1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

Такимформулы Вьета дают выражение для отно­шений всех коэффициентов к старшему.Многочлены с действительными коэффициентами. Сейчаа будутвыведенынекоторыеплексныхчисел,1)следствияотносящиесяиз основной теоремы алгебры ком­кмногочленамсдействительнымиКаждый кратный корень взят здесь соответствующее число раз.160МНОГОЧЛЕНЫИих[гл.корни5коэффициентами. По существу, именно на этих следствиях основаното исключительно большое значение основной теоремы, о которомговорил осьраньше.Пусть многочлен с действительными коэффициентами[(х) = аох n+ a1x n - 1 + ... + an_1X+ аnимеет комплексный корень а,аоа n+a1a n -1т.

е.+ ... + an_1a + аn = О.Мы знаем, что последнее равенство не нарушится, если в нем всечисла заменить на сопряженные. Однако все коэффициенты ао, a 1 , •••• • • , a n - 1 , аn> а также число О, стоящее справа, будучи действи­тельными, останутся при этой замене без изменения, и мы приходимКт.равенствуе.Таким образом, если ко.мГlлекское (КО ке действительн,ое) число аслужит корке.м .мн,огочлека f(x) с деЙствителькы.ми коаффициен,-та.ми, то корке.м дляМногочленf(x)f(х) будет u соnряжекн,ое чuсло а.будет делиться,следовательно, наквадратныйтрехчлен(8)коэффициентыкоторого,какмызнаемиз§ 18,действительны.Пользуясь этим, докажем, что корки а u а и.меют 8 .мн,огочлеке f(x)одн,у и ту же краткость.Пусть, в самом деле, эти корни имеют соответственно крат­ности k и 1 и пусть, например, k> 1.

Тогда f(x) делится наI-ю степень многочлена <р (х),f(х) = <pl (х)q (х).q (х), как частное двух многочленов с действительнымикоэффициентами, также имеет действительные коэффициенты, но,Многочленв противоречие с доказанным выше, он имеет число а своим (k-/)-крат­ным корнем, тогда как число а не является для него корнем. Отсюдаследует, чтоk= 1.Таким образом, теперь можно сказать, что ко.мnлекскые коркивсякого .мкогочлека с деЙствитеЛbliы.ми коаффицuекта.ми nоnаркосоnряжекы. Отсюда и из доказанной выше единственности разло­жен ий вида (2) вытекает следующий окончательный результат:Всякий .мкогочлек(х) с деЙст8uтелькы.ми коаффUl{uекта.мunредстави.м, nрито.м един,ствеккы.м сnособо.м (с точкостью допорядка .мкожuтелеЙ), 8 виде nрои38едекuя своего старшего коаф­fфuциекта а о и кесколжих .мкогоЧлен,О8 с деЙствитеЛbliЫ.ми коэФ-§ 251РАЦИОНАЛЬНЫЕфициента.мu,линейных161ДРОВИвида х-а,соответствующихствительны.м lCорня.м, иnара.м соnряжеJiНЫХICBaapamJiblX вида (8),lCо.мnлеlCСНЫХ lCopJieli.егодеЙ·соответствующихДля дальнейшего полезно подчеркнуть, что среди многочленовс действительными коэффициентами и со старшим коэффициентом 1,неразложимыми на множители меньшей степени или, как мы будемговорить,Jiеnриводи.мы.ми,являютсялишьвида х-а и квадратные многочлены вида§ 25*.Вкурселинейныемногочлены(8).Рациональные дробиматематическогоанализаизучаются,помимоцелыхрациональных фУНКLЩЙ, названных нами многочленами, также дробно.рациОJiаЛЬJiые ФУJilCции; это будут частные ~ ~;~ двух целых рацио­нальных функций, гдеg(x)4'O.Над этими функциями ПРОИЗВОДSlТсяалгебраические операции по таким же законам, как над рациональ­ными числами, т.

е. как над дробями с целыми числителями и зва­менателями. Равенство двух дробно-рациональных функций или, какмы будем дальше говорить, рациональных дробей также понимаетсяв том же смысле, что и равенство дробей в элементарной арифме­тике. Для определенности мы будем рассматривать рациональныедроби с д е й с т в и т е л ь н ы м и коэффициентами; .читатель без трудазаметит, что все содержание настоящего пара граФа может бытьпочти дословно перенесено на случай рациональных дробей с ком­плексными коэффициентами.Рациональная дробь называется JiесоlCрати.мой, если ее числительвзаимнопростсознаменателем.Всякая рационаЛbflaЯ дробь paBJia JielComopoIi JiесоlCрати.моЙдроби, оnределяе.моЙ одJiОЗJiаЧJiО С точностью до .множителяJiулевой cmeneJifJ, общего для числителя и знаменателя.Действительно, всякую рациональную дробь можно сократить нанаибольший общий делитель ее числителя и знаменателя, после чегобудет получена равная ей несократимая дробь.

Если, далее, равныдруг другу несократимые дроби ~ ~;~ и : ~;~, Т. е.j(x)'IjJ(x)=g(x)<p(x),(1)то из взаимной простоты j(x) и g(x) следует, по свойству б) изчто <р (х) делится на j (х), а из взаимной простоты <р (х) и 'IjJ (х)§ 21,следует, что j(x) делится наа тогда из (1) следует g (х)<р (х). Таким образом, /(Х)= c'IjJ (х).=С<р (х),Рациональная дробь называется nравиЛЬJiОЙ, если степень числи­теля меньше степени знаменателя. Если к числу прав ильных дробеймы условимся причислять многочлен О, то справедлива следующаят е о р е м а:162МНОГОЧЛЕНЫИ[ГЛ.их КОРНИ58СЯ1(ая рациональная дробь представима, притом единствен­ным способом, в виде суммы многочлена и правильной дроби.t (х)g (х)Действительно, если дана рациональная дробьчислитель на знаменатель,Iгде степеньr(х)(х) меньшеfи если, делямы получим равен'Ство= g(х)(х) +г (х),qстепениg(x),(х)то, каклегкопроверить,r (х)+ g (х) •g (х) = q (х)Если имеет место также равенствоf(х)-g (х) = q (х)<р (х)+ 'IJ (х) ,где степень qJ (х) меньше степени 'Ф (х), ТО мы получаем равенствоq(х) _-(х)q=<р (х) _'IJ (х)r (х)g (х)=<р (х)g (X)-'IJ (х) r (х)'Ф (х) g (х)•Так как слева стоит многочлен, а справа, как легко видеть, правиль­ная дробь, то мы получим q (х)-q (х) =Оrr<р (х) _ ' (х) = О.'Ф (х)g(х)Правильные рациональные дроби могут быть подвергнуты даль­яейшему изучению.

При этом напомним, что, как отмечено в КОJщепредшествующего параграфа, неприводимыми действительными много­членами являются многочлены вида х-а, где число а действитель-ное, и многочлены вида x2_(~+ i3) х + ~1i": где~ и ~-пара со­пряженных комплексных чисел. Как легко проверить, в комплексномслучаеаналогичнуюрольиграютмногочленывида х-а,гдеа­любое комплексное число.Правильная рациональная дробь ~ i~~ называется nростеЙшеЙ.если ее знаменательg(x)является степенью неприводимого много­члена р (х),g (х) = pk (х),а степень числителяj(x)k ;;;;:;'1,меньше степени р (х).Справедлива следующая о с н о в н а я т е о р е м а:8СЯ1(ая правильная рациональная дробь разлагается 8 суммуnростейших дробей.Д о к а з а т е л ь с т в о.

Рассмотрим сначала правильную рациональ-ную дробь g (!/~\X)' г де многочлены g (х) и(g(x), h (х» = 1.h (х)взаимно просты,§ 25]РАЦИОНАЛЬНЫЕСуществуют, следовательно, ввиду163ДРОБИ§ 21,такие многочленыu (х) иv(x), чтоg(x)u(x)+h (x)v(x) = 1.Отсюда+ h (х) [; (х) fg (х) [и (х) f (x)l(х)] =f (х).(2)Пусть, деля произведение и (х) f (х) на h (х), мы получим остатокu (х), степень которого меньше степени h (х). Тогда равенство (2)можно будет переписать в видеg (х) u (х)+ h (х)'U (х)=f(х),(3)где 'U (х)-многочлен, выражение которого могло бы быть без труданаписано. Так как степень произведения g(x)u(x) меньше степенипроизведения g (х) h (х) и это же, по условию, верно для много­членаfчем(х)g(х), то ивытекаетhпроизведениеh (х) 'U(х) имеет степень меньшую,(х), а поэтому степень 'U (х) меньше степеНJ:Iтеперьg (х).Из(3)равенствоf (х)v(х)g (х) h (х) = g (х)u (х)+ h (х) ,в правой части которого стоит сумма правильных дробей.Еслихотябыодиниззнаменателейg (х), h (х)разлагаетсяв произведение взаимно простых множителей, то можно выполнитьдальнейшее разложение.

Продолжая так далее, мы получим, чтовсякая nравUЛЬ1-tая дробь разлагается в сумму несколbICUХ nра­вuльных дробей,ne1-tbкаждая uз lCоторых1-tеlCоторого1-tеnриводимогоимеет з1-tаме1-tателеМ сте­M1-tогОЧле1-tа.Точнее,если данаправильная дробь ~ ~~~, знаменатель которой имеет разложениенанеприводимыемножителиg (х) = p~1 (х) р:' (х) ••• p~l (х)(всегда можно считать, конечно, что старшийнателя рациональнойпри i =1= j, тодробиf (х) = иl (х)g (х)все слагаемыеp~1 (х)равен единице),коэффициент знаме­причем+ и2 (х) + ...

+ И: (х)р7 1 (х)Р:' (х)в правой частиэтогоPi (х) =1= Pj (х)Jравенства являются правиль­ными дробями.Нам остается рассмотреть правильную дробь вида ; ~~~ ,Р (х) -неприводимый многочлен. Применяятатком, разделим и (х) нана pk-2 (х) и т. д.pk- 1гдеалгоритм деления с ос­(х), полученный остаток разделим164МНОГОЧЛЕНЫИИХ[гл.КОРНИ5Мы придем к следующим равенствам:и (х) =p"-l (х) S1 (х)и1 (х) = pk- 2 (х) S2 (х)"k-2 (х) = Р (х) 8k _1 (х)+ и1 (х),+ и2 (х),+ Uk_1 (х).Так как при этом степень и (х), по условию, меньше степени р" (х),а степень каждого из ocraTKOB и ! (х), i = 1, 2, ... , k-l, меньшестепени соответствующего делителя pk-i (х), то степени всех частныхSI (х), S2 (х), •.. , Sk_1 (х) будут строго меньше степени многочленар (х).

Степень последнего остатка Uk _1 (х) также меньше степени р (х).Из полученных равенств следует:и (х) = p"-l (х)Отсюдамы81(х)+ p k - 2 (х) S2 (х) + ... + р (х) Sk_1приходимкискомомупредставлениlO(х) +U k_1 (х).рационаJIЬНОЙдроби p~ ~;~ в виде суммы простейших дробей:и (~) =р" (х)Uk_l7Основная теоремат е о р е м о й(х)(х)+ ~_1(х) ++ р2 (х)+ Р (х)(х) •р"-I (х)•••(х)52доказана.Ееможно51дополнитьследующейе д и н с т в е н н о с т и:Всякая nравильн,аяраl~uон,альн,ая дробь обладает единствен­ным разложен,uелl в сумму nростейшuх дробей.Пусть, в самом дe,~e, некоторая правильная дробь может бытьдвумя способами представлена в виде суммы простейших дробей.Вычитая одно из этих представлений из другого и приводя подоб­ные члены, мы получим сумму простейших дробей, тождественноравную нулю.

Пусть знаменатели простейших дробей, составляющихэту сумму, будут некоторымимногочленовР! (х),многочлена р/ (х),Р2 (х),степенями••• , Ps (х)i = 1, 2, ••. ,иразличных неприводимыхпустьнаивысшая степень8, являющаяся одним из этих зна­менателей, будет p~1 (х). Умножим обе части рассматриваемого ра­венства на произведение p~t-l (х) Р:' (х) ••• р:' (х).

Все слагаемыенашей суммы,кроме одного,превратятсяЧто же касается слагаемого и (х)"Рl t (х),при этом в многочлены.то оно превратится в дробь,которой служит Рl (х), а числителем - произведениеи (х) р:' (х) ••• p~. (х). Числитель не делится нацело на знаменатель,знаменателемтак какмногочлен р! (х) непривоДим, а все множитеJIИ числителяс ним взаимно просты. Выполняя деление с остатком, мы в резуль­татеполучим,чторавнанулю суммамногочлена и ОТЛИЧНОй ОТнуля правильной дроби, что, однако, невозможно.§ 25)РАЦИОНАЛЬНЫЕ165ДРОБИПри м е р.

Разложить в сумму простейших дробей действительную пра­вильную дробь f (х)g,(х)гдеf (х) =2x 4 -10х З + 7х! + 4х +g (х) =x 5 -2х З+2х 2 -3х+3,2.Легко проверяется, что+ 2) (х-l)! (ха + 1),многочленов х + 2, x-l, х! + 1g (х) =причемкаждый из(хженной выше теории вытекает, что искомоеf(х)АВнеприводим.Из изло­разложение должно иметь видСg(x)=x+2 +(x-l)2+x-lDx + Е(4)+ х 2 +1 •где числа А, В, С, D и Е еще должны быть разысканы.Из (4) вытекает равенствоf(х)=А (х_l)2 (х 2 ++1) +В (х+2) (х 2 + 1)+С (х+2) (х-l) (х 2 + 1)+ Dx (х+ 2) (х-l)2+ Е (х +2) (х-l)!. (5)Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного х изобеих частей равенства (5), мы получили бы систему пяти линейных урав­нений относительно пяти неизвестных А, В, С, D, Е, причем, как вытекаетиз доказанного выше, эта система обладает решен'ием и притом единствен­ным.

Мы пойдем, однако, иным путем.Полагая вравеНС1ве(5) х=- 2, мы придем к равенству 45А= 135,откуда(6)А=3.Полагая, далее, в(5)х=1,мы получим 6В=6, т. е.(7)В=I.После этого положим в равенстве (5) последовательно х = О и х = Используя (6) If (7), мы получим уравнения-2С+2Е=-2, }1.(8)-4C-4D+4E=-B.ОтсюдаD =1.Положим, наконец, в равенстведем(5)(9)х=2. Используя(6), (7)к уравнению20С +4Е = - 52,которое вместе с первым из уравненийС=-2,(8)даетЕ=-3.Таким образом,f(х)312х-3g(x)= х+2 +(x-I)2 - х-l + х а +lIf(9),мы при­ГЛАВА ШЕСТАЯКВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ§ 26.Приведение квадратичной формы кканоническ.ому видуИстоки теории квадратичных форм лежат в аналитической гео­метрии, а именно в теории кривых (и поверхностей) второго порядка.Известно, что уравнение центральнойплоскости,послеперенесениякривой второгоначалапрямоугольныхпорядка накоординатв центр этой кривой, имеет вид+ 2Вху + Су2 =Ах 2(1 )D.Известно, далее, что можно совершить такой поворот осей коорди­нат на некоторыйугол а,т.

Характеристики

Список файлов книги