1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 27
Текст из файла (страница 27)
е., как говорят, /(х) делится (или nar,ело делится) на <р (х),то многочлен <р (х) называется делителем многочлена / (х).Мnогочлеn <р (х) тогда и только тогда будет делителем мн,огочлеnа /(х),если существует.J!н,огочлен,'ф (х), удовлетворяющий/ (х) = <р (х) 'ф (х).(1)равен,ствув самом деле, если <р (х) является делителем для /(х), то в качестве 'ф (х) следует взять частное от деления / (х) на <р (х). Обратно,пусть многочлен 'Ф (х), удовлетворяющий равенству (1), существует.136МНОГОЧЛЕНЫИих(ГЛ.корни5Из доказанной в предшествующем параграфе единственности многочленовq(х) иr(х),удовлетворяющих равенству1 (х) = <р (х) q (х)и условию, что степень+ r (х)r (х) меньше степени <р (х), в нашем случаеI(x) на <р (х) равно 'Ф (х), а остатокследует, что частное от деленияравеннулю.Понятно, что если равенствобудетделителемдля/(х).имеет(1)Очевидно,место,далее,то Ф (х) такжечтостепень<р (х)не больше степени /(х).Заметим, что если многочлен/(х) и его делитель <р (х) имеютоба рациональные или действительныекоэффициенты, то и многочлен ~) (х) также будет иметь рациональные, или,соответственно,действительные КОЭффициенты, так как он разыскивается при помощиалгоритма деления.
Конечно, многочлен с рациональными или действительными коэффициентами может обладать и такими делителями,не все коэффициенты которых рациональны ИJiи, соответственно,действительны. Это показывает, например,х2+ 1 = (х -i) (х+ i).Укажем некоторые основные свойствакоторые найдут в дальнейшемравенстводелимостимногочленов,многочисленные применения.1. Если 1 (х) делится на g (Х), а g (х) делится на h (х), то лх)будет делиться на h (х).В самом деле, по условию j(x)=g(x)<p(x) и g(х)=h(х)'Ф(Х),а поэтому/(х)= h (х)['Ф (х) <р (х)].Если I(x) и g(x) делятсяность также делятся на <р (х).11.Действительно, из равенстввытекает/(х)± g (х) =/<р (х) ['Ф (х)на(х)<р (х),то их= <р (х) 'Ф (х)cYM.Jta и рази g (х)± х (х)].= <р (х) Х (х)111.
Если / (х) делится на <р (х), то произведение / (х) н.а любой.мяогочлен g (х) также будет делиться н.а <р (х).Действительно, если f(x) = 'Р:(Х) 'Ф (х), TOj(X)g(x)'Р (х)['Ф (х) g(x)].=Из11и111вытекает следующее свойство:/1/2IV. Если каждый из ,uн.огочлен.ов(х),(х), ... , /k (х) делитсЯ на <р (х), то н,а <р (х) будет делиться и .Аtltого'tлеn11 (х) g1 (х)где+/2 (х) g2 (х) + ... + /k (х) gk (х),g1 (х), g2 (х), ... , gk (х) - nроизвольные мн.огочлены.У. Всякий многочлен /(х) делится на любой дногочлен нулеВОй степени.Действительно, если /(х) = aoXn+alXn-1+ '"извольноечисло,нулевой степени,неравноенулю,т.е.+ а",произвольныйто!(х)=с(а осxn+alxn-l+ .•.
+I!.E).сса с-проМНОГО'lлен§ 21]ДЕЛИТЕЛИ.НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ!Если лх) делится на q> (х), тоVI.где с -137(х) делится и па с q> (х),nроиЗ(Jольн.ое число, отличное от нуля.В самом деле, из равенства! (х)f(x) = tcq> (х)]· [c- 1 'Ф (х)].= q> (х) 'Ф (х)следует равенство'*VH. Мн,огочлен,ы с! (х), сО, и только он,и будут делителя..ми.многочлена! (х), и.меющи.ми такую же стеnен,ь, что и(х).Действительно, {(х)c- 1 [с!(х»), т.
е. !(х) делится на с! (х).Если, с другой стороны, / (х) делится на q> (х), причем степени! (х) и q> (х) совпадают, то степень частного от деления! (х) на q> (х)l'=должнаq> (х)бытьравнойнулю,т. е.ЛХ)= d- 1!(x).= dq> (х),d:::l= О,откудаОтсюда вытекает следующее свойство:Тогда и только тогда .многочлены ЛХ), g (х) одновре.мен,н,оделятся друг на друга, если g (х)с! (х), c:::l= О.Наконец, из VШ и I вытекает свойствоIX. Всякий делитель одн,ого из двух .мн,огочлен,ов (х), с! (х),VIlI.=!гдеc:::l= О, будет делителе.м и для другого .многочлена.Наибольший общий делитель. Пусть даны ПРОИЗВОльные многочлены ! (х) и g (х).
Многочлен q> (х) будет называться общи.м делиmеле.Аt для! (х) и g (х), если он служит делителем для каждого изэтих многочленов. Свойство V (см. выше) показывает, QTO к числуобщих делителей многочленов! (х) и g (х) принадлежат все много'Iлены нулевой степени. Если других общих делителей эти два многочленанеимеют,В общем жеделителями,тоонислучаезависящиминазываютсявзаи.lrtНОмногочлены!отх,имы(х) ихотимnросmы.ми.g (х)могутобладатьввести понятиеонаибольше.м общем делителе этих многочленов.Было бы неудобным принять такое определение, по которомунаибольший общий делитель многочленов! (х) и g (х) есть их общийделитель наибольшей степени. С одной стороны, мы не знаем пока,не будут ли ! (х) и g (х) обладать многими различными общимиделителями наибольшейстепени,отличающимисядруготдругане только на множитель нулевой степени, т. е.
не содержит ли этоопределение слишком большой неопределенности. С другой стороны,читатель уже встречался в элементарной арифметике с задачей разыскания наибольшего общего делителя целых чисел и знает, что наибольший общий делитель 6 целых чисел 12 и 18 не только являеТСIIнаибольшим среди общих делителей этих чисел, но даже деЛИТСIIна любой другой их общий делитель; действительно, другими общимиделителями чисел12и189УДУТ числа1, 2, 3, -1, -2, -3, -6.Мы примем поэтому для случая многочленов такое определение:Наибольши.м общи.м делителе.м отличных от нуля многочленов!(х) иg (х)называе гсятакоймногочленd(х),которыйявляетсяих общим делителем и, вместе с тем, сам делится на любой другойобщий делитель этих многочленов.
Обозначается наибольший общийделитель многочленов лх) и g (х) символом (j {х), g (Х»).138МНОГОЧЛЕНЫИих[гл.КОРНИ5Это определение оставляет открытым вопрос, существует ли наибольший общий делитель для любых многочленов j(x) и g(x). Сейчасна этот вопрос будет дан положительный ответ. Одновременно будетдан метод для практического разыскания наибольшего общего делителя данных многочленов. Понятно, что мы не можем перенести сюдатот способ, каким оБЫЧtlО разыскивается наибольший общий делительцелыхчисел,таккакпоканеимеемдлямногочленовлогичного разложению целого числа в произведениеничегопростыханамножителей.
Для целых чисел существует, однако, и другой способ, называемый алгоритМО.Jt последовательного деления или алгТJритмомЕвклида; этот способ вполне применим и к многочленам.Алгоритм Евклида для многочленов состоит в следующем. Пустьданы многочлены f(x) и g (х). Делим j (х) на g (х) и получаем,вообще говоря, некоторый остаток, 1 (х). Делим затем g (х) на '1 (х)И получаем остаток(х), делим(х) на(х)и т. д.
Так как сте'2'2'1пени остатков все время понижаются, то в этой цепочке последовательных делений мы должныделение совершитсядойти до такогонацело и поэтомуместа,процесснакоторомостановится.Тотостаток 'k (х), на который нацело dелится предыдущий остаток'k-l (х), и будет наибольшим общим делителем многочленов j(x)и g (х).Для доказательства запишем изложенное в предыдущем абзацев виде следующей цепочкиjравенств:g (х) q1 (х) + '1 (х),(х) q2 (х)'2 (х),= '2 (х) q3 (х) +,з (х),(х) =g (х), 1 (х)+='1(2)'k-3 (х) ='k-2 (х) qk-l (х)'k-2 (х), k-l+'k-l (х),='k-l (х) qk (х) +'k (х),(х) ='k (х) qk+1 (х).Последнее равенство показывает, что'k (х) служит делителем дляОтсюда следует, что оба слагаемых правой части предпоследнего равенства делятся на 'k (х), а ПОЭТОМУ'k (х) будет делителеми для 'k-2 (х).
Далее, таким же путем, поднимаясь вверх, мы полу'k-l (х).ЧИМ, что'k(X)является делителем и для 'k-З(Х)'•.. ,'2 (х), '1 (х).Отсюда, ввиду второго равенства, будет следовать, что'k (х) служитделителем для g (х), а поэтому, на основании первого равенства,и для j(x). Таким образом,(х) является общим делителем дляЛХ) и g(x).Возьмем теперь произвольный общий делитель (j) (х) многочленовj(x) и g(x). Так как левая часть и п~рвое слагаемое правой части'k'1первого из равенств (2) делятся на (j) (х), то(х) также будетделиться на (j) (х). Переходя ко второму и следующему равенствам,§ 21]ДЕЛИТЕЛИ.НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬмы таким же способом получим,что на ер (х) делятся139многочлены'2 (х), 'з (х), ... Наконец, если уже будет доказано, что 'k-2 (х) И, k-l (х) делятся на ер (х), то из предпоследнего равенства мы получим,что'k (х)делится на ер (х).
Такимобразом,будет наибольшим общим делителем ДЛЯ'k (х)j(x)инасамомделеg(x).Мы доказали, следовательно, что любые два многочлена обладаютнаибольшим общим делителем, и получили способ для его вычисления.Этот способ показывает, что если ,м,,,,огочле,,,ы j (х) и g (х) и,м,еютоба рацио",альн-ые или действительн-ые ~оэффицие",ты, то и ~оэф~фицие",ты их ",аибольшего общего делителя та~же будут paциo~",аль",ы,м,и или, соответстве",н.о, действительн,ыми, хотя, конечно,уэтихмногочленовмогутсуществоватькоэффициенты которых рациональнычлены с рациональнымиитакиеделители,(деЙств,тельны).Так,невсемногокоэффициентамиj(x) =х 3 -3х 2 -2х+6,имеют наибольшим общимg(x) =х 3 +х 2 -2х-2делителеммногочленс рациональнымикоэффициентами х 2 -2, хотя у них есть общий делитель х- V2,не все коэффициенты которого рациональны.Если d (х) есть наибольший общий делитель многочленов! (х) иg (х), то, как показывают свойства УIII и {Х (см.
выше), в качественаибольшего общегоделителявыбрать также многочленcd (х),этихмногочленовможнобыло быгде с-произвольное число, отличнuеот нуля. Иными словами, н.аибодьшиЙ общий делитель двух ,м,н.oгo~член.ов оnределе", лишь с точн.остыо до мн.ожителя н,улевойстеnе",и. Ввиду этого можно условиться, что с т а р ш и й к о э фФ и ц и е н т н а и б о л ь ш е г о о б щ е г о д е л и т е л я Д в у х м н о г 0членовбудетвсегдасчитаться равным единице.Используя это условие, можно сказать, что два мн,огочле",а тогдаи толжо тогда взаи,м,н,о просты, если их н,аибольший общийделитель раве", един,ице.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
