1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Если столбцами матрицы допреобразования служили векторы(1)'1'0 после преобразования столбцами матрицы будут векторы(11' ••• ,Система(2)(1~ = (1/ + k(1/, ... , (1 j'линейно выражается через систему(1j= (1~ -••••(1n.(2)(1), а равенствоk(1 fпоказывает, что система (1), в свою очередь, линейно выражается через (2).Эти системы, следовательно, эквивалентны, и поэтому их максимальные линейно независимые подсистемы состоят из одинакового числа векторов.Таким образом, при вычислении ранга матрицы можно предварительноее упростить при помощи некоторой комбинации элементарных преобразований.Говорят, что матрица, содержащая s строк и n столбцов, имеет диагональную ФОРМУ, если все ее элементы равны нулю, кроме элементов ан,а 22 , ••• , а(где О...;;;,.,.;;; min (s, n», равных единице.
Ранг этой маТРИLlЫравен,"очевидн{),Г.Всякую матрицу можно sлементарнымик диагональной форме.В самом деле, пусть дана матрицаnреобразованиямипривестиан ... а 1 n )A::::::I ( ••аа1а..••••• а аnЕсли все ее элементы равны нулю, то она уже имеет диаr-oнальную форму.Если же в ней есть элементы, отличные от нуля, то транспозицией строки столбцов можно добиться того, чтобы элемент ан был отличен от нуля.Умножая затем первую строку на a~11, мы превратим элементаl1 в единицу.1>Если мы вычтем теперь из j-ro столбца,1, первый столбец, умноженныйна аl/' то элемент а 1 / будет заменен нулем.
Делая это преобразование совсеми столбцами, начиная со второго, а также со всеми строками, мы при.демкматрицевида1ОА'= ( О а'22...•••Оа'2n. . . .. . .).о a~2 ... а:nСовершая такие же преобразования с матрицей,щ'м углу, и тостающейся в правом ниж,д, мы после конечного числа шагов придем к диагональнойматр!Ще, имеющей тот же ранг, что и исходная матрица А.Таким образом, для нахождения ранга матрицы нужно sлементарнымиnреобразованиями привести эту матрицу к диагональной форме и подсчитатьчисло единиц, стоящих в последней на главной диагонали.§ 11}СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙПри М е р.
НайтирангIо77матрицы2 -4)-4575 -103О-1A~~Переставляя в этой матрице первый и второй столбец, а затем умножаяпервую строку на число1"2'мыпридемко(-21-4 -13157.0-102О)5~матрице3Прибавляя к ее третьему столбцу удвоенный первый столбец, а затем при.бавляя некоторое кратное новой первой строки к каждой из остальных строк.мыполучимматрицу[Умножая,наконец,вторую~ -~О)-3о39ООО~О2строку6на-1,вычитая ~зTpeTьe~oстолбцаутроенный второй столбец, а затем вычитая из третьеи и пятои строк некоторые кратные новой В10рОЙ строки, мы придем к искомой диаг_ональнойформе( 1о0\о1ООООООО~OоО).Таким образом, ранг матрицы А равен двум.В гл.
13 мы еще раз встретимся с элt'ментарными преобразоваНIIЯМИ идиагональнойкоторыхформойявляютсянематриц; эточисла,§ 11.абудут,впрочем,матрицы,эЛt>ментамимногочлены.Системы линейных уравнени~Мы переходим к изучению произвольных систем линейных уравнений,причемужене делаем предположения, что число уравненийсистемы равно числу неизвестных. Наши результаты будут, впрочем,применимы й к тому случаю (оставленному вкогдачислосистемыуравнений равноравеннулю.§ 7 безчислу неизвестных,рассмотрения),но определитель78СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)[гл.2Пусть дана система линейных уравненийа ll Х 1+ а12Х2 + ... + а 1nхn = Ь 1 ,+ a x z + ...
+ а 2nхn = Ь2 ,. . . . . . . . . .. . . . . . . .а 21 Х 1a S1}22(1 )x 1 + a S2 x 2 + ... + asnXn = bs 'Как мы знаем из § 1, прежде всего следует решить вопрос о совместности этой системы. Для этой цели возьмем ~атрицу А из коэф·фициентов системы и «расширенную»матрицу А, полученную присоединением к А столбца из свободных членов,и вычислим ранги этих матриц. Легко видеть, что ранг матрицы Алибо равен рангу матрицы А, либо на единицу больше последнего.В самом деле, берем некоторую максимальную линейно независимуюсистему столбцов матрицы А. Она будет линейно независимой и в ма-трице Х. Если она сохраняет и свойство максимальности, т.
е.столбец из CB~OДHЫX членов через нее линейно выражается, то рангиматрицы А и А равны; в противоположном случае, присоединяя к этойсистеме столбец из свободных членов, мы получаем линейно независимую систему столбцов матрицы::4, которая будет в ней максимальной.Вопрос о совместности системы линейных уравнений полностьюрешается следующей теоремой.т е о р е м а К р о н е к е р аненийК а п е л л и.
Система линейных урав(1) тогда и толысо тогда совместна, когда ранг расши-ренной матрицы ::4 равен рангу матрицы А.Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Пусть система (1) совместна и пусть••• , k n будет одним из ее решений. Подставляя эти числавместо неизвестных в систему (1), мы получим S тождеств, которыеk 1, k 2,показывают, что последний столбец матрицы А является суммойвсех остальных столбцов, взятых соответственно с коэффициентамиk 1, k 2,••• ,kn.Всякий другойстолбец матрицы А входит и вматрицу А и поэтому линейно выражается через все столбцы этойматрицы. Обратно, всяКий столбец матрицы А является столбцом ив А, т. е.
линейно выражается через столбцы этой матрицы. Отсюдаследует, что системы столбцов матриц А и А эквивалентны междусобой, а поэтому, как доказано в конце § 9, обе эти системы S-Mepныхвекторовимеютодинитотжематриц А и А равны между соБQЙ.ранг;инымисловами,ранги§ 11]2.СИСТЕМЫЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ79Пусть теперь дано, что матрицы А и А имеют равные ранги.Отсюда следует, что любая максимальная линейнО независимая система столбцов матрицы А остается максимальной линейно независимой системой и в матрице А. Таким образом, через эту систему,через систему столбцов матрицы А, линейноа поэтому и вообщевыражается последнийтельно, такая системастолбец матрицы А.
Существует, следова·коэффициентов k 1 , k 2 , " ' , k m что суммастолбцов матрицы А, взятых с этими коэффициентами, равна столбцуиз свободных членов, а потому числа k 1 , k 2 , ••• , k n составляютрешение системы (1). Таким образом, совпадение рангов матриц Аи А влечет за собой совместность системы(1).Теорема полностью доказана. При ее применении к конкретнымпримерам необходимо вычислить сперва ранг матрицы А, дЛЯ чегонайти одинминоры,из тех отличных от нуля миноров этой матрицы, что всеего окаймляющие,равны нулю; пусть это будет минор М.После этого следует вычислить все миноры матрицы А, окаймляющие М, но в А не содержащиеся (1ак называемые характеристическиеопределителисистемы(1)).Если они все равны нулю, торанг матрицы А равен рангу матрицы А и потому система(1)совместна, в противоположном случае она несовместна.
Таким образом,теореме Кронекера-Капелли можно датьсте.малин.еЙн.ых.местн.а,н.улюеслqуравн.ен.иЙвсеее(1)гакую формулиров.ку: ситогдаихарактеристическиетолbICОтогдаопределителиСОВравн.ы..Предположим теперь, что с и с т е м а(1) с о в м е с т н а. ТеоремаКронекера-Капелли, при помощи которой мы устанаВ.'lиваем совместность этой системы,дает,однако,с к а н и явс ехутверждает существование решения; она неникакогоспособа дляреш е н и й системы.пр а к т и ч е с к о г ораз ыКсейчасЭТОйзадачемыпереходим.Пусть матрица А имеет ранг г.
Как доказано в предшествующемrпараграфе,равно максимальному числу линейно независимых строкматрицы А. Пусть, для определенности, первые r строк матрицы Алинейнонезависимы,аJ{аждаякомбинацией. Тогда первыенезависимыми: всякаялинейнойrлинейнаязависимостьюиизостальных будет их линейнойстрок матрицы А также будут линейнозависимость между ними была бымежду первымиrстроками матрицы А(вспомнить определение сложения векторов!).
Из совпадения ранговматриц А и А следует, далее, что первыеrстрок матрицы А составляютв ней максимальную линейно независимую систему строк, т. е. всякая другая строка этой матрицы будет их линейной комбинацией.Отсюда следует, что всякое уравнение системы (1) можно представить как сумму первых r уравнений, взятых с некоторыми коэффициентами, а поэтому любое общее решение первыхrуравнений[гл.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)80будет удовлетворять всем ураВljениям системыдовательно,+а 22Х2 + ... + а 2nхn - Ь 2 ,.
. . . . . . . .. . . . . . . . .а 21 Х 1а,1ХlТак как строки(2)+ а,2Х2 + ... + arпxn =изкоэффициентовпри}(2)ЬГ ,неизвестных в уравнелинейно независимы, т. е. матрица из коэффициентов имеетранг г, то г':;:;;рядкаДостаточно, сле(1).найти все решения системыа ll Х 1 + а 12 Х 2 + '." . + а 1nхn _ Ь 1 ,ниях2этойnи,кроме того, хотя бы один из миноров г-го поматрицыотличенотнуля.Еслиг=n, то(2)будетсистемой с равным числом уравнений и неизвестных и с отличным отнуля определителем, т. е.
она, а потому и система (1), обладает единственным решением, а именно - вычисляемым по правилу Крамера.Пусть теперь гn и пусть, для определенности, отличен отнуля минор г-го порядка, составленный из коэффициентов при первых г неизвестных. Перенесем в каждом из уравнений (2) в правую<часть все члены с неизвестными Х'+I'••. , Х n И выберем для этихнеизвестных некоторые значения с г + l' ••• , сп' Мы получим систему гуравненийа ll Х 1 +а 12 Х 2+ ...+, ..+a 1"x,=b 1 -а 1 • Г+1 С '+1-'" -а 1n с n , }а 21 Х 1 +а 22 Х 2+а2ГХГ=Ь2-а2. '+I С '+1-'" -а 2n С m. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
