1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 35
Текст из файла (страница 35)
, Yk=O,< 1,и напишемСИСтему ра венствZl+l=O, ... , Zr=O, ... , zn=O.Если левые части этих равенств будутзаменены их+(5)выражениямииз (3) и (4), мы получим систему n-lk линейных однородныхуравнений с n неизвестными Хl' Х 2 , ••• , Х n ' Число уравнений в этойсистеме меньшенаша системаа 1,а2 •числа неизвестных, поэтому, как мы знаем изобладаетн е н у л е в ы м§ 1,действительным решением.
, . , аn ·Заменим теперь в равенстве (2) все у и все Z их выражениями (3)и (4), а затем подставим вместо неизвестных числа a 1 , а 2 , ••• , а n •Если для краткости через Yi (а) и z J (а) будут обозначены значениянеизвестных Yi и Z J' получающиеся после такой подстановки, топревращается, ввиду (5), в равенство- У:+1(а) -••• - У: (а) =Z: (а) + ... + Zf (а).(2)(6)§ 27]ЗАКОНТак как все КОЭффициенты враты, входящие в равенствоза собой равенство нулю(4)и(3)171ИНЕРЦИИдействительные, то все квадположительны, а поэтому(6),всехэтихквадратов;(6)отсюдавлечетследуютравенст-вас другой стороны, по самому выбору чисел а 1 , а 2 ,••• , а nZl+l {а)=О, ••• , Zr(CG)=O, ••• , Zn(CG)=O.Таким образом,системаnлинейных однородных уравненийснеизвестными Х 1 , Х 2 ,nрешением а 1 ,а2 ,оi= 1, 2,Zj=O,левым(8)n,•• ,х n обладает, ввиду••• ,(7)и (8), нену••• , а n , т.
е. определитель этой СИСтемыдолжен быть равен нулю. Это ПРОТИВ,оречит, однако, тому, что пре(4) предполагалось невырожденным. К такому же противоречию мы придем при 1k. Отсюда следует равенство k 1,образованиедоказывающее<=теорему.Число положительных квадратов в той нормальной форме, к которой приводится данная действительная квадратичная форма[,называется nодожитеЛЫ-lы.tt и/{деICСО.u и/{ерции этой формы, число отрицательных квадратов-отрицательн,ы.uи/{деICСО.uи/{ерции,а разность между положительным и отрицательным индексами инерциисигнатурой формы[.Понятно,чтопризаданномранге-формызадание любого из определенных сейчас трех чисел вполне определяет два других, и поэтому в дальнейшихформулировках можнобудет говорить о любом из этих трех чисел.докажем теперь следующую т е о р е м у:Две ICвадратич/{ые фор.uыотn/{еизвест/{blХ/{ыди lCоэффицие/{та.uи тогда и толbICО тогдас действительпереводятся другв друга /{евырожде/{/{ы.Jtu деЙствительны.uи ли/{ей/{ыми nреобразова/{ия.uи, если эти формы имеют оди/{аlCовые ра/{ги и оди/{аlCовыесиг/{ату ры.В самом деле, пусть формаfпереводится в формуgневырожденным действительным преобразованием.
Мы знаем, что это преобразование не меняет ранга формы. Оно не может менять и сигнатуры, так как в противном случаеи g приводились бы к различнымнормальным видам, а тогда формаприводилась бы, в противоречиес законом инерции, к этим обоим нормальным видам. Обратно, еслиформыи g имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры, тоfffониприводятсяКодному И томуженормальному видуипоэтомумогут быть переведены друг в друга.Если дана квадратичная формаgв каноническом.
виде,(9)178КВАДРАТИЧНЫЕ[гл.формы6с не равными нулю действительными коэффициентами, то ранг этойформы равен, очевидно, г. Легко видеть, далее, употребляя ужеприменявшийся выше способ приведения такой формы к нормальному виду, что положительный индекс инерции формы g равен числуположительных коэффициентов в правой части равенства(9). Отсюдаи из предшествующей теоремы вытекает такой результат:fКвадратичная форматогда и только тогда будет иметьформу (9) своим каноническим видО.ft, если ранг формыравен г,а положительный индекс инерции этой формы совпадает с чисдом nоложитеЛbl-tЫХ коэффициентов в (9).Распадающиеся квадратичные формы.
Перемножая любые двелинейные формы отqJ = а 1 Х 1nfнеизвестных,+ а 2 Х2 + ... + аnХm+ Ь 2 Х2 + ... + ЬnХn ,'Ф = Ь 1 Х 1мы получим, очевидно, некоторую квадратичную форму. Не всякаяквадратичная форма может быть представлена в виде произведениядвух линейных форм, и мы хотим вывести условия, при которых этоимеет место, т. е.
при которых квадратичная форма является расnадаlОщеЙся.Комплексная квадратичная форма [(Х 1 , Х 2 ' ••• , х n ) расnадается. тогда и только тогда, если ее ранг меньше или равенaBY.ft. действительная квадратичная форма [(х 1 , Х 2 , ••• , х n)распадается тогда и только тогда, если или ее ранг не большеединицы, или же он равен aBY.fl, а сигnатура равна нулю.Рассмотрим сначала произведение линейных форм qJ и 'Ф. Еслихотя бы одна из этих фор'"нулевая,тоихпроизведениебудетквадратичной формой с нулевыми коэффициентами, т. е. оно имеетqJранг О. Если линейные формы'Фпричемc::f= ои формаqJи 'Ф пропорциональны,= cqJ,ненулевая,циент а 1 отличен от нуля.то пусть,например,коэффиТогда невырожденное линейное преоб·разованиеУl=а 1 х 1 +... +а nхn ,приYi=X Ii=2,3, ..• , nприводит квадратичную форму qJ'Ф к видуqJ'Ф= cy~.Справа стоит квадратичная форма ранга 1, а поэтому и квадратичнаяформа qJ'Ф имеет ранг 1.
Если же, наконец, линейные формы qJ и 'фнеявляютсяпропорциональными,топусть,например,§ 28]ПОЛОЖИТЕЛЬНООПРЕДЕЛЕННЫЕ179формыТогда линейное преобразование= а 1 Х 1 +а 2 Х 2 + ... +аnхn ,У2 = Ь 1 Х 1 + Ь 2 Х 2 + ... + ЬnХ n ,УlприYi=X ii=3, 4, ... , nбудет невырожденным; оно приводит квадратичную форму (jJ'ljJ к видуср'Ф = УIУ2'Справа стоит квадратичная форма ранга2,имеющая в случае действительных коэффициентов сигнатуру О.Перейдем к доказательству обратного утверждения. Квадратичная форма ранга О может, конечно,рассматриватьсядениеиздвухлинейныхквадратичнаяформ,fформаоднакоторых(х 1 , Х 2 '" ' , х n ) рангалинейным преобразованием приводится к видуе.кДалее,невырожденным1C=F O,f=cY~,т.как произвенулевая.видуВыражая У1 линейно через Х1, Х2,f••• ,Х m мы получим предстаВjJение формыв виде произведения двух линейных форм. Наконец,действительная квадратичная форма(Х1, Х2, ••• , х n ) ранга 2и сигнатуры Оприводится невырожденным линейным преобразованиемкfвидуf=У~-У:;к этому же виду может быть приведена любая комплексная квадратичная форма рангаОднако2.Y~ - У: = (У1 - У2) (У1но справа,Х1, Х2,+У2),после замены У1 и У2 их линейными выражениями через..• ,Х n ' будет стоять произведениедвухлинейныхформ.Теорема доказана.§ 28.Квадратичнаяны миПоложительно определенные формыесли она приводится кж и т е л ь н ы хfформакоэффициентамиnотнеизвестныхназываетсянормальному виду,квадратов,т.е.еслисд е й с т в и т е л ьnоложuтеЛЬ1l0иоnределе1l1l0Й,состоящему изранг,nп о л о·и положительныйиндекс инерции этой формы равны числу неизвестных.Следующая теоремадаетвозможностьжительно определенные формы,каноническому виду.охарактеризовать полоне при водя их к нормальному или180КВАДРАТИЧНЫЕКвадратичная фор.маIотn[гл.ФОРМЫ6неuзвестныхXf, Х2, ••.
, ХN С дейтогда и только тогда будетствитеЛb1-lыми коэффицuента.миnоложитеЛb1-l0 определенной, если при всяких действительныхзначениях этих неизвестных, хотя бы одно из которых отличноот нуля, эта форма получает nоложитеЛb1-lые значения.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть форманая,т.е.при водитсякнормальномуI=Y~+Y:Iположительно определенвиду+ ...
+y~,(1)причемnYj= .~aijXj'i= 1, 2, ... ,(2)N,1=1с отличным от нуля определителем из действительных коэффициентовaij'Если мы хоти!'! подстаlНПЬ вные значения неизвестныхXf,Iпроизвольные действительХ2, ••• , Х n ' хотя бы одно из которыхотлично от нуля, ТО можно подставить их сначала взначения, полученные для всехYj,- в (1).(2), а затемЗаметим, что значения,полученные для Уl, У2, ...
, Уn из (2), не могут все сразу равнятьсянулю, так как иначе мы получили бы, что система линейных однородных уравненийn.~aijxj=O,i=1,2, ... , n,1=1обладает ненулевым решением,хотя еенуля. Подставляя найденные для Уl, У2,получим значение формы/,определитель... ,отличен отУn значения вравное сумме квадратовn(1), мыдействительных чисел, которые не все равны нулю; это значение будет, следовательно,строгоположительным.Обратно, пусть формат.е. или ее ранг,/не является положительно определенной,или ПОЛОЖIпеlIЬНЫЙ индексинерции меньшеn.Это означает, что в нормальном виде этой формы, к которому онаприводится, скажем, невырожденным линейным преобразованием (2),квадрат хотя бы одного из новыхнеизвестных,например Уn' илиотсутствует совсем, или же содержится со знаком минус.
Покажем,что в этом случае можно подобрать такие действительные значениядля неизвестных Xj, Х2,••• , Х т которые не все равны нулю, чтозначение формыпри этих значениях неизвестных равно нулю илидаже отрицательно. Такими будут, например, те значения дляXj, Х2, ••• , Х n ' которые" мы получим, решая по правилу Крамерасистему линейных уравнений, получающихся из (2) при Уl = У2 = ...• " =Уn_l=О, Уn= 1. Действительно, при этих значениях неизвестных Хl, Х2, ••• , Х n форма / равна нулю, если y~ не входитIв нормаlJЬНЫЙ вид этой формы, и равнамальный вид со знаком минус.- 1,если .Y~ входит в нор§ 28]ПОЛQЖИТЕЛЬНООПРЕДЕЛЕННЫЕ181формыТеорема, сейчас доказанная, используется всюду, где применяются положительно определенные квадратичные формы. С ее помощью нельзя, однако, по коэффициентам формы у~тановить, будетли эта форма положительно определенной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
