1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 17
Текст из файла (страница 17)
• , . . • • • • • , • , , • , • • . . . • • • • • • . • • ,а г1 Х 1+ а г2 х\\ + .. , +относительно(3)-аrnс nаггх, =Ьг-а,. '+1 С '+1-'"r неизвестных Х 1 • Х2, ••• , Х Г ' J{ этой системе применим о правило Крамера, и поэтому она обладает единственным решениемС1,с г + 1 , ,."СГ + 1 ,с2,••• ,С Г;очевидно,чтосистемасп будет служить решением системычисел(2).с1,с2,, .• ,С,,Так как значения••• , сп для неизвестных Х'+1' , •. , Хm называемых свободны.ми неизвестны.ми, мы могли выбирать произвольным образом, то этимпутем будет получено бесконечно много различных решений системы (2).С другой стороны, всякое решение системы(2)может быть получено указанным путем: если дан.о некоторое решение с 1 , С 2 ,системы(2),товкачестве••• ,спзначений для свободных jiеизвестныхберем числа С Г + 1 , ••• , сп' Тогда числа С 1 , С 2 , ••• , С, будут удовлетворять системе (3) и поэтому будут составлять то единственноерешение этой системы, которое вычисляется по правилу Крамера.Все сказанное выше объединяется в виде следующего пр а в и л ареш е н и ян е н ипро и з в о л ь Н О Йс и с т е м ыл и н е й н ы ху р а в11:пусть даНfL совместная систе.ма линейных уравнений (1) ипусть .матрица из tCоэффициентов А иМеет ранг г.
Выбираем8 А г ли,."еU,."о ,."езависимых cmpotC и оставляем 8 системе (1)§ 11]лишьСИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙypaafleflllfl,f(оэффиt,иен,тыстроки. В этих уравн,ен,ияхн,еизвестн,ых,ЧтО((оторых8\вошливnepeIiOCU.ftвестн,ы.мчисловыен,еизвестн,ыхрешения систе.мыДополнительнонамисвободн,ымuв nравые части уравн,ений. Давая свободны.м н,еизnроизвольныеостальныхrопределитель из коэффициен,тов при н,их отличен от нуля, а остальн,ые н,еизвестные объявляемивыбран,н,ыеоставляем в левых частях такиепозн,аченияправилуивычисляяКра.мера,значения.мы nолучи.Ае все(1).ещера-зформулируемследующий полученныйрезультат:CDв.ftестн,аясистема(1)един,ственным решением,тогдаитолькотогдаобладаетесли ран,г .матрицы А равен числу н,еизвестн,ых.При м еры.1.Решить систему5х 1 - х 2 +2х з + х 4 =7, }Х 2 +4х з -2х 4 = 1,х l -3х з -6х з +5Х 4 = о.2x 1+.Ранг матрицы из коэффициентов равен двум: минор второго порядка,стоящий в левоlVI верхнем углу этой матрицы, отличен от нуля, но оба миноратретьего порядка, его окаймляющие, равны нулю.
Ранг расширенной матрицыравентрем,таккак5 -1 711 1 = -35 =F121 -3О.ООтсюда следует, что система несовместна.2. Решить системуРанг матрицы из коэффициентов равен двум, т. е. равен числу неизвестных; ранг расширенной матрипы также равен двум. Таким образом, системасовместна и обладает единственным решением. Левые части первых двухуравнений' линейно независимы; решая систему этих двуХ уравнений, мыполучимдлянеизвестныхзначенняЛегко видеть, что это решение удовлетворяет и третьему уравнению.3.
Решить систему.Х\+ х 2 -2х а - Х 4 + хь=l,3х\- Х 2 + х з +4х4 +3х ь =4,Х 1 +5Х2-9хз-8Х4 Х 5 =0.+\1,Iсовместная, так как ранг расширенной матрицы, как и paHrкоэффициентов, равен двум. Левые части первого И третьегоуравнений линейно независимы, так как коэффициен?ы при неизвестных Х 1Системаматрицы изСИСТRМЫ ЛИНЕliных УРАВНЕНИЙ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)82{гл.2и Х 2 составляют отличный от нуля минор второго порядка. Решаем системуиз этих двух уравнений, причем неизвестные Ха' Х 4 , Х. считаем свободными,переносим в правые частинекоторыечисловыеуравнений и предполагаем,значения.x1=Х2 =Мы получим,5117 74+4Хачто им уже приданыприменяя правило Крамера:3-4" Х4 -Х Б ,-4"+4 Хз +4" Х 4 •ЭТИ равенства определяют общее решение заданной системы: давая в н",хсвободным неизвестным произвольные числовые значения, мы получим всерешения нашей системы. Так, решениямивекторы(2,5,3,стороны,4.(о,(3,5,2,1, -2),выражения- ~ , -1,~) и т.
д. С другой1,xl и Х 2 из общего решения в любоесистемы, например во второе, ранее исключенное из рассмоиз уравненийтрения,О, О),подставляянашей системы будут, например,длямы получим тождество.Решить систему4x 1 + х2 -2хз + Х4 =х l -2х 2 - хз +2х 4 =2x 1 + 5Х23x1 +3х2 -3'12,х 4 =-I,-хз -3х 4 =1.JХотя число уравнений равно 'IИслу неизвестных, но опр~делитель системыравен нулю и поэтому.
правило Крамера неприменимо. Ранг матрицы изкоэффициентов равен трем-в правом верхнем углу этой матрицы расположен отличный от нуля минор третьего порядка. Ранг расшнренной матриuытакже равен трем, т. е. система совместна. Рассматривая лишь первые триуравнения и считая неизвестное X 1 свободным, мы получим общее решениеввиде128x2=-s-s-x1,5.Пустьданасистема,9IХЗ=-5"'5'Хl'состоящаяизn+ 1Х4 =О.уравнений относительноnнеизвестных. Расширенная матрица А этой системы будет квадратной порядкаn + 1.ЕслинашасистемаСОВ1!естна, то, по теореме Кронекера-Капелли,определитель матрицы А должен быть раВНЫ1! нулю.Так, пусть дана системаx l -8x2 =2x 1 +4XlХ2 =+ 7Х 2 =3'}1,-4.Определитель из коэффициентов и свободных членов этих уравнений отличенотнуля:I~ПОЭТО1!УсистемаОбратноеравенстваматриц А и А.f 1=-77.несовместна.утверждениенулю-817 -4неопределителябудет,1!атрицывообщеАнеговоря,следуетсправедливым:совпадениеизрангов§ 12]83СИСТЕМЫ ЛИНЕйНЫХ ОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИй§ 12.Системы линейных однородных уравненийПр именим резу льтаты лредшествующегосистемы линейных однородных уравненuй:параграфакслучаюa ll x 1 + а12Х2 + ...
+ а 1nхn = О, }++ ... +а 22 Х 2а 2n х n = О,• • • • • • . • • • • . . . • • •а 21 Х 1a s1x 1(1)+ a s 2x 2 + ... + asnxn = О.Из теоремы Кронекера-Капелли вытекает, что эта система всегдасовместна, так КаК добавление столбца из нулей не может повыситьранга матрицы. Это, впрочем, видно и непосредственнозаведомо обладает нулевым решением (О, О, ., ., О).система-(1)Пусть матрица А из коэффициентов системы (1) имеет ранг г.Если r = n. то нулевое решение будет единственным решениемсцстемыпри г<(1);nличными от нулевого,няетсятот же прием,уравнений. Вн,ий ссистема обладает также решениями.
oт~и дляnразыскания всех этих решений примекак выше в случае произвольной системычастности,системаnлинейных однородных ypaвн,e~н,еизвестн,ыми тогда и только тогда обладает решениями,отли'f,нымиотнулевого,еслиопределительэтfJЙсистемыравен нулю 1). В самом деле, равенство нулю этого определителяравносильно утверждению, что ранг матрицы А меньше n. С другойстороны, если.Аtен,ьше числарешениями,всисте.ме однородных уравнений число уравн,енийнеизвестных. то система непременно обладаетотли'f,НЫ.Аtиотнулевого,таккакрангвэтомслучаене может быть равным числу неизвестных; этот' результат уже былполучен в § 1 из других соображений.Рассмотрим, в частности, случай системы, состоящей изn -1однородных уравнений относительно n неизвестных, причем предположим, что л ев ы е ч а с т и э т и х у р а в н е н и й м е ж Д у с о б о й л и н е й н о н е з а в и·с и м ы.
Пусть-матрица из коэффициентов этой системы; через M i обозначим минор(n -l)-ro порядка, получающийся после вычеркивания из матрицы А ееi-ro столбца, i = 1, 2, ... , nТогда одним из решений нашей системыбудет система чиселМ 1,-М З , М з ,-М 4 , ... , (_I)n-lМ n ,а всякое другое решение ему nроnорционально.1) Одна половина этого утверждения уже была доказана в § 7.(2)(гл.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕниlf (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)842д о к а з а т е л ь С Т В о. Так как, по условию, раиг матрицы А равен n-l,то один из миноров М ; должен быть отличен от нуля; пусть это будет М n •Полагаем в нашей системе неизвестное х n свободным ипереносим егов правую часть каждого из уравнений, после чего получим+й 11 Х 1Ul 2X 2.
........аl, n_1Хn_l = -аl''Х'''+~,n_1Xn_l=-a2nXnt.. ................................ .+ а n _ 1 , 2X Z + ... +а n _ 1 , n-1 Х n_l =--а n _l, "Хn'Й n _ 1 , lХ 'Применяя+ .. , +й 22 Х 2 + •••U2lX l+затем правилоКрамера,мыполучим общее решение заданнойсистемы уравнений, которому после легких преобразований можно придатьвидМ;1 n-l м(ХN 'Xj= - )nj(3)= 1, 2, .... n - 1.Положив х n =(-1)n-1М n , мы получим: Xj=(_1)2 n - I -IМ j , i= 1.2, ....
n-l,или,таккакразность (2n-i-l)-(i-l)=2n-2i есть четное число,Xj= (_1)1-1 M i , т. е. система чисел (2) действительно будет решением нашейсистемы' уравнений.(3)q:ормулЛюбое другоепри другомпропорциональносправедливо"';;;i";;;;;n-l,исистемыполучается. изчисловом значении неизвестного Х n 'И поэтому онорешениюв том(2).случае.решениеэтойПонятно.
что рассматриваемое утверждениекогда Мn=О, но один из миноровMj. 1,,;;;;;отличен от нуля.Решения системы линейных однородных уравнений обладают следующими свойствами. Если вектор ~(Ь 1 , Ь 2 , . , . , Ь n ) ЯВJIястся решением спстемы (1), то при любом числе k Bl К rop k~(kb 1 , kb 2 , ' •• , kb n )==также будет решением этой системы, что проверяется непосредственной подстановкойв любое,\,=(С 1 , С 2 , ••• , сn)-ещес истемы служит•.• , Ьn+С n ):из уравненийоднорешениемрешениеи вектор ~(1).Если, далее, векторсистемы+ v=(Ь 1(1),+Сl'то для этойЬ2+ С2,ппп~ aij (bj+Cj)=~aj/!j1=11=1Поэтомувообще всякаякойсистемы(1)+~aj/j=O,i = 1,2, ...
,S.1=1лин.еUн.ая КО.Jlбин.ация решен.иЙ одн.ородбудет сама решен.ие.Аt этой систеМЫ. Заметим,что в случае н.еодн.ородн.оЙ системы, т. е. системы линейных уравнений, свободные членыщееутверждениенекоторых не все равны нулю, соответствуюимеетместа: ни сумма двух решениlf системынеоднородных уравнений, ни произведение решения этой системы начисло не будут уже служить решениями для этой системы.Мызнаемизчто всякая система n-мерных векторов, со§ 9,стоящая более чем изnвекторов, будет {lинейно зависимой. Отсюдаследует, что из числа решений однородной системыкак мы знаем, n-мернымимаксимальную линейноf.MblCJle,чтовсякоевекторами,независимую систему,другоерешение(1),являющихся,можно выбрать к о н е ч н у юмаксимальную в томсистемы(1)будет JlИнейной§ 12]СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХоднородныхУРАВНЕНИЙ85комбинацией решений, в-ходящих в эту выбранную систему. Всякаямаксимальная линейнонезависимая(1)системы уравненийрешен.иЙ.системарешенийоднороднойназывается ее фун.дамен.тальн.оЙсисте.lrZОЙЕще раз подчеркнем, что n-мерн.ыЙ вектор тогда и только тогдабудет решен.ием системы (1), если он.
является лин.еЙн.оЙ комбин.ациеЙ векторов, составляющихдан.н.ую фун.да.tzен.тальн.У/Qсистему.Понятно, что фунда ментальная система будет существовать лишьв том случае, если(1)системаобладаетненулевыми решениями,т. е. если ранг ее матрицы из к,вффициентов меньше числа неиз·вестных. При этом система(1)может обладать многими различнымифундаментальными системами решений. Все эти системы эквивалентны,однако,между собой, так как' К~ЖДЫЙ вектор всякой из этих системлинейновыражаетсltчерезлюбуюдругуюСl1стему,ипоэтомусистемы состоят из одн.ого и того же числа решен.иЙ.Справедлива следующая теорема:Если ран.г г матрицы из коэффициен.тов системы' линеliн.ыходнородных уравн.ен.иЙ (1) .Аtен.ьше числа н.еизвестных n, то всякая фунда.lrzен.тальн.ая си-сте'ма решенийсистемы(1) состоитиз n-г решений.для доказательства заметим, что n - г является числом свобод(1); пусть свободными будут неизвест·ных неизвестных в системеX r + 1, Х г + 2 ,ные••• , Х n 'нуля определительdРассмотримПОР5lдкаn-произвольныйотличный отГ, который запишем в следующемвиде:d=С 1 ,г+1с 1 , г+2C1nС2 • Г+ 1С 2 ' г+2с 2nСп-г, г+1Сп-г, г+2Сn-г,nБеря элементы i·Й строки этого определителя,чествезначенийполучимХ2 '••••дляоднозначноХг 'уравненийсвободныхнеизвестных,определенныезначения1~ i~мы,дляn-какГ, в каизвестно,неизвестных?,1'т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
