1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 25
Текст из файла (страница 25)
р =части(3)n/-г, где в правойстоит однозначно определенное положительное значение корняn-й степени из положительного действительного числа г. С другойстороны, аргумент левой части равенства (3) есть пО. Нельзя утверждать, однако, что пО равно <р, так как эти углы могут в действительностикратнымотличатьсячисла2л.наслагаемое,Поэтому=пОявляющееся<р+ 2kл,некоторымгдецелымk - целое число,откуда0- rpt 2k л;-Об ратно,т оприеслиб ереммыл юб о мц е л о мnn/- (Vчислоk,•гcosrp+?kл;n+ t..SlПrp+2kЛ;)n'п о л о ж и т е л ь н о м и л и о т р и Ц ат е л ь н о м, n-я степень этого числа равна а. Таким образом,iYг (cos ер + i sin <р) = f/, (С05 rp +:kл; + i sin rp +n2k Л;) •Давая(4)различные значения, мы не всегда будем получать разkличные значения искомого корня. Действительно, приk=O, 1,2, ...
, n-1мы получимnзначенийтак как увеличениементана2л;-.которыевсебудутразличными,на единицу влечет за собой увеличение аргу-kПустьnкорня,(5)теперьпроизвольно.kЕслиk = nq+ г,O~г~n-1, тоrp+2kл;='Р+2n(nq+r)nл;rp+2гл;--n-т. е. значение аргумента при нашеммента приk=такоезначениежеqл,отличается от значения аргуг на число, кратное 2л; мы получаем, следовательно,корня,входящем в системуТаким образом,н,ого числа аk+2какпризначенииизвлечение корн,я n-йвсегдаВсе зн,ачения корн,яравном г, т. е.k,(5).ВОЗ.Аtожн,оn-йистеnен,идаетстепениnизразличн,ыхрасnоложен,ын,ако.м.nлексзн,ачен,ий.окружн,остирадиуса {YТaj с цен,тро.м.
в нуле и д~лят ату окружность на nравных частей.§ 19]ИЗВЛЕЧЕНИЕКОРНЯИЗКОМПЛЕКСНЫХв частности, корень n-й степениnтакже имеетразличныхИЗзначений;127ЧИСЕЛдействительного, числадействительныхсредиаэтихзначений будет два, одно или ни одного в зависимости от знака аиn.четностиПри м еры.1) ~=3 ')=V 2-(cos ~Л+2kЛ" ~Л+2kЛ)3+ISШ3;V (32 соsтл+tSiПтЛ~o =V2".( СОБ : +ё sin : ) ;~1 = V 2" ( СОБ Н л + i sin bl л ) ;~2 = V2" (СОБ ~; л + i sin Н л ) •k=O:k = 1:k = 2:n2), /~= уГ =СО51-+ 1 sin ~ =С05Vт+ 2kл2Л+"ЛУ2+.У215ШТ=-21-2-;Rt-'о=соsт3) ~=л+i sin2+ 2kn25R1'1=СОSт Л +;5[,SШТЛ=-\-,о'R. .
Л+2kЛ)- V 8(СОSЛ+ISIПл)=2 (СОБ л+2kлV -8=3+ISШ3;~o =2 ( СОБ~~1 =2 (СОБ tt + i sin+ i sinп)~ ) = 1 + i уз;= - 2;~2=2 (СОБ 5; +i sin ~Л) =1-iКорни из единицы. Особенно важенn-й степени из числа1.Этот корень+уз.случайимеетnизвлечения'значений,корняпричем,ввиду равенства 1 = COS Оi sin О и формулы (4), все эти значенияили, как мы будем говорить, все lCорн.u n-й стеnен.и из едuн.ицы,даются формулойn/11= cos 2kttV1n+ е' sl'n 2kttn "k1= О , 1, ... , n - .(6)действительные значения корня n-й степени из единицы получаютсяиз формулыk=O,изеслиединицыее наn(6)nпри значенияхk=О иn'2'еслиnчетно,ипринечетно. На комплексной плоскости корни n-й степенирасположеныравныхдуг;наоднойокружностиизточекединичного круга и де.1ЯТделенияслужитчисло1.Отсюда следует, что те из корней n-й степени из единицы, которыене являются действительными,тельно действительной оси,расположенысимметричнот.
е. попарно сопряжены.относи128КОМПЛЕКСНЫЕ[гл.ЧИСЛА4Квадратный корень из единицы имеет два значения: 1 и -- 1,корень четвертой степени из единицы--четыре значения: 1, -1,i и -i. для дальнейшего полезно запомнить значения' кубичного2k1t2kл:дЭ(6)корня из е ин,ицы.k=O, 1, 2,гдето будут,ввиду,числа соsт. е., кроме самой единицы,зтакже+.t SШ. 3'сопряженныемежду собою числа81 =2лcos 3+.t .sш4л ~J••2л""3 =4л:82= соsзт.l sш з. = Все зн,аченияКОрЮln-йстеnен,иможн,о получить умн,ожен,ием+.1 -2уз , }-- 211.2-1изуз(7)-2-'КО.,JUlлексногоодного из этихчислазн,аченийана всекорн,и n-й степени из единицы.
действительно, пусть ~ будетодно из значений корня n-й степени из числа а, т. е. ~nсх.,=а е-произвольное. значение корня n-й Степени из единицы,еn =1.Тогда фе)n=~nеn=сх., т. е. ~e также будет одним из значеVa.ний дляединицы,числат. е.сх.,Умножая ~ на каждый из корней n-й степени измы получаемт.е.всеnразличных зн1Iчений корня n-й степени иззначенияэтогокорня.При м еры.
1) Одно из значений кубичного корня из - 8 есть - 2.Два других будут, ввиду (7), числа - 281 = 1-; vз и - 282 = 1 +i уз(см. выше пример 3».2)имеет четыре значения: 3; - 3, 3i, - 3i.V81Произведение двух корн,ей n-й степени из единицы самокорень n-й степени из единицы. Действительно, если е n=есть= 1 и 'I1 n = 1,то (е'l1)nеn'l1n = 1. Далее, число, обратное корню n-й степени изединицы, са.ЛlО есть такой же корень. В' самом деле, пусть е n1.Тогда из е'8- 1 =1 Сllедует 8 n .(е- 1 )n=1, т. е.
(е- 1 )n=1. Вообще,=всякая степень kopl-tЯ n-йcmenel-tUиз едиl-tиllЫ есть также кореньn-й степени из един,ицы.Всякий корень k-й степени из единицы будет также корнем ~йстепени из единицы для всякого 1, кратного k. Отсюда следует, чтосели мы будем рассматривать всю совокупность корней n-й степенииз единицы, то некоторые из этих корней уже будут корнями n'-йстепени из единицы для некоторых n', являющихся делителями числаn.для всякого n существуют, однако, такие корни n-й степени из единицы,которыенеSlвляютсякорнямиизединицыникакой меньшейстепени.
Такие корни называются nервообразн,ымu КОРНЯ.,Jtи n-й степени из единицы. Их существование вытекает из формулы (6): еслизначение корня, соответствующее данному значению k, мы обозначимчерез ek (так что 80= 1), то на основании формулы Муавра (1)k81= в".§ 19!ИЗВЛЕЧЕНИЕКОРНЯИЗКОМПЛЕКСНЫХ129ЧИСЕЛНикакая степень числа 81' меньшая, чем n-я, не будет, следовательно,равна1,т.е.n +.t SIn. n2л:cos 2п81 =является первооб разнымкорнем.Корень n-й степени из единицы 8 тогда и толЬ/со тогда будетnервообразны,м, если его степениличны,т. е.еслии,миk = О, 1, ... , n -1, раз8 k,исчерпываютсявсе1Сорниn-йстепенииз единицы.Действительно, если все указанные степени числа е различны, тое будет, очевидно, первообразным корнем n-й степени.
Если же,например,ek=e lпри O~k<l~n-l, то e l -1 ~ l-k ~ n-l,неравенствкоренье неIt=I, т. е., ввидубудетпервообразным.Число .81' найденное выше, в общем случае-не единственный.первообразный корень n-й степени. Для разыскания всех этих корнейслужитследующаятеорема.Если е есть nервообразный 1Сорень n-й степени из единицы,то число 8 k тогда и толЬ1СО тогда будет nервообразны,м lCорнелn-й степени, если k взаи,мно просто с n.В самом деле, пусть d будет наиБОJJЬШИМ общим делителем чиселkиn.Еслииd> 1k=dk', n=dn',(8 k )n'=8 kn '=8 k 'n=то~8n)k'= 1,т.
е. корень 8 k оказался корнем n' -й степени из единицы.Пусть, с другой стороны, d = 1 и пусть, вместе с тем, число 8 kоказывается корнем т-й степениизединицы,1· ~т< n.ТакимобразомТак как число 8-П е р в о о б раз н ы й корень n-й степени из единицы,т.е.лишьегостепениспоказателями,быть равными единице, то ЧЕСЛОтекает, однако, так как 1 ~ тkm< n,взаимнопростым ивпротиворечиескратнымиn,могутбудет KpaTHЫ~1 n. Отсюда вычто числа k и n не могут бытьпредположением.Таким образом, число первообразных корней n-й-степени из единицы равно числуцелыхположительныхчиселk,взаимно простых с ним.
Выражение для этого числа,значаемого через 'Р(n),меньшихnиобычно обоможно найти в любом курсе теории чисел.Если р- простое число, то первообразными корнями р-й степенииз единицы будут все эти корни, кроме самой единицы. С другойстороны, среди корней четвертой степени из единицы первообраЗ!lЫМИбудутiи-ё, но не1и- 1.ГЛАВАПЯТАЯМНОГОЧЛЕНЫ И ИХ IЮРНИ§ 20 •. Операциинад многочленамиСодержание первых двух глав книги, а именно-теория определите.1СЙ и теориясистем линейных уравнений,непосредственногоалгебры,которое,развитиятоговозниклонаправленияначинаясь от одноговвкачествешкольномуравнения первойкурсестепенис одним неизвестным, вело к системам двух и трех уравнений первойстепени с двумя и, соответственно, тремя неизвестными.
Другое направление в элементарной алгебре, воспринимавшееся тамкак ещеболее значительное, состояло в переходе от уравнения первой степенис одним неизвестнымк произвольному квадратномууравнению сновас одним неизвестным, а затем и к некоторым частным типам уравненийтретьей и четвертой степени. Это направление вырастает в весьмабольшой и содержателыlйй разделвысшейалгебры,посвященныйизучению произвольных уравнений любой n-й степени с одним неизвестным. К этому разделу алгебры, историческиотносятсяглавкак настоящаяглава,так исамомунекоторыеизраннему,дальнейшихкниги.Общий вид уравнения n-й степени (где n-некоторое целое положительное число) естьaoxn +a 1x n - 1 + ...
+а"_lх+а,,=О.Коэффициенты ао, а 1 ,••• ,a"_l'(1)а n этого уравнения мы будем считать произвольными комплексными числами,причем старший lCоэффuцuеllт ао должен быть отличным от нуля.Если написано уравнение (1), то всегда предполагается, что требуется его реш и т ь.
Иными словами, требуется найти такие числовые значения для неизвестного х, которые у д о в л е т в о р я ю т этомууравнению,т.е.послеподстановки вместо неизвестного и выполнения всех указанных операций обращают 'левую часть уравненияв(1)нуль.Uелесообразно, однако, заменить задачу решения уравнения (1)более общей задачей изучения левой части этого уравнения(2)§ 20]ОПЕРАЦИИНАД131МНОГОЧЛЕНАМИназываемой .многОЧлено.At (или nОЛUНО.Atо.At) n-й стеnени от неuзвестного х. Мы выбираем первый из этих терминов; следует твердопомнить, что теперь многочленом называется лишь выражение вида:(2),т. е.лишьсумма цепых неотрицате.'lЬНЫХ степеней неизвестного х,взятых с некоторыми числовыми коэффициентами, а не любая суммаодночленов, как это было в Э.'lементарноЙ алгебре.
В частности, мыне будем считать многочленами такие выражения, которые содержатнеизвестное х с отрицательными или дробными показателями, напри-1мер, 2х 2 --+3,илих1+ 1.Х2илиax- 3 +bx- 2 +cx- 1 +d+ex+fx2 ,жеДля сокращенной записи многочленов будут употреб.'lЯТЬСЯсимволы [(х), g(x),Два многочленаfи т. д.g (х) будут считаться равНЫЛtи (или тоqJ(x)(х) иfждественно равНЫЛtи),(х) = g (х), в том случае, если равны ихкоэффициенты при одинаковых стеI,1енях неизвестного. В частности,никакой многочлен, хотя бы один коэффициент которого О.тlIИчен отнуля,не может быть равным нулю,и поэтому знак равенства, употребляемый в записи уравнения n-й степени(1),не имеет никакогоотношения к определенному сейчас равенству многочленов.
Знаксвязывающий многочлены,всмыспетождественногоТаким образом,спедует в дальнейшем всегдаравенстваэтих=,пони матьмногочленов.на многочлен n-й степени(2)следует смотретькак на некоторое формальное выражение, вполне определяемое набором своих коэффициентов ао, а 1 ,•.. , а n ,где аоэтих слов будет выяснен много позже, в гл.мимо записи многочлена в виде(2),=1= О.10.Точный смыслЗаметим, что, пот. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
