1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 20
Текст из файла (страница 20)
(-1-233-1 4О4~ -~2) (О-43) (51;).-23 О)11О-212(-~)=(2О -з).(! -~)=(llО=(10 15 -5\11 10 10)'1:).-16-1).-1Умножение прямоугольных матриц можно связать с последовательным ВЬНIолнением линейных преобразований неизвестных, еслитольков определениипоследних отказатьсяот предположения,чточисло неизвестных сохраняется при линейном преобразовании.ЛегкоданноепроверитьвышеДЛЯтакже,случаядословноквадратныхповторяяматриц,чтодоказательство,заlCОНаССО11.ио-100АЛГЕБРА[ГЛ.МАТРИЦ3тивн.ости остается сnраведливЫ.Jt и для У.JlНожен.ия nрямоугОЛЬНblХматриц.Мы воспользуемсясейчасумножениеми свойствами обратной матрицы для}{р а м е р а,непроводилисьсnвтребующего§ 7.Пустьтехпрямоугольныхгромоздкихданаматрицн о в о Г о в ы в о д а пр а в и л аnсистемавычислениЙ,линейныхкакиеуравненийнеизвестными:а ll Х 1 + а 12 Х 2 + ...+ а 1n хn _ Ь 1 ,+ а 22 Х2 + ...
+ а 2nх Ь2 ,...............а n1 Х 1 + а n2 Х 2 + ... + аnnхn = Ьn ,а 21 Х 1причем определитель}n -этойсистемыотличен(6)отнуля. Обозначим(6); эта матрица невыd= I А 1=1=0. Обозначимчерез А матрицу из коэффициентов системырожденная, так как,по предположению,далее через Х столбец из неизвестных, через В- столбец из свободных членов системы (6), т. е.Произведение АХ имеет смысл, так как число столбцов матрицы Аравно числу строк матриц Х, причем это произведение будет столбцом, составленным из левых частей уравненийобразом,систему(6)можнозаписатьсистемыв виде(6).Такимодного матричногоуравненияАХ=В.Умножая обе части уравнения(7)(7 )СJlева на матрицу А -1, существование которой вытекает из невырожденностиквадратной матрицЫ А, мы получим:(8)Произведение, стоящее справа, будет матрицей из одного столбца;ее j-йэлементравенсуммепроизведенийэлементовj-йстрокиматрицы А -1 на соответственные элементы матрицы В, т.
е. равенчислуA1jIА 2!{[Ь 1 Т (ГDzАn!+ ... + тьn=([(АЦЬ 1 + A 2 i 2 + ... + Anjbn)·Скобка, стоящаяспра ва,СТОJlбцу определителяделителяd.p1является,однако,разложением пополучающегося заменойj-roj-MYстолбца опреd столбцом lJ. Такнм образом, формулы (8) равносильны§ 141ОБРАТНАЯформулам(3),из§ 7,101МАТРИllАвыражающим решение системы(6}.получаю·щееся по правилу Крамера.Остается показать, что полученные значения неизвестных деЙст·составляют решение системы (6).
Для этого достаточновыражение (8) подставить в матричное уравнение (7), что, очевидно,вительноприводитк тождеству В= В.Ранг произведения матриц. Теорема об умножении определите·лейне приводитв случае вырожденных маТРИll ни к какому выска·зыванию сверх того, что их произведение также будет вырожденным,хотя RырОil<денныеквадра I'ные матрицы можно еще различать по ихрангам. Заметим, что не существует вполне определенной зависимостимеждуваютрангамисомножителейследующиеирангомпроизведения, какпоказыпримеры:(~ ~).
(~ ~) = (~ ~),(~ ~). (~ ~) = (~ ~);в обоих случаях перемножаютсяслучае произведение имеет рангпритомлишьне только дляследующая1, однако в одномранг О, Справедлива,матрицы ранга1,квадратных,в другомно и для-прямоугольных матриц,теорема.Ранг произведения матриц не выше ранга каждого из сомн,ожителей.достаточно доказать эту теорему для случая двух множителей.Пусть даны матрицы А и В, дЛЯ которыхпроизведение АВ имеетсмысл; обозначим АВ= С. Рассмотрим формулу (3) § 13, дающуювыражение элементов матрицы С. Беря эту формулу для данного kи всех возможныхi (i = 1, 2, ...
),мы получаем,чтоk-й столбецматрицы С является суммой всех столбцов матрицы А, взятых с некоторыми коэффициентами (а именно с коэффициентами b 1k , b2k , ••• ).Этим доказано, что система столбцов матрицы С линейно выражаетс\{через систему столбцов матрицы А, а поэтому, как показано в § 9,рангпервой системы меньше или равен рангу второй системы; инымисловами, ранг матрицыс другой стороны,всехkизС не большетойжерангаформулыматрицы(3) § 13А.Так как,при данномi11вытекает, что всякая i-я строка матрицы С ЯВlIяется линейнойкомбинацией строк матрицы В, то аналогичными рассуждениями мыполучим, что ранг С не выше ранга В.Более точный результат имеет место ДIlЯ Сllучая, когда один измножитеllей является невы рожденнойквадратной матрицей:Ран,г nроизведен,uя nроuзвольн,ой матрицы А справа или слевана невырожденн,ую ICвадратную .матрицуПусть,Q равен, ран,гу.матрицы А.например,AQ=C.(9)102АЛГЕБРА[ГЛ.МАТРИЦ3Из преll.шествующеtt теоремы следует, ч'то ранг маТРИIlЫ С не вышеранга матрицы А.мыпридемкУмножая, однако, равенство(9) справа на Q-l.равенствуа поэтому, снова на основаниипредшествующей теоремы, ранг Ане выше ранга С.
Сопоставление этих двух результатов доказываетсовпадение ранговматриц А и С.Сложение матриц и умножение матрицы на число§ 15.Для квадратных матриц порядкаляетсяnследующим образом опредес л о ж е н и е:Суммой Апорядкаn+Вдвухназываетс\!квадратnых матри!(матрицаС= (Си),Авсякий= (a jj )и В= (Ь,}элемент которойравен сумме соответственных элементов матриц А и В;Со = a jj+ bjj 1).Определенное нами сложение матриц будет, очевидно, коммутативным и ассоциативным.
Для него существует обратна\! операцияВЫ'iитание, причем разностью маТРIЩ А и В служит матрица, составленнаяизразностейсоответственныхэлементов заданныхматриц.Роль нуля играет при этом нулевая .Jщтрица, ,составленная сплошьиз нулей; в дальнейшем эта матриuа обозначается символом О: нетсерьезной опасности смешатьнулевую матрицу с числомнуль.Сложение квадратnых матриц и их умnожение, оnределеnноев§ 13,связаны закона.Jlи дистрибутивности.В самом деле, пусть даны три матрицы порядка n, А = (a jj ),(bij ), С (c jj ).
Тогда для любых i и j имеет место очевидноеВ==равенствоППП~(a js5=1+ bjs ) Cs;= ~Однако левая часть этогостроке иj-MстоящийнастолбцеэтомajSC Sj<=1жеместеbjsCsj's= 1равенстваматрицы (А+~есть элемент, стоящий в i-й+ В) С,в матрицеправаяАС+ ВС.часть -элемент,Этим доказаноравенство(А +В)С=АС+ВС.РавенствоС (А+ В) =некоммутативностьСА+ СВумножениядоказываетсяматрицтакимтребует,жепутемпонятно, доказательства этих обоих законов дистрибутивности.1) Можно было бы, конечно, и произведение матриц определить столь жерстественным способом, перемножая соответственные элементы.
Такое умножение, однако, в О1личие от того, которое определено в § 13, не нашло быникаких серьезных примснениЙ.§ 15}СЛОЖЕНИЕ103МАТРИП И УМНОЖЕНИЕ МАТРИПЫ НА ЧИСЛОВведем следующее определение умножения матриц на число.Произведеnием. kA /Свадратnой матрицы А= (aj) па число kназывается матрипа А'(а'.. ), получающаяся умножением на k всех'1=элементовматрицы А:С одним примером такого умножения матрипы на число мы ужевстречались в предшествующем параграфе: если матрица А невырожI Iденная, причем А = d, то ее обратнаяненная матрица А* связаны равенствомматрица А -1 И присоедиA-l=d- 1 A*.Как мы знаем, всякую квадратную матрицу порядка n можно рассматривать как n 2 -мерный вектор, причем это соответствие междуматрипами и векторами взаимно однозначное.
Определенные сейчассложение матрип и умножениеэтом в сложение векторовматрипынаи умножениечислопревращаютсяпривектора на число. Такимобразом, сово/Суnnость /Свадратnых м.aтpт~ nоряд/Са n можнорассматривать /Са/С n 2 -мерное ве/Сторное nростраnство.Отсюда вытекает справедливость следующих равенств (здесь А,В-матрицы порядка n; k, l-числа, 1- число единица):(1)k(A+B)=kA+kB,(k+[) А =kA+ [А,k (IA) = (kl)(2)А,(3)I·А=А.(4)Свойства (1) и (2) связывают умножение матрицы на число сосложением матриц.
Существует, вместе с тем, очень важная связьмеждуматриц,умножениемаматрицыначислоиперемножениемсамихименно:(kA)В=А(kB)=k(АВ),(5)т. е. если в flроuзведении матриц один из множителей УМnОжается на число k, то и все nроuзведенuе будет умножаться на k.В самом деле, пусть даны матрицы А = (a jj ) и В = (Ьи) и число k.Тогда для любых i и j будет:nn5=15=1~ (ka js) bsj=k ~ ajsbsj •Левая часть этого равенства есть, однако, элемент, стоящий в i-йстроке и j-M столбпе матрипы (kA) В, правая часть-элемент,104АлгеБРАСТОЯЩИЙ на этом же месте в матрице(kA)[гл.МАТРИЦВ=kk3(АВ). Этим доказано равенство(АВ).Равенство А (kB)=k (АВ) доказывается таким же путем.Операция УМldожения матрицы на число поз.воляет ввести новыйспособ записи матриц. Обозначим через Еи матрицу, в которой напересечении i-й строки истолбца стоит единица,j-roа все остальные элементы равны нулю.
Полагая i = 1, 2, ... , n и j= 1, 2, ... , n,мы получим n 2 таких матриц E ip которые связаны, как легко проверить,следующей таблицей умножения:EisEtj =EjSEsj = E jj ,Оприs =l=t.Матрица kEij отличается от матрицы Е{! лишь тем, что в ней напересечении i-й строки и j-ro столбца стоит число k. Учитывая этои используяопределение сложения матриц, мы получаем следующуюзапись для произвольной квадратной маТРIIНЫ А:ан а12А = ( а21 а 2 2•аl11•••t t)а2n•••=1=1 i=l• • • • • ••а n1 а n 2а.
Е ..lj(6)lJ'а nn•••причем матрица А обладает, очевидно, лишь единственной записьювида(6).МатрицаkE,Г,1е Е-единичная матрица, имеет, по определениюумножения матрицы на число, следующий вид:т. е. на главной диагонали стоит одно и то же числоk,а все Э.'1ементы вне этой диагонали равны нулю. Такие матрицы называютсяскаЛЯР/f,ы.ми.Определение сложения матриц приводит к равенствуkE+1E= (k +1)С другой стороны, используяже опираясь на равенствополучаем:kE ·lE = (kl)Умножение .матрицы А наЕ.числоУ.UЧО?fCен,ие А н,а скалярную матрицу(kE)(7)определение умножения матриц или(5),.Аlа.nриц. действительно, [10Е.(8)k можн-о истолковать ка/(kE в С.Jlысле nеремн,ожен,ия(5),А = А(kE)= kA.105АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ§ 16]Отсюда вытекает также, что всякая СКЩlярная .матрица nерестан,овочна С любой .матрицей А. Очень важно, что скалярныематрицы являютсяединственными, обладающимиэтим свойством:Если н,екоторая .мaтpт~a С= (c ij ) n-го порядка nерестановочнас любой .матрицей этого же порядка, то .матрица С скалярна.В самом деле, положим i =1= j и рассмотрим равные между собой,по условию, произведения СЕи и EijC (см.
выше определение матрицы E i ). Легко видеть, что все столбцы матрицы CEij , кроме j-ro,состоят из нулей, а j-й' столбец совпадает с i-M столбцом матрицы С;в частности, .на пересечении i-й строки и j-ro столбца матрицы CE ijстоит элемент Сн. Аналогично все строки матрицы EijC' кроме i-й,состоят из нулей, а i-я строка совпадает с j-й строкой матрицы С;на пересечении i-й строки и j-ro столбца матрицы ЕиС расположенэлемент С jj' Используя равенство СЕ,]EijC, мы получаем, что=Си=Сп (как элементы, стоящие в равных между собой матрицах наодинаковых местах),т.е.всеэлементыглавнойдиагоналиматриuы С равны между собой. С другой стороны, на пере сечении j-йстроки и j-ro столбца матрица CEij стоит элемент Cji; но в матрице ЕиС на этом же м{;сте стоит нуль (ввиду i 0:/= Л, и поэтомус ji = О, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
