1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Пусть наивысший порядок отличных 01'нуля миноров матрицы А равен г. Предположпм,- что не нарушает72общностив[ГЛ.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)левомДоказательства,- чтоверхнемуглуминорг-гопорядкаD,2стоящийматрицы)А=)отличен от нуля,Тогда первые г столбцов матрицы А будутD =#=0.между собой линейно независимыми:еслибыствовала линейная зависимость,то, так как прискладываю,сякомпоненты,норасоответствующиеD существовала бы эгаD был бы равен нулю.жемежду ними суще·сложениимеждулинейная зависимость и поэтомуминордокажем теперь, что всякий l-й столбец матрицы А, гбудет линейной1~ iкомбинациейпервых г столбцов.a 1rан... a ir< 1 ~ n,Берем любое Ё,~ S, и строим вспомогательный он редели гель (гайвекторовстолбцами ми+ 1)-го порядкаана llполучающийся «окаймлением» минора D соответствующими элементами I-го столбца и i-й строки.
При любом i определитель /)"i равеннулю. действительно,порядканашейчисла г. Если жетакеслимаТРИllЫкак не можетi ~ г,бы гьЁ> г, то /)"i будетА и поэтомуравенминоромто /)"i уже не будет миноромполучен(г+ 1)-гонулю ввиду выборавычеркиваниемматрицы А,из этойматрицынекоторых ее строк и столбl~ОВ; однако определитель /)"i будет содержатьтеперь две равныестроки и, следовательно, снова равен нулю.Рассмотрим алгебраические дополнения элементов последней строки определителя /)"i' АлгеQраическим дополнением для элемента atlслужит, очевидно, минор D.
Если же 1 ~j~r, то алгебраическимДОllолнением для элемента a i / в /)"j будет числоанА/= (- 1)(r+lJ+J•'" a 1 ,• •а г1•/-1 а 1 ,• •• •/+ 1 .. , a 1r аи• • • •.. , а т , /-1 а т , /+1 .. , а ттarlоно не зависит от i и hОЭТОМУ обозначено через А/. Таким образом,разлагая определитель /)"i по его последней строке и приравниваяэто разложение нулю, так как /)"jО, мы получим:=ailAl+at2A2+ ... + airA, + ajtD = О,§ 10]РАНГоткуда, ввиду73МАТРИЦЫD =F о,_А1ArА2ail--7Jail-75 ai2 - , .. -:'7J air'Это равенство справедливо при всехего коэффициенты отiне зависят,столбец матрицы А будетсоответственно,суммойеепервыхфф ициентами - Аlкоэ7J'сатакroвесь [-йстолбцов,взятых,i, i = 1, 2, "" s,то мы получаем,rчА2какAr- 7J' , .. , - 7J'Таким образом, в системе столбцов матрицы А мы нашли максимальную линейно независимую подсистему , состоящую изцов.
Этим доказано, что ранг матрицы Атеоремаоадаетметоддляпрактического вычисления рангапоэтому и для решения вопроса о существованииной зависимости в данной системедли которой данные векторыэтойстолбранге.Эта теоремаматрицы,rравен г, т. е. доказанаматрицы,векторов;служатсоставляялинейматрицу,столбцами, и вычисляя рангмы находим максимальное число линейно независимых векторов нашейсистемы.Метод нахождения ранга матрицы, основанный на теореме о ранге,требует вычисления хотя и коне4НОГО, но, быть может, очень большого 4исла миноров этой матрицы. Следующее заме4ание позволяет,ОДfJако, внести в этот метод зна4ительные упрощения. Если читательпросмотритмыещеметит,4ТОнев с е хминоров (граздоказательствотеоремыоиспользовали при его проведении+ 1)-гопорядка матрицы Аупотреблялись лишь те миноры(г+ 1)-го-ранге,торавенствазанулюв деЙствите.1ЬНОСТИпорядка,мляют данный не равный нулю минор г-го порядкакоторые окайD(Т.
е.содержат его целиком внутри себя), и поэтому из равенства нулю лишьэтихминороввытекает, 4ТО г есть максимальное 4ИСЛО линейно независимых столбцов матрицы А; последнее же влечет за собой равенство нулю вообще всех миноров (гМыприходимкследующему+ 1)-гоп р а в и л упорядка этой матрицы.вы ч и с л е н и яр а нrам а т р и цы:Привычислениирангаминоров меньших порядковуже найден минорk-zoматрицыкпорядкаD,отпорядка, окаймляющuематрицы равен k.то рангматрицыA~(~nереходиmьотличный от нуля, то тре+ 1)-гобуют вычисления лишь миноры (kминор D: если все они равны нулю,ПРlIмеры1. НаЙТII рангследуетминорам б6льших порядков. Если-43-21 -1-74-43-4~}СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)74[гл.2Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу этой матрицы,равен нулю.рогоОднако в матрице содержатся и отличные от нуля миноры вто'порядка,напримерd=\-4 3\-2;60.1Минор третьего порядка2 -43-21-1d'=Оокаймляющий миноротличен от нуля, d' = 1, однако обаd', равны нулю:d,минорачетвер-порядка, окаймляющие минортого32 -4-2О4 -71 -4==0,3-14 -4ОО32 -41 ~22-1=0.4 54 -7Таким образом, ранг матрицы А равен трем.2.Найтимаксимальнуюлинейнонезависимуюподсистемувсистемевекторовul=(2, -2, -4),а2=(1,9, 3),uз=(-2,u 4 =(З,-4, 1),7, -1).Составляем матрицу(-~-4~),-29 -431 -1для которой данные векторы служат столбцами.
Ранг этой матрицы равендвум: минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу, отличен отнуля, но оба минора третьего порядка, его окаймляющие, равны нулю. Отсюдаследует, что векторы (tl' а2 составляют в заданной системе одну из максимальных линейно независимых подсистем.в качествеутверждение,следствияужеизтеоремывысказанноеорангематрицыдокажемранее:Макси,м,альн-ое число лин-ейн-о н-езависи,м,ых строк всякой ,м,атрицы равн-о ,м,акси,м,ально,м,у числу ее лин-ейн-о н-езависи,м,ых столбцов,т. е. равн-о ран-гу этой ,м,атрицы.для доказательства транспонируем матрицу, т. е. сделаем ее строки столбцами, сохраняя их нумерацию.
При транспонировании максимальный порядокизмениться,такОТЛИЧНЫХкакОТнулятранспонированиеминоровнематрицыменяетне можетопределителя,адля всякого минора исходной матрицы минор, полученный из неготранспонированием, содержится в новой матрице, и обратно. Отсюдаследует,онравен,что ранг НОВОЙ матрицывместе с тем,равен рангу ИСХОДНОЙ матрицы;максимальному числу линейно независимыхстолбцов новой матрицы, т. е.максимальному числу линейно независимых с т р о к исходной матрицы,§ 101РАНГПри м е р. Вуже было§875МАТРИЦЫвведенопонятие линейной формы отнеnизвестных и определено сложение ЛИflейных форм и их умножение на число.Это определение позволяет перенести на линейные формы понятие линейнойзависимости со всеми его свойствами.Пусть дана система линейных формf1= Хl + 2Х 2+ хз+Зх4 ,'2=4Х1- Х2- 5х з- 6Х 4'fз= Х1-ЗХ2-4хз-7Х4''4=2Х 1+Х 2 - Хз'Нужно выделить в ней максимальную линейно независимую подсистему.Составим матрицу И3 коэффициентов этих форм:и найдем ее ранг.
Минор второго порядка,стоящий в левом верхнем углу,отличенвсеотнуля,но,каклегкопроверить,четыреминоратретьегопорядка, его окаймляющие, равны нулю. Отсюда следует, что первые две СТРОКИнашей матрицы линейно независимы, а третья и четвертая 15удут их линейНЫМИ комбинациями. Системаf f1, 2 будет, следовательно, искомой подсистемой заданной системы линейных форм.Укажемещеодноважноеследствие из теоремы о рангема·трицы.Определительn-гонулю, если .междуегоfLOрядlCатогдаитолbICОсуществуетcmpolCaMUтогдалинейнаяравензависu•.ttOCmb.В одну сторонуствонулю,8).т.этоутверждениеуже§ 4доказано в(свойПусть теперь нам дан определитель n-го порядка, равныйе. дана, иными словами, квадратнаяматрицал-го порядка,единственный минор которой, имеющий максимальный порядок, равеннулю.
Отсюда следует, что наивысший порядок отличных от НУЛIlминоров этой матрицы меньшеn,на основании доказанного выше,т. е.ранг меньшеn,а Поэтому.строки этой матрицы линейно за·висимы.Понятно,чтоВформулировкедоказанногосейчасслеДСТВИIlможно вместо строк говорить о столбцах определителя.Для вычисления ранга матрицы существует еще один метод, не связанный с теоремой о ранге и не требующий ВЫ'IИсления определителей.
Он применим, впрочем, только в том случае, если мы хотим знать лишь самый ранРи не интересуемся тем, какие именно столбцы (или строки) составляют максимальную линейно независимую систему. Изложим этот метод.ЭлементарнымиnреобразованuямuматрицыАназываютсяследующиепреобразования этой матрицы:(а) перемена мест (транспозиция) двух строк или двух столбцов;(Ь) умножение строки (ПЛИ столбца) на произвольное отличное от flУЛЯчисло;16СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)(ГЛ.2(с) llрибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (столбца),умноженной на некоторое число.Легко видеть, что элементарные nреобразования не меняют ранга матрицы.
Действительно, если эти преобразованияприменяются, например,к столбцам матрицы, то система столбцов, рассматриваемых как векторы,заменяется эквивалентной системой. Докажем это лишь для преобразования (с), так как для (а) и (Ь) это очевидно. Пусть к i-MY столбцу при бавляется j-й столбец, умноженный на число k.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
