1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Для этой цели служитдругая теорема, которую мы сформулируем и докажем после того,как введем одно вспомогательное понятие.Пусть дана квадратичная формаА = (a jJ ). Миноры порядка 1, 2, ...ныевеелевомверхнемиз которых последнийуглу,ана12а21а22т.миноры..• a 1k... a2kсовпадает,рицы А, называются главnы.мие.[ от n неизвестных с матрицей, n этой матрицы, расположен,ана12а21а22••• t•••••.a 1nа 2nочевидно, с определителем матMUnOpa.hlUформы[.Справедлива следующая т е о р е м а:Квадратичnая фор.ма [ от n nеизвестnы.х с деUствительnы.микоэффицuеnта.ми тогда и только тогда будет положительпооnределеnnоu, если все ее главnые .мипоры строго nоложительnы.Д о к а з а т е л ь с т в о.
При n = 1 теорема верна, так как формаимеет в этом случае вид а.х 2 и поэтому положительно определенатогда и только тогда, если а> О. Будем поэтому доказывать теорему для случаяформ отn-1nнеизвестных,предполагая,что для квадратичныхнеизвестных она уже доказана.Сделаем сначала следующее замечание:Если квадратичная форма [ с действительными коэффициентами,составляющими матрицу А, подвергается невырожденному линейномупреобразованию с действительной матрицей Q, то зnак определителя фор.мы (т. е. определителя ее .матрицы) nе .меnяется.Действительно, после преобразования мы получаем квадратичнуюQ' AQ, однако, ввиду IQ' 1= IQ!,IQ'AQ I=IQ' ,.!А !.!Q!= 'А 1·!Q!2,определитель I А! умножается на положительноеформу с матрицейт. е.число.Пусть теперь дана квадратичная формаn[= ~ aijxixJ'{.
J=1Ее можно записать в видеn-1[= ер (Х1, Х2, ••• , Хn -1)+ 2 ~ ajnXjXn + annx~,(3){"" 1где ер будет квадратичной формой от n -1 неизвестных, составленной из тех членов формы'[, в которые не входит неизвестное Хn '182КВАДРАТИЧНЫЕ[гл.ФОРМЫГлавные миноры формы ljJ совпадают, очевидно,последнего, главными минорами формы /.со всеми,6кромеПусть форма / положительно определена. Форма ер также будетв этом случае положительно определенн.оЙ: если бы существовалитакие значения неизвестных X 1 , Х 2 , ••• , X n - 1 ' не все равные нулю,при которых форма ер получает не строго положительное значение,то, полагая дополнительно Х N = О, мы получили бы, ввиду (3), такжене строго положительное значение формы /, хотя не все значениянеизвестных X 1 , Х 2 , ••• , X n - 1 , ХN равны нулю. Поэтому, по индуктивному предположению, все главные миноры формы ер, т.
е. все/,главные миноры формыкроме последнего, строго положительны.Что_ же касается последнего главного минора формыделителя самой матрицыА,то егоследующих соображений: формаленности,кневырожденнымнормальномувиду,/,изпреобразованием приводитсяnположительныхОпределитель этого нормального вида строгоэтомуввидусделанноговышет. е. опревытекает изввиду ее положительной определинейнымсостоящему/,положительностьзамечанияквадратов.положителен, а поположителениопределитель самой формы /.Пусть теперь строго положительны все главные миноры формы /.Отсюда вытекает положительность всех главных миноров формы ер,т.е.,поиндуктивномупредположению,положительная определенность этой формы.
Существует, следовательно, такое невырожденноелинейное преобразование неизвестных X 1 , Х 2 , ••• , X n - 1 , котороеприводит форму ер К виду суммыот новых неизвестныхYl,У2'n-1.•• , Yn-l'положительныхквадратовЭто линейное преобразование можно дополнить до (невырожденного) линейного преобразо=вания всех неизвестных Х 1 • Х 2 , •••• Х n • полагая ХNУn' Ввиду(3) форма / при водится указанным преобразованием к видуn-ln-l1= 1=1~Yi+2 ~binYiyn+bnny~;1=1точные выражения коэффициентовbin(4)для нас несущественны.
Таккакто невырожденное линейное преобразованиеZi=Yi+binYn'zn=Уnприводит, ввиду(4),форму[=11, 2, "', n-l,к каноническому видуn-l1= 1=1~Zi +CZ~.(5)§ 28]ПОЛОЖИТЕЛЬНООПРЕДЕЛЕННЫЕ183формыfДля доказательства положительной определенности фОРМЫостается доказать положительность числа с. Определитель фОРМЫ,стоящей в правой части равенства (5), равен с. Этот определительдолжен, однако, быть положительным, так как правая часть равенства (5) получена из формыдвумя невырожденными линейнымиfпреобразованиями, а определитель формыглавных миноров этой формы,fБЫ;JJ, как последний изположительным.Доказательство теоремы закончено.При м еры1.Квадратичная формаl=5x~ +х: +5х; +4XIX2-8Хlхз-4Х2Хаположительно определена,5,таккак'~ ~1=l,ееглавныеминоры-41I5221 -2 =1-4 -25положительны.2.Квадратичная формаl=3x~ +х: +5х; +4XIX2-8ХIхз-4х~зне будет положительно определенной,отрицателен:I~таккак ее второйглавныйминор71=-1.Заметим, что по аналогии с положительно определенными квадратичными формами можно ввести отрицательно оnределенн,ые фор.мы,т.
е. такие невырожденные квадратичные формы с действительнымикоэффициентами, нормальный вид которых содержит лишь отрицательные квадраты неизвестных. Вырожденные квадратичные формы,нормальный вид которых состоит из квадратов одного знака, называются иногда nолуоnределенн,ы.ми. Наконец, неоnределен,н,ы.мuбудут такие квадратичные формы, нормальный вид которых содержиткакПО.10жительные,такиотрицательныеквадратынеизвестных.ГЛАВА СЕДЬМАЯЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА§ 29.Определение линейного пространства.
ИзоморфизмОпределение n-мерного векторного пространства, данное вначиналось с определенияnсистемыжениеиn-мерноговекторачисел. Для n-мерных векторовумножениеначисла,чтоикак§ 8,упорядоченнойбыли введены затем слопривелок понятию n-мерноговекторного пространства. Первыми примерами векторных пространствявляютсясовокупностивекторов-отрезков,выходящихизкоординат на плоскости или в трехмерном пространстве.встречаясьсэтимипримерамивкурсегеометрии,мыначалаОднако,невсегдасчитаем необходимым задавать векторы их компонентами в некоторой фиксированной системе координат, так как и сложение векторови ихумножениена скаляр определяются геометрически,независимоот выбора системы координат. Именно, сложение векторов на плоскостиилиграмма,авпространствеумножениевекторапроизводитсяпоправилупараллелона число а означает растяжение этоговектора в а раз (с изменениемнаправлениявекторанапротивоположное, если а отрицательно).
Uелесообразно и в общем случаедать «бескоординатное» определение векторного пространства, т. е.определение, не требующее задания ·векторов упорядоченными системами чисел. Сейчас будет дано такое определение. Это определениеа к с и о м а т и ч е с к и м: в нем ничего не будет сказаноявляетсяо свойствах Qтдельного вектора, но будут перечислены те свойства,которыми должны обладать операции над векторами.Пусть дано множество V; его элементы будут обозначатьсямалыми латинскими буквами: а, Ь, с, ...
1). Пусть, далее, в множестве V определены оnерацuя сложеltUЯ, ставящая в соответствиевсякой паре элементова, Ь изVоднозначноопределенныйэлемент а+Ь из V, называемый их Cy.Jt,J,LOU, и оnерацuя У.Jtltожеltuян,а деuсmвumеЛbltое число, причем nроuзведен,uе а а эле.Jtенmа а начисло а однозначно определено и принадлежит киV.1) В отличие от того, что было принято в гл. 2, мы будем в настоящейследующей главах обозначать векторы малыми латинскими буквами,а числа -маЛЫ\lИ греческими буквами.§ 29]V-ОПРЕДЕЛЕНИЕЛИНЕйНОГОПРОСТРАНСТВА,185ИЗОМОРФИЗМЭлементы множества V будут называться ве1Сторами, а самодействительным линейным (или ве1Сторным, или аффuнным)nространством,свойствамиеслиуказанныеоперацииобладаютследующимиI-VIII:1.
Сложение коммутативно, а+Ь=Ь+а.П. Сложение ассоциативно, (а+Ь)+с=а+(Ь+с).Ш. в V существует нулевой алемеюn О, удовлетворяющий условию: а+О=а для всех а И3 V.ЛегкоДоказать,женmа: если01ииспользуя02 -1,единственностьнулевогоэледва нулевых элемента, то01 + 02=01,01+02=02+01 =02'откуда01 = 02'lV.
Для всякого элемента а в V существует nротllВОnОЛОЖНЫЙэлемент-а, удовлетворяющий условию: a+(-а)=О., Легко проверяется, ввиду II и 1, единственность противоположного але.Atента: если (- а)1 и (-' а)2 - два противоположныхэлемента дляа,то(-а)1 +[a+~- аЫ=(- а)1 +0=(- а)l'[(- а)1откуда+ а] +(- а)2=0+(- а)2=(- а)2'(- a)1=(-a)2'И3аксиом I-IV выводитсяразности а - Ь, т. е.
такогосуществованиеэлемента,II единственность'который удовлетворяетуравнению(1)действительно, можно положитьа-Ь=а+(-Ь),таккакb+[a+(-Ь)]=[Ь+(-Ь)]+а=О+а=а.Если же существуетуравнению(1),ещетакойэлемент с,которыйудовлетворяетт. е.Ь+с=а,то,прибавляя к обеимчаем,частямэтогоравенстваэлемент-Ь, полу-чтос=а+(-Ь).дальнейшие аксиомы V-VIlI (ер. § 8) связывают умножение насо сложением и с операциями над числами. Именно, длялюбых элементов а, Ь И3 V, дЛЯ любых действительных чисел а, ~число]86ЛИНЕЙНЫЕ1i длядействительного[гл.пРОСТРАНСТВА1числаДОЛЖНЫиметьместо7равенства:а (а+Ь) =аа+аЬ;V.VI.VII.(a+~)a=aa+~a;(a~) а = а фа);VШ.l·a=a.Укажем некоторые простейшие следствия из этих аксиом.а·О = О.[11.Действительно, для некоторого а изVаа =а (а+ О) =аа+а·О,т.е.а·О =аа-аа=аа+[ -(аа)][21·где слева= О.О.а=О,стоитчислонуль,аизV.a- 1 существует,=a-1·0 = О.тосправа-нулевойэлементДЛЯ доказатель-етва возьмем любое число а.
Тогдааа= (а+О) а=аа+ О·а,откудаO.a=aa-аа=О.= О,[3]. Если аа = О, то или аДействительно, если a~O,а=l·a=(a- 1 а) ат.=a- 1 (аа)а (-а)[4].или а = О.е. число= -аа.В самом деле,аа+а (-а)=а [а+ (-а)] =а·О =0,т. е. элемент а (-а) противоположен элементу аа.(-а) а = -[5].аа.Действительно,аа+(-а) а= [а+ (-а.)] а= О·а=0,т. е. элемент (-а) а противоположен элементу аа.a(a-Ь)=аа-аУ.[6].Действительно, поа (а-Ь) =а [а[7).[4],+ (- Ь») =аа+а(-Ь) =аа+ (-аЬ) =aa-аЬ.(a-~) а =aa-~a.В самом деле,(a-~) а =[а+ (-~)1 а=аа+ (-~) а =аа+ (-~a) =aa-~a.§ 29]ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА.
ИЗОМОРФИЗМЗаметим, чтоперечисленнымивыше187аксиомами и следствиямииз них мы будем пользоваться дальше без специальных оговорок.Выше дано определение действительного линейного пространства. Если бы мы предположили, что в множестве V определеноумножение не только на действительные, но и на любые комплексные числа, то, сохраняя те же аКСиомыделение I(о.м,nлеl(сн.оголuн.еЙн.огополучили бы опреI-VIII,nросmран.сmва.Для определенности н и ж е р а с с м а т р и в а ю т с я Д е й с т в и т е л ь н ы е л и н е йн ыепро с т р а н с т в а,оД н а Ков с е,ч тобУд е тс к а з а н ов н а с т о я щей г л а в е, пер е н о с и т с я Д о с л о в н о н а с л у чайк о м п л е к с н ы х л и н е й н ы х про с т р а н с т в.При М ерыдействительныхлинейных пространств могут быт!.легко указаны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
