1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

п о у б ы в а ю Щ и м с т е­п е н я м н е и з в е с т н о г о х, будут допускаться и другие его записи,получающиеся изв о3(2)Р а с т а ю Щ и мперестановкой слагаемых, например, запись, пос т е п е н я мКонечно, на многочлен(2)н е и з в е с т н о г о.можно было бы смотреть и сточкизрения математического анализа, т. е. считать его комплексной функ­цией комплексного переменного х. Следует учесть, однако, что Д в еФу н к Ц и иравныихс ч и т а ю т с язначенияр а в н ы м ипривт о мвсех значенияхЯсно, что два многочлена, равныев указанномс л у '1 а е,е с л ипеременногох.вышеформально­алгебраическом смысле, будут равны и как функции от х.

Обратноебудет доказано, однако, лишь в§ 24.ПОС.'lе этого алгебраическаяи теоретико-функциональная точки зрения на понятие многочленас числовыми коэффициентами на самом деле станут равносильными,пока же мы должныкаждыйпридаетсямногочлена.понятиюраз указывать,Вкакойименносмыслнастоящем и двух следующихпара графах мы будем смотреть на многочлен как на формально-ал­гебраическоевыражение.Существуют, ПОНЯТIIО, многочлены n-й степеIlИ для любого нату­рального ЧИСJJа n. Рассматриван всевозможные такие МНОГОЧJJены,132МНОГОЧЛЕНЫИих[гл.КОРНИ5мы, помимо многочленов первой степени, квадратных, кубичных ит.

д., встретимся и с .мн,огочлен,а.ми н,улевой стеnен,и, т. е.с о т л и ч н ы м и о т н у л я комплексными числами. Число нуль такжебудет считаться многочленом; это будет единственныйстепенькоторогонемногочлен,определена.Сейчас мы определим для многочленов с комплексными коэффи­циентами операции сложения и умножения. Эти операции будут вве­дены но образцу операций над многочленами с действительнымикоэффициентами, известных читатеJJЮ из курса элементарной алгебры.Если даны многочлены ЛХ) итами,записанные дляg(x)с комплексными коэффициен­удобства по возрастающим степеням 'х:!(х)=ао+а 1 х++аn_lхn-l+аnхn,g(x)=bo +b1 x+ ..

,+bS_lXS-l+Ь~S,n;;::=: s, то их су.ммой называется многочленf(x)+g(x)=co+·c 1 x+ ... +Cn_lXn-l+СnХn,и если,например,коэффициенты которого ПОJlучаются сложением коэффициентов много­членов! (х) и g (х), стоящих при одинаковых степенях неизвест­ного,т.е.cj=aj+ bj ,i=O, 1, . ~., n,(3)>причем при ns коэффициенты bs + 1 , bs + 2 , ••• , ЬN следует считатьравными нулю. Степень суммы будет равна n, если n больше s, ноприn= sона может случайно оказаться меньшечае Ь n = -а n .Проuзведен,uеJtn,а именно в слу­g (х) называется многочленd1x+ '" + dn+s_lxn+S-l + dn+~n+S,многочленов ЛХ) иf(x).g(x)=d o+коэффициенты которого определяются следующим образом:dj=~k+Z==1т. е. коэффициентakb z,dji=O, 1, ••• , n+s-1, n+s,есть результат перемножения таких коэффи­циентов многочленов! (х) иgi,d1 =(х), сумма индексов которых равнаи сложения всех таких произведений; в частности,+=(4)do=аоЬо ,aob 1 a1b o, ...

, dn+s= anbs ' Из последнего равенства вытекаетнеравенство dn+s =1= О и поэтому стеnен,ь nроизведен,ия двух .мн,ого­член,ов равн,а cYMJze стеnен,ей этих .мн,огочлен,ов.Отсюда следует, что nроизведен,ие .многочлен,ов, отличн,ых отНУЛЯ, ншсогда н,е будет равны.м н,улю.Какими свойствами обладают введенные нами операции для много­членов? К о м м у т а т и в н о с т ь и а с с о ц и а т и в н о с т ьс л о ж е­н и я немедленно вытекают из справедливости этих свойств для сло­жениячисел, так как складываются коэффициенты при каждойстепени неизвестного отдельно. Вы ч и т а н и е оказывается выполни-§ 20]ОПЕРАЦИИНАДмым: роль н у л я играет число нуль, включенноечленов,а133МНОГОЧЛЕНАМИпро т и в о п о л о ж н ы мдлянами в число много­записанноговышемного­члена I(x) будет многочлен=-/(x)-ао-а 1 х- ...

-аn_lхn-l-аnхn.К о м м у т а т и в н о с т ь У м н о ж е н и я вытекает из коммутатив­ности умножения чисел Ii того факта, что в определении произведени\\многочленов коэффициенты обоих множителей(х) и g (х) исполь­1зуются совершенно равноправным ·образом. А с с о ц и а т и в н о с т ьУ м н о ж е н и я доказывается следующим образом: если, помимо запи­1 (х)санных выше многочленовh(x)=co-l-c 1 x+ •.•и+g (х), дан ещеCt _ 1Xt - 1 +CtXt ,то коэффициентом при x i , i=O, 1, ...

,(f (х) g. (х)] h (х)~а в произведении~ akbt ) С т =(k+l=j~akbtc m ,(ХН- равное ему число~ ak ( ~ Ь/С т ) =изв произведенииk+l+m=if(x)[g (х) hl+т=!k+/=iНаконец,n+s+tCt=FO,будет служить числоj+m=iвытекаетМНОГОчлен~akb/c m•k+l+m=tсправедливостьз а к о Н ад и с т р и б У т и в н о с т иравенства~ (a k+bk)С/~ akc t=k+/=/+k+l=l~ bkc t ,k+l=iтак как левая часть этого равенства является коэффициентом при х'+в многочлеие [/(x)g (х)] h (х), а правая часть- коэффициентомпри той же степени неизвестного в многочлене(х) h (х)g (х) h (х).1+Заметим, что роль е Д и н и Ц ы при умножении многочленов играетчисло1,рассматриваемое как многочлен нулевой степени. С дру[·ойстороны, .ЮlогочленНЫ.А: .Аllfогочлено.AtI(x)1-1 (х),тогда и толысо тогда обладает обрат­f(x)/- 1 (х) = 1,еслиеслиI(x)I(x)(5)является .Atногочлено.At нулевой степени.

Действительно,является отличным 0'1' нуля числом а, то обратным много­членом служит для негочислоа- 1 . Если же I(x)имеет степеньn;:;:,: 1,1-1то степень левой части равенства (5), если бы многочлен(х) существовал, была бы не меньше n, в то время как справастоит многочленнулевой степени.Отсюда вытекает, что для умноженияоnерация-деление-не.Аtн,огочлен,ов обратнаясуществует.

В этомотношениисистемавсех многочленов с компл\)ксными коэффициентами напоминает СК­стему всех целых чисел. Эта аналогия проявляется и в том, что для134МНОГОЧЛЕНЫИИХ[гл.КОРНИмногочленов, как и для целых чисел, существует а л г о р и т м5Д е л е­Н и я с о с т а т к о м. Этот алгоритм для случая многочленов с дей­ствительными коэффициентами известен читателю еще из элементар­ной алгебры. Так как,однако,мырассматриваемтеперьслучаймногочленов с комплексными коэффициентами, следует еще раз датьвсе относящиеся сюдаформулировкиДля любых двух .многочленов.мliогочлены1 (х)ипривестидоказательства.и g (х) .можно найти та"иеq (х) и r (х), что1 (х) = g (х) q (х) + r(х),(6)=nрuче.Аt степень r (х) .меньше cmenenu g (х) или же r (х)О.Мliогочлены q (х) и r (х), удовлетворяющие ато.му условию, опре­деляются однозначно.Докажем сперва вторую половину теоремы.

Пустьеще многочленыq (х)иr (х),такжесуществуютудовлетворяющиеравенствуrI(x) = g (х) q (х) + (х),(7)причем степень г(х) снова меньше степени g (х) 1). Приравниваядруг другу правые части равенств(6)и(7),получим:g(x) [q (x)-q (х)] = r (х)-г (х).Степень правой части этого равенства меньше степениg (х),степень жепени g(x).-q (х) =1= О больше или равна сте­Поэто~ должно быть q (х) -q (х) = О, т. е. q (х) - q (х),а тогда иr (х) = r (х), что и требовалось доказать.левоЙ части была бы при q (х)Переходим к доказательству первоймногочленыn< s,I(x)то можноиg(x)половины теоремы. Пустьимеют соответственно степениположитьq (х)= О,то воспользуемся тем же методом,r (х)= 1 (х).nиs.ЕслиЕсли же n;;;:.

s,каким в элементарнойалгебрепроизводилось деление многочленов с действительными коэффициен­тами, расположеН\:IЫХ по убывающим степеням неизвестного. ПустьI(x) = аохn + а 1 хn - 1 + ... + а n _ 1 х+ а n ,g(x)=box.l'+b1X.l'-1+ ••• +bs_1x+b. . ,ао =1= О,Ь о =1= О.Полагаяf(x) -~: хn -.1' g (х) = /1 (х),(8)мы получим многочлен, степень которого меньше n. Обозначим этустепень через n 1 , а старший коэффициент многочлена(х)-через a 1o 'Положим, далее, если все еще n 1 ;;;:.

S,1111 (X)_ab10 Xn,-S g (х) =/2 (х),о1) Или же ,(х) =0. в дальнейшем этот случай не будет оговариваться.ДЕЛИТЕЛИ.§ 21]135НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬобозначим через n 2 -степень, а через а 20 -старший коэффициентмногочлена /2 (х), ПО.'10ЖИМ затемит.Д.Так как степени многочленов> n 2 > ... , ТОкоторогоnkменьшеS,послевается. Складывая теперь равенстваааf(x)- ( ~Хn-s+....!QХn,-s+•..ЬОт.е./2/k (х),многочленастепень/1(х),(х), ... убывают, n> n 1 >мы дойдем после конечного числа шагов до такогоЬОчегоa"_l ' о+-Ьо1 ), мы получим:Xnk-'-s ) g(X)=/k(X),многочленыдействительно удовлетворяют равенствусамом деле меньше степенинанаш процесс останавли­(8), (81)' ... , (8 k -(6),причем степеньr(х) наg (х).Заметим, что многочлен q (х) называется частnым от деления / (х)g(x), а г(х)-остатком от этого деления.Из рассмотрения алгоритма деления с остатком легко устанавли­вается, что если/ (х) u g (х) являются .ftflогочлеnамu с действитель­коэффuцuеnтамu, то коэффuцuеnты всех мnого'/леnов/1 (х),(х), ...

, а поэтому u коэффuциеnты частnого q (х)и остатка r (х) будут деЙствuтеЛЖЫ.JtU.flblMU/2§ 21.Делители. Наибольший общий делительПусть даны ненулевые многочлены /(х) и «:р (х) с комплекснымикоэффициентами. Если остаток от деления /(х) на <р (х) равен нулю,т.

Характеристики

Список файлов книги