnen) <р =Таким образом, ввидуА' (Те)+ 't'i2 (е 2 <р) + ... + T in (еn<р)·(12),(Те) ер = Т (е<р)т.'t'il (е 1 <р)=Т (Ае) = (ТА) е,= (А'Т) е,е.(ТА) е = (А'Т) е.Если хотя бы для одногоотличнаотi-й строкиi, 1 :::;:;; i ..:;;; n,i-я строка матрицы ТА будеткомбинации векторов е 1 ,матрицы А'Т, то дверазличныелинейныее 2 , ••• , е n окажутся равными друг другу.что противоречит линейной независимости базы е.
Таким образом,ТА=А'Т,§ 31]199ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАзОВАНИЯоткуда, ввиду невырожденности матрицы перехода Т,А=A'=TAT-l,T-IA'T.(13)Заметим, что квадратные матрицы В и С называются nодобны.ми,еслионисвязаныравенствомгде Q-некоторая невырожденная матрица. При этом говорят, чтоматрица С получена из матрицы В тран.сфор.мuрован.ие.м матрицей Q.Доказанные выше равенства (13) можно сформулировать, такимобразом, в виде следующей важней теоремы:Матрицы, задающиеодн.оито же лин.ейноеnреобразованиев разн.ых базах, подобны .между собой. При это.м .матрица лин.ей~ного nреобразования ер в базе е' получается трансфор.мирование.м.матрицы этого flреобразован.иябазы е' (( базе е.в базее .матрицей перехода отПодчеркнем, что если матрица А задает линейное преобразование ер в базе е, то любая матрица В, подобная матрица А,B=Q-IAQ,также задает преобразование ер в некоторой базе, а именно в базе,получающейся из базы е при помощи матрицы перехода Q-l.Операции над линейными преобразованиями.
Сопоставляя каждому линейному преобразованиюпространстваVNегоматрицувфиксированной базе, мы получаем, как доказано, взаимно однозначное соответствие между всеми линейными преобразованиямии всеми квадратными матрицами порядка n. Естественно ожидать,чтооперациямсложенияиумноженияматриц,а также умноженияматрицы на число, будут соответствовать аналогичные операциинад линейными преобразованиями.Пусть в пространстве V N даны линейные преобразования ер и 'ф.Назовем су.м.моЙ этих преобразований преобразование ерделяемое+ 'Ф,опреравенствома (ер +'ф)=аер +шф;(14)оно переводит, следовательно, любой вектор а в сумму его образовпри преобразованиях ер и 'ф.Преобразован.uе ер+ 'Фявляется лин.еЙн.ы.м.
Действительно, длялюбых векторов а и Ь и любого числа а~+~~+~=~+~ep+~+~'IjJ== аер +Ьер+(аа) (<р+ 'Ф) =(аа) <рa'IjJ + b'IjJ =а (<р +'ф) +Ь (<р +'ф);+ (аа) Ч)=а (а<р) + а (а'ф) == а (а<р + а'Ф) =а [а (<р+ 'ф)1.200[ГЛ.ЛИНЕйНЫЕ ПРОСТРАНСТВАс другой стороны, назовем nРОllзведенuемлинейных7IJреобразований <р и 'Ф преобразование <Р'Ф, определяемое равенствома (<р'Ф) = (щ) 'Ф,т.е.получающеесяврезультате(15)последовательноговыполненияпреобразований <р и 'Ф.Преобразование <р'Ф является линейным:(а+ Ь) (<р'Ф) =[(а+ Ь) <р] 'Ф =(а<р + Ь<Р)'Ф == (а<р)'Ф(аа) (<р'Ф) = [(аа) <р] 'ФНазовем,наконеи,[а (а<р)] 'Ф=произведением=+ (Ь<р) 'Ф =а (<р'Ф)+ Ь (<р'Ф);а [(а<р) 'Ф] = а [а (<р'Ф)J.Лll1iейногоnреобразования<рна число Х преобразование Х<р, определяемое равенствома (Х<р)=Х (а<р);образы прительно,наrfреобразовании <р всех(16)векторовумножаются,следовачисло .Х.Преобразование Х<Р является Лllнейным:(а +Ь) (Х<р)=Х [(а +Ь) <р] =Х (а<р+ Ь<р)==Х (а<р)(аа)(х<р)Пустьв= х [(аа) <р] = х [а (а<р)] =базеel' е2"'" елпреобразованиясоответственно матриuами А = (a/j) ие<р = Ае,Тогда, ввиду+ Х (Ь<р) =а [х (а<р)]8==а (Х<р)+ Ь (Х<р);а[а (х<р )].<ри'Фзадаются(~и)'е'Ф = Ве.(14),ПППе/(<р+'Ф)=еj<р+еi'Ф=' ~ aijej+ ~ ~jjej= ~ (ail+~ij)ej,j=lт.j=lj=1е.Такимобразом,матрицасуммыЛllнейныхnреобразованuu8 любой базе равна сумме матРIЩ этих nреобразований в той жебазе.С другой стороны, ввидуе; (<р'Ф) =(ej<p)'Ф =(tlajjej )=(15),'Ф =ajjСеj'Ф) =±ац (± ~jkek) = t (± a/j~jk)j=lт.jtlk=1е.е (<р'Ф) = (АВ) е.k=lj=lek'§ 32]201ЛИНЕЙНЫЕ подпрострлнствлИными словами, .матрица произведения линейных nреобразованийв любой базе равна произведению .матриц этих nреобразова/1,и/i.в той же базе.Наконец, ввиду (16),nnе; (хер) = х (ejep)= х ~ IY.ije j = .~ (XIY.
ij ) ej ,1=1т.1=1е.е (хер)=(хА) е.Следовательно, .матрица, задающая в некот()рой базе nроuзведе/1,ие линейного lzреобразова/1,ия ер на число х, равна nроизведеflию .матрицы са.мого nреобразоваflия ер в этой базе па число х.ИЗ полученныхрезультатовследует, что операциинад линейными преобразованиями обладают теми же свойствами, что и операциинадматрицами.коммутативноn> 1иТак,сложениеассоциативно,алинейныхумноженш~преобразованийассоциативно,ноприне коммутативно. Для линейных преобразований существуетоднозначное вычитание. Отметимтакже,чтотождествеН/1,оеlzреобразоваnие в играет среди лиnейnых nреобразоваnий рольедииицы, а пулевое nреобразова/1,ие ф-роль пуля. Действительно,в любой базе преобразование 1': задается единичной матрицей, апреобразование Ф-нулевой матрицей.Линейные подпространства§ 32*.Подмножестволинейного пространстваLVназывается лиnейnы.м nодnростра/1,ство.м этого пространства, если оно само являетсялинейнымпространствомОJl~рациямсложенияТак, в трехмерномров,выходящихпоотношениювекторовевклидовомизначалаикумноженияопределеннымвекторанапространстве совокупностькоординатилежащихнавVчисло.вектоне которойплоскости (или не которой прямой), проходящей через начало, буделинейнымДляVrподпространством.тогочтобыбыло его лин,еЙн,ы.мн,еnустоеnод.!ttн,ожество L nростран,ствадостаточн,о выnолн,ен,ияnodnpocmpancmno.!tt,следующих требований:-Если векторы а и Ь nr:uн,адлежат к L, то в L содержитсяи вектор аЬ.2.
Если вектор а nрин,адлежиm к L, то в L содержитсяи вектор IY.а при любо.м зн,ачен,ии числа IY..действительно, ввиду условия 2, множество L содержит нулевой1.вектор:+есливекторапринадлежиткL,тоLсодержит и вектор О· а = О. Далее, L вместе со всяким своим вектором а содержит, снова ввиду свойства 2, и противоположный ему вектора = ( - 1). а" а поэтому ввиду свойства 1 к L принадлежити разность любых двух векторов из L. Что же касается всех остальных-[гл.ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА202требований, входящихв7определение линейного пространства, тоони, выполняясь в V, будут выполняться и в L.Примерами линейных подпространств пространстваV,служить само пространствоа такжемножество,одного нулевого вектора, -так называемоенулевоеV могутсостоящее изподпространство.
Более интересен следующий пример: берем в пространствеVлюбую конечную систему векторов(1)иобозначаемчерезtмножествоявляются линейными комбинациямивсехтехвектороввек(1).ropOB,которыеДокажем, чтоLбудет линейным подпространством. В самом деле, еслиb=a1a1 +а 2 а 2 + ... +а,а"C=~lal +~za2+ ... +~,a"тот. е.векторЬ+ с'УЬпринадлежиткL;кLпринадлежит и вектор= (уа 1 ) a1 + (yaz) а 2 + ... + (уа,) а,при любом числе у.Говорят, что это линейное подпространство L nорождеflО системой векторов (1); к L принадлежат, в частности, сами векторы (1).Впрочем,лuнейноговсякоелин,ейflоеnpocn,patlcmnaторов, Tal( как еСJIИ оноnoanpocmpaflcmnonорождается/Сонечнойне является нулевым,/СонечномеРflогосuстемой ве/Сто обладает дажеконечной базой.
Размерность линейного подпространства L не большеразмерности n самого пространства V n , причем равна n лишь при=Vn ' Размерностью нулевогоконечно, число О.LДля вся/Сого,ЛUflейныеk,0< k < n,noanpocmpaflcmnaподпространство,независимыхвпространстве Vn существуютk-достаточно взятьлюбой системой из k линейноразмерностипорожденноевекторов.Пусть в пространствеСовокупностьподпространства следует считать,LoVданы линеЙные подпространствавекторов, принадлежащихкак кL1 ,L1 итак и кбудет, как легко проверить, линейным подпространством;L 2•L2 ,оно называется nересечеtlием подпространствL 1 ~ L 2.
С другой стороны,L подпространств L 1 и L 2,V, которые представимыL 1 , другого из L 2 • ЕслиLo И 1 суть, соответственно,линейным подпространством будет и суммат. е. совокупность всех тех векторов изв виде суммы двух слагаемых, одного изразмерности ~одпространств L 1 , L 2 ,и d, то имеет место следующаяd1 , d 2 , doформула:(2)§ 32]т. е.ЛИНЕЙНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВАразмерностьсуммыдвух203nодnространствравнасуммеразмерностей этих nодnространств минус размерность их пересечения.Для доказательства берем произвольную базуа1 ,подпространстваLoа1,подпространстваL1а1,иее до базыдополняема2 ,(3)•. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
