1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

В каждой точке х округа Е проводимперпендикулярдлиныg (Х о )'пендикуляров составляют кусок непрерывнойКонцыкривойэтихпер­поверхности,причем благодаря замкнутости круга Е существование точек мини­мумадляэтогокускаповерхностиделаетсягеометрическидоста­точно ясным. Эта иллюстрация не заменяет, конечно, доказательстватеоремы.Теперь мы можем перейти к непосредственному д о к а з а Т е л ь­ствуосновнойтеоремы.Пусть данмногочлен /(х) сте­пени n, n;;;:. 1.

Если его свободный член есть а т то, очевидно,/(0) = аn • Применим к нашему многочлену лемму о возрастаниимодуля многочлена, полагая М = 1/(0) 1= 1а n 1. Существует, следо­вательно, такое N, что при'х1>N будет '/(х) 1>1/(0) 1.Оче­видно, далее, что указанное выше обобщение теоремы Вейерштрассаприменимо к функцииI/(x) IВ качестве Е мы возьмемностьюрадиусаNкруг, ограниченный окруж­с центром в точке О. Пусть точка х о будетточкой минимума для /!(х)дуетпри любом выборе замкнутого круга Е.замкнутыйI/(хо ) 1< 1/(0) /.Iвкруге Е, откуда, в частности, сле­Легко видеть, что х о н.а самом деле .fJyaem служить точlCОЙминимума для / /(х)на всей 1C0мnлеICСНОй nЛОСlCости: еслиточка х' лежит вне Е, то / х' /N, и поэтомуI//(х')>1> //(0) 1;;;:.I/(xo) /.Отсюда следует, наконец, что /(х о ) = О, т.

е. что х о служит ICOp·нем для /(х); если бы было /(х о )=!=О, то, по лемме Даламбера,существовала бы такая точка Х1 ' чтоворечит,однако, толькочто//(х 1 ) / <устаНElвленному'/(хо )/;это проти­свойству точки хо.Заметим, что еще одно доказательство основной теоремы будетприведено в§ 55.156МНОГОЧЛЕНЫ§ 24.ИИХ[ГЛ.КОРНИ5Следствия из основной теоремыПусть дан многочлен n-й степени, n;;э.f(x)=aoxn+a1xn-l+ ••.1,+а n _ 1 х+а n(1)с любыми комплексными коэффициентами.

Мы снова рассматриваемего как формально-алгебраическое выражение, вполне определяемоенабором своих коэффициентов. Основная теорема о существованиикорня, доказанная в предшествующем параграфе, позволяет утвер­ждать существование длиj(x)тельного. Поэтому многочленЛХ)корня а 1 , комплексного или действи­обладает разложениемj(x)= (х-а 1 ) ер (х).Коэффициенты многочлена ер (х) снова являются действительнымиили комплексными числами, и поэтому ер (х) обладает корнем аа,откудаПрод.олжая так далее, мы придемк раз л о ж е н и ю м н о г о ч л е н ав е Д. е н и еnл и н е й н ы хпосле конечного числа шаговn-й с т е п е н и j (х) в про и з­м н о ж и т е л е й,(2)Коэффициент а о появился по следующей причине: если бы справав выражении (2) стоял некоторый коэффициент Ь, то после раскры­тия скобок старший член многочлена j(x) имел бы вид ьх n , хотяна самом деле, ввидуРазложениесточностью(2)до(1),им является член аохn .

Поэтому Ь=а о .являетсяпорядкадлямногочленасомножителейj(х)единственнымразложениемтакоготипа.Пусть, в самом деле, имеется еще разложениеf(x)=aO(x-~l)(Х-~а) •.• (X-~n)'Из(2)и(3)(3)следует равенство(х-а 1 ) (х-а 2 )Если бы кореньподставляя ajнуль, а справаaj... (х-аn ) =(X-~1) (X-~2) ... (X-~n)' (4)былвместоотличенотвсех ~ J'неизвестного вчисло, отличноеот(4),нуля.N, то,слеваТаким образом, всякиймыj = 1, 2, ... ,получили быкорень a j равен некоторому КОрНЮ ~ J и обратно.Отсюда еще не вытекает совпадение разложенийствительно, среди корней арi = 1, 2, ...

,N,могут(2)и(3).бытьДей­равныемежду собой. Пусть, например, s этих корней равны а l и пусть,с другой стороны, среди корней ~ j, j = 1, 2, ... , N, содержится tравных корню а 1 . Нужно показать, что S=t.§ 24]157СЛЕДСТВИЯ из основной ТЕОРЕМЫТак как степень произведения многочленов равна сумме степенейсомножителей, то произведение двух многочленов, отличных от нуля,не может равняться нулю.

Отсюда вытекает, что если дваведения многочленов равны друг другу, то обепроиз­части равенства.можно со/Сратить на общий .множитель: еслиjиIP (х),*о,(х)IP (х) = g (х) IP (х)то из[ЛХ) -g (х)] IP {х) = Оследуетj(x) - g(x) =т.О,е.ЛХ)=g(x).(4). Если,Применим это к равенствуS> t,например,то, сокра­щая обе части равенства (4) на множитель (x-ct: 1)t, мы придемк равенству, левая часть которого еще содержит множитель х-а 1 ,а правая его не содержит.

Вышепоказано, однако, чтоэтопри­водит к противоречию. Таким образом, единственность разложениядля многочленаj(x)Объединяя вместе одинаковые множители, разложениепереписатьв(2)можновидеЛХ)= а о (х- ct: 1)k, (х -ct:2)k•гдеk1+ k + ... + k2При этом предполагается, чтонет(2)доказана.среди••• (X-ct:l)k l,(5)П.1=корнейа1 , а2 ,••• , а ! ужеравных.Докажем, что число k i из (5),/СОРНЯ ct:i в .многочленеi = 1, 2, ... , 1, является /Срат­j(x).

Действительно, если этаностью<кратность равна Sj, то k i ..;;;; Si' Пусть, однако, k iSi' В силу опре­деления кратности корня для j(x) существует разложениеЛХ)= (х -Заменяя в этом разложениилинейныемножители,мыIP (х).множитель IP (х)U i )SIполучилибылинейные множители, заведомо отличноепришлиэтогобыегоотк противоречию с доказаннойразложением наj(x)дляразложениеразложениявыше(2),нат. е.единственностьюразложения.Мы доказали, таким образом, следующий важный результат:Вся/Сий .многочлен j(x) степени п, n ~ 1, с любы.ми число­вы.ми /Соэффициента.ми имеет n /Сорней, если /Саждый из /Сорнейсчитатьстоль/Сораз,/Са/Соваего/Сратность.Заметим, что наша теорема справедлива и приn=О,так какмногочлен нулевой с!епени не имеет, понятно, корней.

Эта теореманеприменима л ишь к многочлену О, не имеющему степени и равномунулю при любом значении х. Этим последним замечанием мы вос­пользуемся при доказательстве следующейт е о р е м ы:158МНОГОЧЛЕНЫЕслиходят.многочленып,и.меют[(х)равныеиПихg(x),значения[гл.корнистепениболее((оторыхзначениях неизвестного, то [(х) = g (х).Действительно, многочлен [(х) - g (х) имеетnположениях более чемкорней,неnче.м. припри5превос­раЗЛИЧНЫ)(Jнашихпред­а так как его степень не превос­ходит п, то должно иметь место равенство [(х) -g(x) = О.Таким образом, учитывая, что различных чисел бесконечно много,можно утверждать, что для любых двух различных .многочленов [(х)иg(x) найдутся maf(ue значения с неизвестного х, что f(c)=I=g(c).Такиеисможнонайтинесреди действительных,толькосредисредикомплексныхрациональных и дажечисел,носреди целыхчисел.Таким образом,фи Ц И е н т а м и,д в ам н ог очле н аи м ею Щ и ех о т я бын е и з в е с т н о г охр а з л и ч н ы еразличнымикомплекснымисч и сл о вым иприо Дн о йк о 9 Ф Ф И ц И е н т ы,функциямик о 9 ф­ст е п е н ибУдУ ткомплек~н о г о пер е м е н н о г о х.

Этим доказана, наконец, равносильностьдля .многочленов с числовЫ"ftИ f(оэффициента.ми двух Уf(азанныхв § 20 определений равенства .многочленов - алгебраичеСf(ого итеоретU1СО-ФУНf(ционального.Теорема, доказаннаявыше, позволяетутверждать, что .много­член, cmerleHb ((оторого не больше п, вполне определяется свои.мизначения.ми при любых различных значениях неизвестного, чис.il-О((оторых больше п. Можно ли эти значения многочлена задаватьпроизвольно? Если предположить, что задаются значения многочленапри n1 различных значениях неизвестного, то ответ будет положи­тельным: всегда существует .многочлен не более чем п-й степени,принимающий наперед заданные значения при n1 заданяых++различныхзначенияхнеизвестного.В самом деле, пусть нужно построить многочлен не более чемп-й степени,который при значениях неизвестного а 1 , а 2 , " ' , а n + l'предполагаемыхC1 ,С2 ,••• ,различными,принимаетсоответственнозначенияС n + 1 ' Этим многочленом будет:[(a j ) равно Cj •Формула (6) называется uнтерполяцuонн.оЙ формулой Лагранжа.Название «интерполяционнаю) связано с тем, что по этой формуле,Действительно, его степень не больше п, а значениезная значения многочлена вчениявовсехдругихn+ 1точке, можно вычислять его зна­точках.Формулы Вьета.

Пусть дан многочлен [(х) степеникоэффициентом 1,j(x)=xn+alxn-l+a2xn-2+ ...nсо старшим+а n _ 1 х+а n •(7)§ 24]СЛЕДСТВИЯ ИЗ основной ТЕОРЕМЫи пусть а 1 , а 2 , ••• , а n I.Ц.ИМего корни 1). Тогда/159(х) обладает следую­разложением:/(х)= (х- а1 ) (х - а 2 ) • •• (х-аn ).Перемножая скобки, стоящие справа, а затем приводя подобные членыи сравнивая полученные коэффициенты с коэффициентами изполучимследующиеравенства,называемыеформулами(7),мыВьетаивыражающие коэффициенты многочлена через его корни:+ а2 + ... +аn ),+ ... + ct1ctn +ct2CGз + ...

+аn _ 1аno+ ... + аn_2аn_lаn),. аз. =. -. .(ct.1ct.2ct.з +.. .ala~a4. .. . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . .а n _ 1 = (_1)n-l (а 1а 2 ••. а n _ 1 +а 1 а 2 • • . а n _ 2 а n + ... + а 2 а з . . . aа 1 = - (а 1а2=ctlct2+ctlctз~ll ),аn= (_1)nа 1а 2Такимобразом,стоитсуммав. • • аn .правой частивсевозможныхравенства,k-roпроизведенийпоk = 1, 2, .•. , n,корней, взятаяkзнаком плюс или минус, в зависимости от четности или нечетностисоk.=При n2 эти формулы превращаются в известную из элемен­тарной алгебры связь между корнями и коэффициентами квадратногомногочлена.

При n = 3, т. е. для кубичного многочлена, эти формулыпринимаюта1=-вид(а 1+ а2 + аз),а2= a 1a 2 + &lаз + ct2 аз ,аз=-а 1 а2аа·Формулы Бьета облегчают написание многочлена по заданным его корням.fТак, найдем многочлен(х) четвертой степени,. имеющий простыми корнямичисла 5 и -2 и двукратным корнем число 3. Мы получим:аl=- (5-2+3+3)=-9,а 2 =5.( -2)+5·3+5.3+( -2)·3+<-2)·3+3·3=17,[5.( -2)·3+5.( -2)·3+5.3.3+(-2)·3·3]=33,а 4 =5·( -2)·3.3=-90,а з =-апоэтомуf (х) =х4 _9х3 + 17х 2 + 33х-90.Если старший коэффициента о многочлена(х)/отличенот1,то для применения формул Вьета необходимо сначала разделить всекоэффициентыобразом,наао ,чтов этом случаеневлияетна корни многочлена.

Характеристики

Список файлов книги