1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 18
Текст из файла (страница 18)
е. придем к вполне определенному решению системbf.(1);запишем это решение в виде вектораПолученная нами система векторов а 1 , а 2 , ••• , а n - г служит дляси.стемы уравненийделе, эта система(1)фунда ментальной системой решений. В самомвекторов линейно независима,таккак матрица,составленная из этих векторов как из строк, содержит отличный отнуля минорdпорядка n-г. С другой стороны, пусть~ = (Ь 1 , bz,...
, Ьг , b~+i, Ьг + 2'... ,Ьn )СИСТЕМЫ ЛИНЕt\ных УРАВНЕНИЙ (ОВЩАЯ ТЕОРИЯ)86будет произвольное решение системы уравнений(1).векторCt 1 , а 2 ,~линейновыражаетсяОбозначим через ~~,теляве кторыi = 1, 2, ... , n -рассматриваемуюd,черезкак[гл.2Докажем, что••• , а п _ "г, i-ю строку определи(n - г)-мерныйвектор.Положим,далее,Векторы a~, Ё=1,2, ... , n-г, линейно независимы, так как d=l=O.Однако система(n - г)-мерных векторовCG"1 , а 2 ,••• ,а 'А'n _ г ,.
1-'линейно зависима, так как в ней число векторов больше их размерности. Существуют, следовательно, такие числа k 1 , k 2 , ••• , k n- r ,что(4)Рассмотрим теперь n-мерный векторб=k 1 Ct 1 +k 1 Ct 2+ .. · +kп_,Ctп_,-~·Вектор б, являясь линейной комбинацией решений системы однородных уравнений (1), сам будет решением этой системы. Из (4) следует, что в решении б значения для всех свободных неизвестныхравны нулю.
Однако то единственное решение системы уравнений(1),которое полуqается при равных нулю значениях для свободных неизвестных, будетнулевымрешением. Таким образом, б = О, т. е.Теорема доказана.Заметим, что проведенное выше доказательство позволяет утверждать,чтомыполучимв с есистемы однородных уравненийотличныеотнуляопределителифундаментальные(1),системы решенийберя в качествепорядкаdвсевозможныеn -г.При м е р. Дана система линейных однородных уравненийРанг матриuы из коэффиuиентов равен двум, число неизвестных равнопяти, поэтому всякая фундаментальная система решений этой системы уравнений состоит из трех решений.
Решим систему, ограничиваясь первыми§ 12]СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ однородных87УРАВНЕНИЙдвумя линейно независимыми уравнениями и считая Хз, Х 4 , Х. свободныминеизвеСТНЫ\j\И. Мы получим общее решение в виде1931Х 1 ="8 Х з + в Х 4 -"2 Х .'Х2=7251Х 3 - В Х 4 +"2 Х 5 •8"Берем, далее, следующие три линейно независимых трехмерных вектораО, О), (О, 1, О). (О, О, 1). Подставляя компоненты каждого из них в общеерешение в качестве значений для свободных неизвестных и вычисляя зна(1,чения дЛЯ Х1 и Х2, мыполучимследующуюфундаментальную систему решений заданной системы уравнений:19 7)йl = ( "8'"8' 1, О, О,«з = (-( 325)в' -в,О, 1, о«2 =; , ;,О, О,•1).Мы закончим параграф рассмотрением связи, существующей между решениями неоднородных и однородных систем.
Пусть данасистема линейных неоднородных уравнений:а l1 Х 1 + а 12 Х 2 + . , -+ а 1n х n = Ь 1 ,а 21 Х 1 + а 22 Х 2 + .. -+ а 2nхn = Ь 2 ,}a~1~1'+' a~2~~ ~ :. '. ~'a:n~n '':' ;s'(5)Система линейных однородных уравнений:a ll x 1+ а 12Х2 + ... + а 1nхn =a2~X.1 -: .a~2~2.~ . :a s1 x 1'.
-:О, }~2~~n ~.O'.(6)'+ a s2 x 2 + ... + asnxn ·- О,полученная из системы (5) заменой свободных членов нулями, называется nриведенной систе.l.tоЙ для системы (5). Между решениямис;{стем (5) и (6) существует тесная связь, как показывают следующие1.дветеоремы.Сумма любого решения системы(5) С любым решением nриведенной системЫ (6) снова будет решением системы (5).В самом деле, пусть С l' С 2 , ••• , сп - решение систе,мы (5),d 1, d 2, ... , d n - решение системы (6).
Берем любое из уравненийсистемычисла С 1(5),например+ d 1• С 2 + d 2,k-e,. ивставляем в него вместо неизвестны)(••.• СП+ d n.Мы получим:ппп~ak/(c/+d/) = ~ ak/c/+ ~ak/d/=bk+O=bk'}=1}=1}=1СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)8811.РазностьДействительно, пусть С 1 ' С 2 ,и(5).(6).... ,••СП И С 1 ' С 2 'Берем любое из уравнений системыподставляемв2любых двух решений системы (5) служит реше-нием для nриведенной CUCmeJlbtс.истемы[ГЛ.неговместонеизвестных••• ,(6),с~-решениянапример k-e,числаМы получим:ппп~аkj(Сj-С~)= ~j=1ИзэтихakjCj -теоремвытекает,~аklс;=Ьk-Ьk=О.j=1i=lчто, найдя одно решение системы(5) и складывая его с каждымлинейных неоднородных уравненийизрешенийсuсте.м.ы(5).nриведенноисисте.м.ы(6)..мыполучимвсе решен,uяГЛАВАТРЕТЬЯАЛГЕБРА МАТРИЦ§ 13.Умножение матрицв предшествующих главах понятие матрицы было использовановкачествесистемсущественноголинейныхвспомогательногоуравнений.орудииМногочисленныепридругиеизучениипримененияэтого понятия сд~лали его предметом большой самостоятельной теории,вомногих своихчастях выходящей за пределы нашего курса.Мы займемся сейчас основами этой теории, начинающимися с того,ЧТО в множестве всех квадратных матриц данного порядка своеобразным, но вполне мотивированным способом определяютсябраические операции-сложениедве алгеи умножение.
Мы начнем с определения умножения матриц; сложение матриц будет введено в§ 15.Из курса аналитической геометрии известно, что при поворотеосейпрямоугольнойсистемыкоординаткоординаты точки преобразуютсях=х'у=х'наплоскостина угол апо следующим формулам:cosa- у' sin а,sina+y' cosa,где х, у-старые координаты точки, х', у' -ее новые координаты;таким образом, х и у выражаются через х' и у' линейно с HeI{OTO-рыми числовыми коэффициентами.
Во многих других ёлучаях такжеприходится встречатьсясзаменойнеизвестных (или переменных).,при которой старые неизвестные линейно выражаются через новые;такую замену неизвестных называют обычно их линейным преобразованием (или линейной подстановкой). Мы приходим, следовательно,ктакомуопределению:ЛunеUnы.м. nреобразован.uе.м. н.еuзвестных называется такой переходотстныхчерезn неизвестных х 1 ,... , уn, при которомсистемыYl,У2'новыелинейносх2 •••• ,х n К системеnнеизвестарые неизвестные выражаютсянекоторымичисловымикоэффициентами:х.
=а llУl +al 2Y2+'" +a1nyn, }X~~~2.1~1.+.a~2~2.~ ':: :~2:~n',хn = а n1 Уl + а n2У2 + ' " + аnnуn,(1)90АЛГЕБРАЛинейное преобразование[ГЛ.МАТРИЦ3вполне определяется своей матри(1)цей из коэффициентовтак как два линейных преобразования с одной и той же матрицеймогут отличаться ДРУГ от друга лишь буквами, принятыми для обозначения неизвестных; мы будем считать, однако, что выбор этихобозначений цеЛ,иком находится в нашем распоряжении. Обратно,задавая ПРОИЗВОЛЬНУЮ матрицу n-го порядка, мы сейчас же мож~мнаписать линейное преобразование, для которого эта матрица служитматрицей коэффициентов. Таким образом, между линейными преобnразованиямиcYLЦecTByeTнеизвестныхвзаимноиквадратными матрицами n-го порядкаоднозначноесоответствие,апоэтомувсякомуПОНЯТИЮ, связанному с линейными преобразованиями, и всякому свойству этих преобразований должно соответствовать аналогичное понятие или свойство,ОТНОСЯLЦееся к матрицам.Рассмотрим вопрос о последовательном выполнении двух линейных преобразованиЙ.
Пусть вслед за линейным преобразованием (1)выполнено линейное преобразованиеYl :: bl1 z 1 + b12 Z 2 + ... + b1nzn ,Уз - ЬЗ1Z 1 + Ь З2 Z З + ... + b2n z n ,}• • • • . . . • . . • • • • • • •У n = Ьn1 Zl(2)+ bn2 Z + ... + bnnz n ,2переВОДЯLЦее систему неизвестных УнУз,... ,УnВ системуZl' Z2' ... , Zn;матр:ш,у этого преобразования обозначим через В. Подставляя в(1)выражения для Уl, У2, ••• , у n из (2), мы придем к линейным выражениям для неизвестных Х 1 , Х 2 , ••• , х n через неизвестные Zl, Zз, ••• , zn'Таким образом, результат последовательного выnолненuя двухлuнейных nреобразований неизвестных снова будет линейнымnреобразование м.При м е р.образованийРезультатомпоследовательного+выполнения линейных преХ) =3УI-У2'У! =Х2 =Уl +5У2'У2=4г 1 +222г122'будет линейное преобр азованиеХl =3 (г1 +г2)-Х2=(4г 1 +2z 2)= -21 +г2.(г1+г2)+5 (4г1+2г2)=2121+ 1122'Обозначим через С матрицу линейного преобразования.
ЯВЛЯЮLЦегося результатом последовательного выполнения преобразований (1)и (2), и найдем закон, по которому ее элементы Cjk' i, k = 1, 2, ... , n,§ 13]УМНОЖЕНИЕ91МЛТРИЦвыражаются через элементы матриц А и В. Коротко записывая пре(1) и (2) в видеобразованияnnX i = ~aij'Yi'i= 1,2, ... , п;Yj= ~bjkZk' j=;=1мы1,2, "', п,k=1получимXj = .±ajJ1=1.(± )= ±bjkZk(.±aijbjk)Zk'k=1k=11=1i=l,2, ... ,П.Таким образом, коэффициент при Zk в выражении для Xj, т. е. элемент Cjk . матрицы С,имеет видnCik = ~ aijb jk = a i1 Ь Н;=1эле.мент~tатрицыС,+ a j2.b 2k + ' , . + ajnbnk ;стоящий в Ё-й строке ивен. су.м.ме произведенийстолбце, расоответственных эле.ментов/;,-20 столбl,а .матрицы(3), дающая выражение~zamPU1,bt А иФормулаk-M(3)i-uстрокиВ.элементовматрицы С черезэлементы матриц А и В, позволяет при заданных матрицах А и Всразу написать матрицу· С, минуя рассмотрение линейных преобразований, соответствующих матрицам А и В.
Этим путем всякой пареквадратныхматриц п-го порядка ставится в соответствие однозначноопределенная третья матрица. Можно сказать, что мыопределилив множестве всех квадратных матриц п-го порядка алгебраическуюоперацию;онаназываетсяУ..!tножениОt .матриц, а матрица Спроизведен.ие.м матрицы А на матрицу В:С=АВ.Еще раз сформулируем связь между линейными преобрззованиямииумножениемЛинеЙн.оематриц:flреобразованиенеизвестных, полученное в результате последовательн.020 выполнен.ия двух лин.еЙн.ых преобразований с ..!tampuт,a.ltU А и В, и.меет своей .матрицей коэффициентов ..!ттрицу АВ.При м еры.1)(1 -3) (4·1+9·(-2)4-(-3)+9.1)4 9) (_1 3 '--21 = (-1).1+3·(-2) (-1)-(-3)+3.1 ==(-14-2) ( - ;-3)'6'~~), (-~ ~ ~)=(- ~ ~ ~).4 -1 53)7О-1 3-12 -3 14(712)2_(72), (7 2)_(51 16)1 - 1 1 1 1 - 8 3'92АЛГЕБРА4)[гл.МАТРИЦ3Найти результат ПОС,ЛСД9в..ательного выполнения линейных преобразованийX 1 =5YI-Уj+3УЗ'X2=Yl-2У2'Хз =7У2-У3иУ1 = 2г 1+Zз.У2=Z2- 5z з,Уз=2г 2 •Пеrемножая матрицы, получим:поэтому искомое линейное преобразование имеет вид:+ 10z з ,+ llzз,+Х1 = 10г 15г 2Х 7 = 2г 1 -2г 25z 2 -35z зХз =Возьмемматриц,одинизрассмотренных2),напримеринайдемсейчаспримеровумноженияпроизведение тех же матриц,новзятых в обратном порядке:(-3 1О) ( 2О2 1 .-1 3ОМы видим, что-6произведениежителей, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
