1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

до сих пор нам не при­ходилосьскладыватьопределениеилиоперацийперемножатьнадточкамиточкимыплоскости,имеемправопоэтомувыбирать,заботясь лишь о том, чтобы новая система чиселобладала всемитеми свойствами, ради которых мы ее создаем. Эти определения,особенно для произведения, покажутся в первый момент весьмаискусственt!ыми. В ГЛ.другиеболее естественные,н естроению расширения'сорень уравнения(1).н еопераций,при в е JI иб ынапервыйвзглядсистемы действительныхп о с т р о е н и ипри в е л аб ыкдажен а с к Ц е л и, т. е. к по­чисел, содержащегоТам же будет показано, что з а м е н ап л о с ко ст и в э т о мр и а л о мбудет показано, однако, что н и к а к и е10определениял ю б ы мс и с т е м ет о '1 е кд р у ги м'1 и с е л,п ом а т е­с в ои ма л г е б р а и '1 е с к и м с в о й с т в а м о т л и '1 а ю щей с я о т т о Й с Н­с т е м ык о м п л е к с н ы хч и с е л,к о т о р а яс т р о и т с ян и ж е.Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат.Условимся обозначать точки плоскости буквами а, ~, у,...и за­писывать точку а с абсциссой а и ординатой Ь через (а, Ь), т.

е.,несколько отступая от того,рии, писать ачто принято в аналитической геомет­= (а, Ь). Если даны точки а = (а, Ь) и ~= (с,d),су,nмой этих точек мы будем н азы в а т ь точку с абсциссой аи ординатой Ь+d,то+ст. е.(а, Ь)+ (с, d) = (а + с, Ь + d);nроизведен,ие.n точек а = (а, Ь) и ~ = (с,d)точку с абсциссойad+bc,ac-bd(а, Ь)(с,и ординатой(2)мы будемd)=(ac-bd, ad+bc).н азы в а т ьт. е.(3)Этим путем мы определили в множесте всех точек плоскостидве алгебраические операции. Покажем, что эти операции обла­дают всеми основнын,и свойстван,и, кокими обладают операции112КОМПЛЕКСНЫЕв систоидействительныхчисел{гл.ЧИСЛАиливcltcmeMe4рациональныхчисел: они обе 1Со,М,Мутатuвны и ассоциативны, связаны за1СОНО,мдистрибутивности и для них существуютобратныеоперации­вычитание и деление (1Сро,Ме деления на нуль).Коммутативность и ассоциативность сложения очевидны (точнее,вытекают из соответствующихчисел), так как присвойствсложениядействительныхсложении точек плоскости мы отдельно скла­дываем их абсциссы и отдельно ординаты.

Коммутативность умно­женияосновананатом,чтои ~ входятсимметричнымдоказываютследующие[(а, Ь)(с,(а, Ь)[(с,вопределениеобразом.произведенияАссоциативностьточкиаумноженияравенства:+d)](e, f) = (ас - bd, ad Ьс) (е, f) == (ace-bde-adf-bcf, acf-bdf+ade Ьсе),d)(e, Л] -: (а, Ь) (ce-df, с!+ de) == (ace-adf-bcf-bde, acf+ade+ bce-bdЛ.+Закон. дистрибутивности вытекает из равенств[(а, Ь)+ (с, d)](e, f) = (а + с, Ь+ d) (е, f) == (ae+ce-bf-df,(а, Ь)af+cf+be+de),(e,f)+(c,d) (e,f)=(ae-bf, а!+ Ье) (ce-df, c!+de) == (ае - Ь! се - df, а! Ье с! de).а+++ + +Рассмотрим вопрос об обратных операциях. Если даны точкиЬ) и ~ = (с, d), то их разностью будет такая точка (х, у), что= (а,(с,Отсюда, ввидуd)+ (х, у) =(а, Ь).(2),Таким образом, разностьюточека = (а, Ь)и~ = (с,d)служитточкаa-~=(a-c,b-d)(4)и эта разность однозначно определена.

В частности, нуле'м будетслужить начало координат (О, О), а точкой, противоположной дляточки а= (а, Ь), будет точка-а=(-а, -Ь).(5)Пусть, далее, даны точки а = (а, Ь) и ~ = (с, d), причем точка ~отлична от нуля, т. ·е. хотя бы одна из координат с, d не есть нульи поэтому с 2d 2 =f:= О.

Частным от деления а и ~ должна быть+такая точка (х, у), что (с,d)(х, у) = (а, Ь). Отсюда, ввидуcx-dy=a,dx+cy=b.(3),§ 17]СИСТЕМАКОМПЛЕКСНЫХ113ЧИСЕЛРешая эту систему уравнений, МЫ получим:bc-adac+bdх= c2+d~ ,Таким образом, при ~=1= ОY=c 2 +d Jа.1"частное'существуетиоднозначноопределено:а.bC-аd)(aC+bdc2 +d2lГ =c2 +d2'(6)•Полагая здесь ~ = а, мы получим, что единицей при нашем умно­(1,жении точек служит точкаО), лежащаяна оси абсцисс на рас­стоянии 1 вправо от начала координат. Полагая, далее, в (6), чтоа1 (1, О), мы IЮЛУЧИМ, что при ~О точкой, обратной для ~,= ==Fбудет:R-l_(t-'Такимточкамиобразом,-мыплоскости,с2+с d~'ПJСТРОИЛИпричемс2-d )d2+(7)•системуоперациинадчисел,этимиизображаемыхчисламиопреде­ляются по формулам (2) и (3). Эта система чисел Нqзываетсясистемой /Сомnле/Ссных чисел.Покажем, что система /Сомnле/Ссных чисел является расшире­нием системЫ действительных чисел. Для этой цели рассмотримточки,лежащиенаосиабсцисс, т.е.точкивида(а, О); ставяв соответствие точКе (а, О) действительное число а, мы получаем,очевидно,мымвзаимнооднозначноемножеством точек исоответствиемножествомПрименение к этим точкам формул(а, О)междурассматривае­всех действительных(2)ичисел.даег равенства(3)+ (Ь, О) = (а + Ь, О),(а, о)· (Ь, О)=(аЬ, О),т.

е. точки (а, О) складываются и перемножаются другсдругомтак же, как соответствующие действительные числа. Таким образом,множество точе/С, лежащих на оси абсцисс, рассматриваемое/Са/С часть системы /Сомnле/Ссных чисел, по своим алгебраичес/Си""свойства"" ничем н,е отличается от системы деuствительн,ыхчисел, обычным способом изображенной точ/Сами прямой лин,ии.Это позволяет нам не различать в будущем точку (а, О) и действи­тельноенульчисло(О, О)иа,т.е.единицавсегда(1,О)полагатьсистемы(а, О) =а. Вваются обычными действительными числами О иНамнужносодержитсятеперь/Сорен,ьпоказать,уравн,ениячто(l),средит.частности,комплексных чисел оказы­е.1./Сомnле/Ссн,ыхтакоечисло,чиселквадра'гкоторого равен действительному числу --1. Это будет, например,точка (О, 1), т.

е. точка, лежащая на оси ординат на расстоянии 1114КОМПЩ:КСIIЫЕ[гл.ЧИСЛАвверх от начала координат. Действительно, при меняя(3),4получаем:(0,1)·(0, 1) = (-1, О) =-1.у словим си обозначать эту точку буквой i, так чтоПоК'ажем,nocmpoelilibtXнаконец, что дляi 2 = -1.liа.ttИ1Со.м,nлеКСlibtХчисел .ttожет бbtть nолучеliа ИХ оБЫЧliая запись. Для этого най­дем сначала произведение действительного числа Ь на точку i:Ы= (Ь, о)· (О, 1)= (О,Ь);это будет, следова.тельно, точка, лежащая на оси ординат и имею­щая ординату Ь, причем все точки оси ординат представимы в видетаких произведений.ввидуЕслитеперь(а, Ь)равенства(а, Ь)=(а, О)произвольная-точка, то+ (О, Ь)получаем:(а, Ь)=а+Ы,Т. е.

мы действительно приходи мчисел; произведениемать,намиконечно,системевисумму-смыслекомплексныхвкобычнойвыраженииопераций,записи комплексныха+Ыследует пони­определенныхвпостроеннойчисел.Теперь, когда комплексные числа нами уже построены, читательбез труда проверит,Кliигинений,-чтовсесодержаliиеи теории определителей,ипредшествующихи теории систем линейны~теория линейной зависимостивекторов,и теорияглавурав­опера­ций над матрицами - без всяких ограliичеliИЙ nереliосится lia тотслучай, когда к расс.м,отреliИЮ допускаются любые ко.м,nлеКСliыечисла, аlieтолько числа действителыiы •.В заключение заметим, что проведенное нами построение системыкомплексных чисел подсказывает следующий вопрос: нельзя ли такопределитьсложение и умножениеточектрехмерного пространства,чтобы совокупность этих точек стала системой чисел, содержащейв себе систему комплексных чисел или хотя бысистему действи­тельных чисел? Этот вопрос выходит за рамки нашего курса, и MbIлишьотметим,чтоответнанегооказываетсяС другой стороны, замечая, что сложениеопределенноевыше,на плоскости,отрицательным.комплексныхпо существу совпадает со сложениемчисел,Bel(TOpOBвыходящих из начала координат (см.

следующий па­раграф), естественно поставить такой вопрос: можно ли при некото­рыхnтак определить умножение векторов в n-мерном действитель­ном векторном пространстве, чтобы по отношению к этому умноже­нию и обычному сложению векторов наше пространство оказалосьЧIIСЛОВОЙсистемой,содержащейвсебесистемудействительныхчисел? Можно показать, что этого сделать нельзя, если требоватьвыполненияв системахвсехтехсвойстврациональных,операций,действительныхкоторыеиимеютместокомплексныхчисел.§ 18]ДАЛЬНЕЙШЕЕИЗУЧЕНИЕ115КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛЕсли же отказаться от коммутативности умножении, то такое по­строениевозможносистемачиселпостроениевозможночетырехмерномиввпрочем,нечиселтолькоот его ассоциативности,пространстве;систе.моЙотАналогичноепространствеКэли.

Здесьпоследнее-получаетсяприходитси отказы­коммутативностизаменяиполучающаясякватернионов.восьмимерномcucme.ttaтак называемаиваться,вназываетсяумн@жения,однимболееноислабымтребованием.§ 18.Дал~неишее изучение комплеКСНblХ чиселВ соответствии с исторически сложившимися традициими мыбудем называть комплексное число i .мни.моЙ единицей, а числавида ы- чисто .ttни.ttы.ми числа.ttи, хотя существование этих чи­сел не вызывает у нас сомнений и мы можемскости-точки оси=В записи комплексного числа а в виде адействительной частью числа а, а Ы скость,точки§ 17,скостью.этойОсьосью,а+Ычисло' а называетсяего .мни)IОЙ частью.

Пло­КОТОРОЙ отождествлены с комплексными числами поспособу, изложенному внойуказать те точки пло­ординат,- которыми эти числа изображаются.абсцисстаккакеебудет называться ко.мnлексноЙ пло­плос){()сти называется действитель­точкиизображаютдействительные числа;соответственно ось ординат комплексной плоскости иазывается .мни­.мой осью.Сложение, умножение, вычитание и деление комплексных чисел,записанных в виде аЫ, производятся следующим образом, каквытекает из формул (2), (4), (3) и (6) предшествующего параграфа:+(а+ Ы) + (с + di) = (а + с) + (Ь + d) i;+ di) = (а-с) + (b-d) i;(а + Ы) (с + di) = (ас - bd) + (ad + Ьс) i;а + Ы = ас + bd + Ьс - ad i(а+ Ы) - (сс+ dlс2+d2с2+d2•Мы можем сказать, что при сложении ко.мnлексных чисел скла­дываются отдельно их действительные части и отдельно их.мни.мыечасти;аналогичноеправилоимеетместоидлявычита­ния.

Характеристики

Список файлов книги