1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

Ими будут, прежде всего, те n-мерные действитель­ные векторные пространства,рые изучались в гл.ствавекторов-отрезков,скостиииливумножениявыходящихтрехмерномнасоставленные из векторов-строк, кото­Линейными пространствами будут и множе­2.числоизначалапространстве,пониматьвеслитомксюрдинатоперациинапло­сложениягеометрическомсмысле,который был указан в начале параграфа.Существуют также примеры линейных пространств, таК сказать«бесконечномерных».

Рассмотрим всевозможные последовательностидействительных чисел;они имеют видОперации над последовательностяминентно:будем производитьпокомпо,еслитоа+Ь=(а 1 +Рl' а 2 +Р2'..• , аn+рn • •.. );С другой стороны, для любого действительного числа у-уа = (-уа 1 , уа2' ••• , 'Уаn.Все аксиомыI-VIII• .. ).выполняются, т. е. мы получаем действитель­ное линейное пространство.Примером бесконечномерногожествовсевозможныхпространствадействительныхфункцийбудеттакже мно­действительногопеременного, если сложение функций и их умножение на действи­тельное число понимать так, как это принято в теории функций,т. е.

как сложение или умножение на число значений функций прикаждомзначениинезависимогопеременного.Изоморфизм. Нашей ближайшей цельювсех линейных пространствтех,которыебудет выделение средиестественноназвать ко­нечномерными. Введем сначала одно общее понятие.В определении линейного пространства говорилось о свойствахопераций надвекторами,ноничегонеговорилосьосвойствах[гл.ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА188самих векторов. Ввидунекоторыхдвухэтогоданныхможет случиться,линейных7что хотя векторыпространствпо своей природесовершенно различны, однако с точки зрения свойств операций этидва пространства неразличимы.Точное определение таково:Два действительных линейных пространстваVиV'называютсяизо,морфны,ми, если между их векторами установлено взаимно од­нозначное' соответствиевсякому вектору а из-Vсопоставлен век­тор а' из V', о б раз вектора а, причем различные векторы из Vобладают различными образами и всякий вектор из V' служит обра­зомнекотороговектораизV, -иеслиобразо"," суммы двух векторовз о вэ т и хприэтомслужитсоответствиисумма обра­в е к т о р о в,(а+Ь)'=а'+Ь',а образом произведениявектора(2)начислослужитпроизведение образа этого вектора на.то ж'е число,(аа)' =аа'.(3)Отметим, что взаимно однозначноестранствами V и V', удовлетворяющеевается иЗОJtорфНЫ.Jrt соответствие,м.соответствие между про­условиям (2) и (3), назы­Так, пространство векторов-отрезков на плоскости, выходящихиз начала координат, изоморфно двумерному векторному простран­ству,составленномуиз упорядоченныхпар действительных чисел:мы получим изоморфное соответствие между этими пространствами,если на плоскости фиксируем некоторую систему координат и вся­комувектору-отрезкусопоставимупорядоченнуюпаруегокоор­динат.Докажем следующее свойство изоморфизма линейных пространств:образо,м нуля пространства V при изо,морфно,м соответствии'!.между nространства.мии V' служит нуль пространства V'.Пусть, в самом деле, а будет некоторый вектор из V, а' - егообраз вV'.Тогда, ввиду(2),а'=(а+О)'=а'+О',т.

е. О' будет нулем пространства§ 30.V'.Конечномерные пространства. БазыКак читатель без труда может проверить,Л и н е йн о йв§ 9,з а в и с и м о с т ивекторов-строк,те два определениякоторые были даныравно как и доказательство эквивалентности этих определе­ни1\, используют лишьоперациинадвекторами и поэтому могутбыть пере несены на случай любых линейных пространств. В аксио­матически определенных линейных пространствах можноговорить,следовательно, о линейно независимых системах векторов, о макси-§ 30]КОНЕЧНОМЕРНЫЕмальных линейноит.ПРОСТРАНСТВА.независимыхсистемах,189БАЗЫеслитакие существуют,д.Если линейные пространстваве1Сторова 2 , ••• ,akVиV'изоморфны, то системаV тогда и толь1СО тогда линейнозависима, если линейно зависима система их образов a~.

а;, .•• , a~ва!,изV'.Заметим, что если соответствие а- а' (для всех а из V) является·изоморфным соответствием между V и V', то и обратное соответ­ствие а' --+ а также будет изоморфным. Поэтому достаточно рас­смотреть случай,а 2 , ••• ,система а 1 ,когда линейно зависима••• ,CXk,Пусть существукrr такие числа СХ 1 , СХ 2 ,ak •не все равные. нулю,чтосх 1 а 1 +сх 2 а 2 +••• +cxkak=O.Образом правой части этого равенства при рассматриваемом изомор­физме служит, как мы знзем, нуль о' пространства(2)левой части и применяя несколько рази(3),V'. Беря образполучаемCXla~ +CX2a~ + .,. +CXka~ = О',,т. е.системаaj,а 2 , ••• ,,Конечномерныепространства.

Линейноевается 1Сонечномерным,мальнуюлинейноak также оказалась линейно завис-имоЙ.если в немнезависимуюпространствоVназы­можно найти конечную макси­системувекторов;всякаятакаяси'стема векторов будет называться базой пространства V.Конечномерное линейное пространство может обладать многимиразличными базами. Так, в пространстве векторов-отрезков на пло­скости базой служит любая пара векторов, отличных от нуля и нележащи х на одной прямой.

Заметим, что наше определение конечно­мерногов этомпространствапространственедаетпокасуществоватьответабазы,навопрос,состоящиеизмогут лиразногочисла векторов. Больше того, можно было бы допустить даже, чтовнекоторых конечномерных пространствах существуют базы сосколь угодно большим числом векторов. Сейчас мы приступим Квыяснениютого,каковожеположениеПусть линейное пространствоVнасамомделе.обладает базой(1 )состоящей изnвекторов. Если а- произвольный вектор изи, максимальности линейно независимой системылинейно выражаетсячерез эту(1)V,систему,a=cxlel+cx2e2+ ••• +cxnen.Сдругойвыражениестороны,(2)ввидулинейнойнезависимости(2)системыбудет для вектора а единственным: еслиа = cx1e 1тоследует, что а+сх 2 е 2 + ... +cx~en>(1)190[г J1.ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА7тооткудааl =Таким образом,a l , i = 1, 2, ... , n.вектору а однозначно соответствует строка(3)коэффициентов его выражения (2) через базу (1) или, как мы будемговорить, строка его координ,ат в базе (1).

Обратно, всякая строкавида (3), т. е. всякий n-мерный вектор в смысле гл. 2, служитстрокой координат в базе(1)для некоторого вектора пространстваа именно для вектора, записывающегося через базуМы получили,(1)V,(2).в видеследовательно, взаимно однозначное соответствиемежду всеми векторами пространстваи всеми векторами n-мер­Vного векторного пространства строк. Покажем, что это соответствие,зависящее, понятно, от выбора базыВозьмем в пространствечерез базучерез базу(1)(1)в виде(2),V,является изоморфным.(1),помимо вектора а, выражающегосятакжевекторЬ, выражениеb=~lel +~2e2+'" +~nen·Тогдаа+ ь = (а1 + ~1) е 1 + (а 2 + ~2) е 2 + ...

+ (аn + ~n) е n ,т. е. сумме векторов а и Ь соответствуеткоордин,ат в базе (1). С другой стороны,'У а = (уа 1 ) е 1строкиегосумма строк их+ (va Te + ... + (уаn) е n ,2т. е. nроизведен,ию вектораведен,иекоторогобудет2а н,а число у соответствует nроиз­координ,атвбазе(1) па это же число "У.Этим доказана следующая теорема:Всякоелиnейnоеторов, изоморфnоnростраnство, обладающееn-мерн,омувекторн,омубазой изnвек­nростраnству строк.Как мы знаем, при изоморфном соответствии между линейнымипространсrnамилинейнозависимаясистемавекторовпереходитв линейно зависимую и обратно, а поэтому линейно независимаяпереходит в линейно независимую.

Отсюда следует, что при изо­морФnо.ht соответствии база переходит в базу.В самом деле, пусть база е 1 , е 2 , ••• , е n пространстваVпере-­ходит при изоморфном соответствии между пространствамиV и V'в систему векторов e~, e~, ••• , e~ пространства V', которая хотя илинейнонезависима, нонеявляетсямаксимальной.Вf'остается линейно независимоЙ. Векторf'можноV'найти, следовательно, такой вектор Г, что система е:, е;,... , e~,служит, однако, образомпри рассматриваемом изоморфизме для некоторого вектораIизv.§ 30]КОНЕЧНОМЕРНЫЕПРОСТРАНСТВА.МЫ получаем, что система векторов е 1 , е 2 ,191БАЗЫ••• , еn>fдолжна бытьлинейно независимой в противоречие с определением базы.Мы знаем, далее (см.§ 9),строк все максимальныеnчто в n-мерном векторном пространствелинейнонезависимыеи чтовсякаялинейносистемы состоят изn + 1 векторавекторов, что всякая система изнезависимаясистемалинейно зависимавекторовсодержитсяв некоторой максимальной линейно независимой системе. Используяустановленныеходимквышеследующимсвойстваизоморфныхсоответствий, мы при­результатам:Все базы ко/{,еч/{,омер/{,ого ли/{,ей/{,ого nростра/{,стваиз од/{,оготоаVитого жебудетчислочисланазыватьсяn-мернымn-размер/{,остьюВсякая системаизвекторов.

Если этоэтогоn +1лин.ей/{,ымVсостоятn,npocmpa/{,cmBo.Jt,число равнопространства.вектораn-мер/{,ого линей/{,ого nро­стран.ства ли/{,ейно зависима.Всякая ли/{,ей/{,о /{,езависимая система векторов n-мер/{,оголи/{,ей/{,ого nростра/{,ства содержится в н.екотороЙ базе этогопространства.Теперь легко проверить,что указанные выше примеры действи­тельных линейных пространств-пространство последовательностейи пространствофункций -не являютсяконечномерными простран­ствами: в каждом из этих пространств читательбез труда найдетлинейно независимые системы, состоящие из сколь угодно большогочиславекторов.Связь между базами. Объектом изучения являются для насконечномерные линейные пространства. Понятно, что, изучая n-мер­ные линейные пространства,мыпосуществуизучаемто n-мерноевекторное пространство строк, которое было введено еще в гл.Однакораньшеаименно база,укоторыхдинатыбыла2.выделена одна база­составленная из единичных векторов, т.

Характеристики

Список файлов книги