1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Словесные выражения для формул умножения и делении былибы слишком громоздкими,формулчто еенети мы их ненеобходимостиможно вывести, умножаядроби начисло,даем. Последнююзапоминать;следуетлишьизЧИСJIитель и знаменатель заданнойотличающееся от знаменателялишьзнаком примнимой части.Действительно,а+ ыc+di= (а +Ы) (c-di) = (ас + bd) +(Ьс - ad) i(c+di)(c-dl)этихпомнить,c2 +d 2=ac+bdc2 +d 2+ bc-ad i.c2 +d2116КОМПЛЕКСНЫЕ[гл.ЧИСЛА4При м еры.1) (2+5i)+(1-7i)=(2+1)+(5-7)/=3-2/;2) (3-9i)-(7 + 1);= (3-7) (-9- 1) 1= -4-lOi;З) (1 + 2/) (3-i)= [1.3-2· (-I)J + [1.(-1) + 2.3] 1 = 5+ 5/;4) 23+1 = (23+i) (3-/) = 70-201 =7-2i.3+1(3+/) (3-/)10+Изобра lКение комплексных чиселкестественномуточкамиплоскостижеланию иметь геометрическоеприводитистолкование операциll, определенных для комплексных чисел.
Для сложения такоеИСТО,1кование может быть получено без затруднений. Пусть данычислаточкиа= а +Ы(а, Ь) иэтих отрезках,той= с + di.Соединяемотрезками сначаломи(с,d)~как на сторонах,вершинойэтогосоответствующиепараллелограмм (рис.параллелограммаимкоординат и строим набудет,2).Четверочевидно,точкаJIf~1Ii::2::=--_..I:....II-О С'-аРис.(а__ да+ с, ь + d).метрическиРис.2.3.Таким образом, сложение комплексн-ыхвыполняетсяправилу'10по правилу сложения векторов,Ичиселпараллелограмма,геот.е.выходящих из начала координ-ат.=далее, число, противоположн-ое числу ааЫ, будет точкой комплексн-ой плоско=+сти, симметричн-ой с точкой а оtnносительн-он-ачала координ-ат (рис. 3).
Отсюда без тру даможет быть получено геометрическое истолкосеваниевычитания.Геометрический смысл умножения и деления"коМплексныхтого,Рис=4.какчиселмыновую запись,нами до сих+станетвведемдлялишьпослекомплексныхяснымчиселотличную от употрсблявшейсяпор.ЗаписьчислааввидеааЫ использует декартовы координаты точки, соответствующейэтому числу. Положение точки на плоскости вполне определяется,однако, также заданием ее полярных координат: расстояниякоординат дооси(рис.абсцисс4).точки и углаи<рмеждунаправлением изположительнымначалаr от началанаправлениемкоординат на этуточку§ 18]117ДАЛЬНЕ"ШЕЕ ИЗУЧЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛЧисло г является неотрицательным действительным числом, причем оно равно нулю ЛИШЬ для точки о.
Для а,лежащего на действительной оси, т. е. являющегося действительным числом, число гбудет абсолютной величиной а, поэтому и для любого комплексногочисла а его иногда называют абсолюmн.оЙ велu'f,Uн.оЙ числа а; чаще,впрочем, число г называют модулем числа а. Обозначается оночерезlal.Уголчатьсябудетq>arg а 1).значения,какжитеЛЬНhlеназыватьсяУголположительные,углыаргумен.mомчислааиобознаq> может принимать любые действительныедолжнытакиотрицательные,отсчитыватьсяпротивпричемполочасовой стрелки,однако, если углы отличаютсядруг от друга на 2л или число,кратное 2л, то соответствующие им точки плоскости совпадают.Таким образом аргумент комплексного числа а имеет бесконечномного значений, отличающихсядруг от друганацелыекратныечисла 2л; из равенства двух комплексных чисел, заданных их модулямии аргументами,можно ЛИШЬзаключить,следовательно,чтоаргументы отличаются на целое кратное числа 2л, в то время какмодули равны.
Аргумент не определен лишь для числа О; это число101 =вполне определяется, однако, равенствомАргументкомплексногочислао.является естественным обибщением знака действительного числа. В самомделе, аргументположительного действительного числа равен О, аргумент отрицательногодействительного числакоординатвыходятдвумя символамиравен л;лишь+два-,инаправлений, выходящихуже углом,тогдаизчаютсяонилениемдействительной оси.точекследующаянакакисвязь,наиихможноимиполярныминачаларазличатькомплексной плоскоститочки О, бесконечносоставляемы\!Между декартовымиствуетна действительной оси И3направлениямного и разлис положительнымкоординатамисправедливая при любомнаправточкисущерасположенииплоскости:а= г COS q>,Ь= г sin q>.(1 )Отсюда+ Va +b2.Г=Применим формулыа=а+ Ы:а= а(1)ааОбратно,.г о (cos q>o=пустькпроизвольному+Ы =или=г cos q>+ (г sin q»комплексному числуi,+ i sin q».а = а + Ы допускаетг (cos q>числогде г о+ i sil1 q>o),(2)2иq>o -некоторые(3)записьвидадействитеЛЬНhlе1) Мы откззываемся, следовательно, от обычных названийкоординат точки-полярный радиус и полярный угол.полярных118КОМПЛЕКСНЫЕчисла, причемг о =+ Va 2г Q ~ О.+b 2 ,T.
е.,(гл.ЧИСЛА4Тог да г о COS qJo = а, г о sin qJo = Ь,откудаввиду (2),r o =lal. Отсюда, используя (1), получаем: cosqJo=COSqJ, sinqJo=sinqJ, т. е. qJo=arga. Таким образом,всЯ/сое 1Со.мnле1Ссн.ое число а одн.озн.аttн.ы.м образо.м записывается8 виде (3), где г= I а 1, qJ = arg а(причем аргументопределен,qJконечно, лишь С точностью до слагаемых, кратных 2n). Эта записьчисла а называется его тригон.о.метричес1СОЙ фор..ftoЙ и будетдальшевесьмачастоиспользоваться.Числаn.n )а = 3 ( cos 4 + t sin т'1 9 . 19"3 n + i sш "3 n~ = cosиV=VЗ[cos ( - ; ) + i sin ( -; )]заданы в тригонометрической q:opMe; здесь I а \ = 3, I ~ 1=1, I V 1= VЗ;n19n (n13 )arga=T'агg~=зп, агgv=-т или агg~=з,агgV=7П •с другой стороны, комплексные числаа'=(-2) (cos ~'(' = 2 (cos~+tsin+ i sin :~),п) .Р.' = 3( cos"32t'~,u =..
2 n ) •п-! sш"33"4 n +.t cos 4". 3sшл.даны не в тригонометрической форме. хотя их записи напоминают записьВ тригонометрической форме эти числа записываются так:a'=2(coS(3).~n+isin%n). ~'=З(СОS~П+iSiП: п).о' =cos 4П7Разыскание тригонометрической+ ..формы7I SШ 4Л'числа'('наталкиваетсяна трудность, почти всегда встречающуюся при переходе от обычной записи комплексного числа к тригонометрической 11 обратно: невозможно, кроме немногих случаев, по заданным числовым значениям синуса и косинуса найтиточноиугол,а длязаданного угланаписатьт о ч н ы езначенияегосинусакосинуса.Пусть комплексные числа а и ~ заданы в тригонометрическойформе: a=r(cosqJ+isinqJ), ~=r'(cosqJ'+isinqJ').Перемножимэтичисла:a~=[г+i(COSqJ+ i sin qJ)1,[r' (cosqJ'sin qJ')1 =i cos qJ sin qJ' + i sin <р cos qJ' -= гг' (cos qJ cos qJ'+siпqJ sin qJ'),или(4)§ 18]ДАЛЬНЕЙШЕЕ ИЗУЧЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХЧИСЕЛ119МЫ получили запись произведения a~ в тригонометрической форме,1ар 1= гг',и поэтомуИJШI ар 1= 1 а 11р(5)1,т.
е . .fюдуль произведенияКО.ftnлексных чисел равен произведению модулей сомножителей; далее, arg (ар) =срср' или(a~)=arga+argт. е.аргумент+nроизведенияargр,(6)комплексныхчиселравенсуммеаргументов СО.ftНожителей 1). Эти правила распространяются, очевидно, на любое конечное число множителей. В применении к случаюдействительных чисел формулаЛЮТНЫХ величинЭТИХчисел,а(5) дает известное(6) превращается,свойствоабсокак легко проверить, в правило знаков при умножении действительных чисел.Аналогичные правила имеют место и для частного. действительно, пусть а=г (cos q>i sin ср), р =г' (cos ср' i sin ср'), причем++~=I=O, т. е. г' =1= О.
Тогдаа11 =r (cos <р + i sin <р)-,-, (cos <р' + t sin <р')r (cos <р + i sin <р) (cos <р' - i sin <р')" (cos 2 <р'+ sin2 <р')==!:,(cos q> cos ср' + i sin q> cos ср' - i cos q> sin ср' + sin q> sin ср'),r*fили=Отсюда следует, что\[cos (ср- ср')tI=f+ i sin (ср -ср')].(7)или(8)т.
е. модульчастногодвухкомплексныхчиселравенмодулюделимого, делеННQМУ на модуль делителя; далее, arg ( ~ ),=i )= arg а(9)=ср-ср,илиarg (т. е. аргумент частн,огодвух-arg~,комплексныхчиселnолучаетсnвычитанием аргумента делителя из аргумента делимого.Геометрический смысл умножения и деления выясняется теперьбез затруднений. действительно, ввиду формул (5) и (6), мы полуЧИМ точку, изображающую произведение числа а. на число ~= г' (cosq>'повернем+ i sin ср'),противесли вектор,часовой стрелки=идущий от О к а (рис. 5),на угол ср' =arg~, а затем1) Подчеркнем, что равенство здесь понимается с точностью lJ.Oмого, кратного 2л.слагае120КОМПЛЕКСНЫЕ{гл.ЧИСЛАрастянем этот вектор в "=I~I раз (приа- 1 =,-I,[COS ( - <р)т.
е.a- 1 ,,-1Стоянии(7)следует,что+ i sin (- <р)],la- 1 1=la 1-1, arg (a- 1) = - arga.точкуэто будет,0..;;;,'<1конечно, сжатием, а не растяжением). Далее, изпри а=, (cos(j)+i sin <р)=;60 будет4(1 О)Таким образом, мы получимесли от точки а перейдем к точке а', лежащей н.а расот нуля на той же полупрямой, выходящейизнуля,нсе'------.~--~----~~~осе-1Рис.5.Рис.что и точка а (рис. б)6.1), а затем перейдем К точке, симметричнойс а' относительно действительной оси.Сумму и разность комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, нельзя выразить формулами, подобными формулам (4)н(7).для модуля суммы имеют место, однако, следующие важныенеравенства:lal-I~т.1:;:;; 'a+~ 1:;:;; lal+I~I,е.
'модуль СУ'м'мы двух 1Со,Мnле1СС/-l,ЫХ чисеЛ(11 ),Ме/-l,ьшеили раве/-l,СУ'м'ме .1LOдулеЙ слагае'мЫХ, /-1,0 больше или раве/-l, раЗ/-l,ости этих.нlодулеЙ. Неравенства (11) вытекают из известной теоремы элемен,тарной геометрии о сторонах треугольника ввиду того, что 1 а~ 1+равен,I аlикакI ~ 1.мызнаем,диагоналипараллелограмм<!состоронамиСпециального рассмотрения, которое мы предоставляемчитателю, требует, впрочем, случай, когда точки а, ~ и О1 1=1 1,лежат1 1=1) Тогда и только тогда а'аеСЛIIа1, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
