1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 21
Текст из файла (страница 21)
е. всякий элемент матрицы С, расположенный вне главной диагонали, равен нулю. Теорема доказана.§ 16*.Аксиоматическое построение теории определителейОпределитель n·го порядка является числом, однозначно определяемым данной квадратной матрицей л-го порядка. Определениеэтого понятия, приведенное в § 4, указывает правило, по которомуопределитель выражается через элемеН1Ы заданной матрицы. Этоконструктивное определениеским;можно, инымивленных ⧧ 4иможно,словами,6,однако,заменить аксиоматичесреди свойств определителя,указатьтакие,устаночто единственной функциейматрицы с действительными значениями,обладающейэтиldи свойствами, будет ее определитель.Простейшее определение такого рода состоит в использованииразложений определителя по строке.
Рассматриваем квадратные матрицы любых порядков и предполагаем, что всякой такой матрице Мd M , причем выполняются следуюпоставлено в соответствие числощие1)условия:Если матрица Мпервогопорядка, т. е. состоит из одного=элемента а, то d Mа.2) Если первую строку матрицы n-го порядка М составляют эле=менты ан, a 12 , ••• , a 1n и если через Ml' iчена матрица (ll- 1)-го порядка, остающаясяиз М первой строки и i-ro столбца, тоd M :.=a l1 d M• -а 12 d м •+ а1зdм• -..•1, 2, ...
, n,обознапосле вычеркивания+ (_l)n-lаlndмn •106АЛГЕБРА[гл.ЗМАТРИЦdMТогда для всякой .матрицы М ЧllСЛОравноопределителюэтой .матрицы. Мы преДQставляем читателю доказательство этогоутверждения,проводящеесяиндукциейnпаииспользующее§ 6.результатыМного более интересны другие формы аксиоматического определенияопределителя,порядкаnиотносящиесяимеющиевв§ 4крассмотрению одногопростейшихкслучаю лишьсвойствопределителя.из такихданногоМыdM ,приступимсейчасопределений.Пусть всякой квадратной матрице М n-гов соответствие числоодногосвоей основе некоторые из установленныхпорядкапоставленопричем выполняются следующие условия:l.
Если одна из строк -А-Еатрицы. М у.множа~тся на число k,то числоdMтакже У-А-tножается наk.Число d M не .лtенлется, если к одной из строк -А-Еатрицы Мnрибавляется другая строка этой .матрицы.11.Ш. Если Е-единичная .матрица, то d E = 1.Докажем, что для любой -А-ттрицы М число d M равноопределителю этой -А-Еатрицы.Выведем сначала из условий l-Ш некоторые свойства числааналогичные соответствующимЕсли(1)однаизстроксвойствамdM ,определителя.-А-tатрицы М состоитиз н-улей, тоdM=O.В самом деле, умножая строку, состоящую из нулей, на число О,мы не меняем матрицу, но, ввиду условия J, число d M приобретает множитель О. ПоэтомуdM=O.dM=O.(3)ЧислоdM~e-А-zеняется, есликi-aстроке.матрицы Мnриоавляется ее J-Я строка, j =1= i, у.множенная н-а число k.Если k= О, то все доказано. Если же k =1= О, то умножаем j-юстроку на k и получаем матрицу М', для которой, ввиду условия 1,dM,=kd M • Затем к i-й строке матрицы М' прибавляем ее j-юстроку и получаем матрицу М", причем, ввиду условия ll, dM"= dM"Наконец, умножаем j-ю строку матрицы М" на число k- 1 • Мыприходи м К матрице ArI"', которая в действительности получена из Мпреобразованием, указанным в формулировке доказываемого свойства,причемdm",=k-1dм,,=k-1dм'= k-1.kdм=dм ·(3) Если строки -А-tатрицы iИ линейно зависи.мы, то dм = О.Действительно, если одна из строк, например i-я, будет линейной комбинацией других строк, то, применяя HeCKO~ЬKO раз преобразование (2), можно i -ю строку заменить строкой из нулей.Преобразованиества (1) dM=O.(2)неменяет_числаd м'а поэтому ввиду свойАКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОFНИЕ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ§ 16](4)107Если i-я строка матрицы М является СУ.АtМОЙ двухвекторов ~ и у и если матрицы М' и М" получены из матрицы Мзаменой еестроки соответственно векторами ~ и у.
тоi-uв самом деле, пусть S будет система всех строк матрицы М,кроме i-Й. Если в S существует линейная зависимость, то линейнозависимысвойствустрокикаждойиз(3), d M = dM' = dM' =матриц М, М' и М", а поэтому, поО, откуда следует справедливостьв этом случае доказываемого свойства. Если же системаn-l вектора, линейно независима,результаты § 9, ее можно дополнить некоторымщая измальной линейно независимоfi системыто,какS,состояпоказываютвектором а до максивекторов n-мерного векторного пространства.
Через эту систему можно линейно выразить векторы р и у. Пусть вектор а входит в эти выражении с коэффициентами k и, соответственно, 1; в выражение дли вектора ру, т. е.+для i-й строк!! матрицы М, вектор а будет входить, следовательно,+с коэффициентом k1. Матрицы М, М' и М" можно теперь преобразовать, вычитаи из их i-x строк некоторые линейные комбинации других строк так,ветственно векторыматрицу,(kчто их i-ми строками будут служить соот+1) а,ka и la. Поэтому, обозначая через МОi-fi строки векполучающуюся из матрицы М заменой еетором а, и учитывая свойстваЭтим свойство(4)(2)и1,мыприходи м К равенствам:доказано.(5) Если MampUl,a М получена из .fzатрицы М транспозициейдвух строк, то dM =-d м 'Пусть, в самом деле, в матрице М нужно переставитьстрокис номерами i и J. Этого мржно достичь цепочкой следующих преобра"30ваниfi: сначала к i-й строке матрицы М прибавляем ее J-юстроку и получаем матрицу М', пручем, по условию 11, d M , = d M •Затем из j-fi строки матрицы М' Вhlчитаем ее i-ю строку и приходим к матрице ми, для которой, ввиду свойства (2), будет d M " = d M ,;J-Я строка маТРИЦhl М" будет отличаться знаком от i-й строкиматрицы М.
Прибавим теперь к i-й строке матрицы М" ее j-юстроку. для матрицы М"', которую мы получим этим преобразованием, будет, по условию 11, dM'"dM", причем i-я строка этой=матрицы совпадетсj-й строкой матрицыj-ю строку матрицы М'"рице М.на числоПоэтому, ввиду условия-1,1,М.Умножая, наконец,мы придем к искомой матdM =-d м '" =-dм '108АЛГЕБРА{гл.МАТРИЦ3(6) Если ~tampUt,a М' получена из .матрицы М перестановкойстрок, nриче.м i-li строкой .матрицы М', i1, 2, ... , n, служит=а{-ястрока .матрицы М,тоd M ,=±dl\1;при это.м знаf( ПЛЮС соответствует случаю. когда nодстановкачетl-lа.
знак .минус-Ol-laслучаю, "огданечет на.IЗ самом деле, матрица М' может быть получена из матрицы МHel<OTopbIMЧИСJIOМтранспозиций двух строк, и поэтому можно вос(5). Четность числа этих транспозиций опре§ 3, четность указанной выше подстановки.пuльзоваться свойствомделяет, как известно изРассмотрим теперь матриц~ МниеQ= MN§ 13.в смыслекая i-я строка матрицыQ=(a i ), N=числоd Q•Найдем§ 14).Заменимa i1 , a j2 ,все строки матрицынейными выражениями через строки матрицынесколькораз(4).свойствомравно сумме чиселdrМы знаем, что всяявляется суммой всех строк матрицыВJЯТЫХ соответственно с коэффициента~1Ипример,(Ь!) и их произведеМы••• ,Q ихN иполучим,чтоainN,(см., науказанными ливuспользуемсичислоd Q будетдля всевозможных матриц Т следующего вида:'-Н строка матрицы Т, i = 1, 2, ... , п, равна Ctгй строке матрицы N,умноженной на число а/а,.
При этом ввиду свойства (3) можно исl{лючить из рассмотрения все матрицы Т, для которых существуют такиеиндексы i и j, ij, что а{ =Ct j ; остаются, иными словами, лишь=1=такие матрицыТ,длякоторых индексы Ct 1 , а 2 , ••• , а п составлиютпереста новку чисел1, 2, ... , n.дляимееттакойматрицыВвидусвойств1и(6)числоdrвидгде зна к определяется четностью подста новки из индексов. Отсюдамы приходи м к выражению для числаиз всех слагаемых видаdTочевидно, определитель 1МопредеJlения, данного вdQ:после вынесении за Сl{обкиобщего множителиI матрицы§ 4,dNв скобках остаетси,м в смысле конструктивногот. е.d Q = 1М'. d N'(*)Если мы возьмем теперь в качестве матрицы N единичную матрицу Е, то будет Q=M и, по свойству IlI, d N =d e =l, т.
е. длялюбой ~tampUI'bl М U~teem .место равенствоdM=IMI.что и требовалось доказать. О д н о в р е м е н н о е щ е р а 3, пр иJJ а n л а с а, д о к а з а н ат о м бе 3 и с П ол ь 3 О В а н и я т ео р е м ы§ 16)АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙТ е О р е м аО бУ М н О ж е н и и109оп р е д е л и т е л е й: для этого достаточно в равенстве (*) заменить числа d Q и dN определителямисоответствующихЗакончимматриц.этиаксиоматическиен е з а в и с и м о с т и" условийрассмотрения доказательством1-111,т.е.доказательствОМтого,что ни одно из этих условий не является следствием двух других.дляdм =доказательстванезависимостиусловияО для всякой матрицы М n-го порядка.очевидно,выполняться,условие же111dMщих на главной диагоналиняются,а условие11положим, чтоиIэтомdM=1для11положим, что дляэтойматрицы.Условия1Иа111выполуже не имеет места.всякойвыполняться,будут,равно произведению элементов, стояНаконец, для доказательства независимости условиячто11нарушается.Для доказательства независимости условиявсякой матрицы М число111Условияматрицыусловие1М.
Условиянарушается.IIИIII1 положим,будут приГЛАВАЧЕТВЕРТАЯКОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛАСистема комплексных чисел§ 17.На протяжении курса элементарной алгебры несколько раз происходит обогащение запаса чисел. Школьник, при ступающий к изучению алгебры, приносит из арифметики знакомство с положительнымицелымиидробнымичислами.Алгебраначинаетсяпосуществус введения отрицательных чисел, т.
е. с оформления первой средиважнейших числовых систем-всехотрицательныхположительныхивсехболее широкой системысистемы целых чисел,рациональныхцелых чисел и всех дробных чисел,целыхсостоящей изчиселичисел, состоящейнуля,изивсехкак положительных, так и отрицательных.дальнейшее расширение запаса чисел происходит тогда, когдав рассмотрение вводятся иррациональные числа.
Система, состоящая из всех рациональныхивсехиррациональных чисел, называетсясистемой действительных (или веществеНIiЫХ) чисел. Строгоепостроение системы действит~льных чисел содержится обычно в университетскомкурсебыло достаточновматематическогов дальнейшем того знакомстваобладаетчитатель,анализа;предшествующих главахдляис действительнымиприступающийкнас,будетизучениюНаконец, в самом конце курса элементарнойоднако,достаточночислами,высшейкакималгебры.алгебрысистемадействительных чисел расширяется до системы ко.м,nлеКСIiЫХ чисел.Эта система чисел остается для читателя менее привычной, конечно,чем система действительных чисел, хотядаетмногимиоченьхорошиминасамом делесвойствами.Вонаобланастоящей главебудет еще раз с необходимой полнотой изложена теория комплексныхчисел.Комплексные числа вводятся в связи со следующей зада'lеЙ.Известно, что действительных чисел недостаточно для того, чтобырешить любое квадра.ноециентами.Простейшееизуравнениесдействительнымиквадратныхуравнений,некоэффиимеющихкорней среди действительных чисел, естьх 2 + 1 = О;(1)§ 17]СИСТЕМАКОМПЛЕКСНЫХ111ЧИСЕЛтолько это уравнение будет нас сейчас интересовать.
Задача, стоящая перед нами, такова: нужно расширить систему действительн,ых чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (1)уже обладало бы корнем.В Ka~eCTBe материала, из которого будет строиться эта новаясистема чисел,мы возьмемточкиплоскости. Напомним,чтоизображение действительных чисел точками прям'ой .линии (основанноенатом,чтомы получаемвзаимно однозначное соответствиемеждумножеством всех точек прямой и множеством всех действительных'Чilсел, если при заданном на'lале координатиединице масштабавсякой точке прямой поставим в соответствие ее абсциссу)матическииспользуетсястоль привычным,вовсехотделахматематикиичто обычно мы не делаем различиясистеявляетсямежду действительным числом и точкой, его изображающей.Таким образом, мы хотим определить систему чисел, изображающихся Bce.nu точками плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
