1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 29
Текст из файла (страница 29)
к о э Ф фи ц и е н т bk П О Л У Ч а е т с я у м н о ж е н и е м пр е Д ы-§ 22]дущ еКорниrО145МНОГОЧЛЕНОВк О э Ф Ф п ц.и е н т авеТСТВУlOщегоbk - 1 н а с и при б а в л е н и е м с о о ткоэффициента a k ; наконец, r=cbn_1+a mт. е. и остаток г, равный, как мы знаем, [(с), получается по этому жезакону. Таким образом, коэффициенты частного и остатокможнопоследовательно получать при помощи однотипных вычислений, которыерасполагаютсявсхему,какпоказываютследующиепримеры:1. Разделить f,(x)=2x 5 -х 4 -3хЗ +х-3 на х-3.Составим таблицу, в которой над чертой расположены коэффициентымногочлена f (х), под чертой-соответствующие коэффициенты частного иостаток, последовательно вычисляемые, а слева сбоку-значение с в данномпримереl2-1-3 О1-313 2,3·2-1 =5,3·5-3 = 12,3·12+0 =36,3·36+ 1 = 109,3·109-3=324'Таким образом, искомое частное будетq (х)= 2х 4 + 5хЗ + 12х 2 + 36х + 109,1а остаток г = (3) = 324.2. Разделить t(x}=x 4 -8x3 +x2 +4x-9 на-8-91410-6x+l.-9-3.Поэтому частное будетq (х) = х З -9х 2а остаток+ 10х-6,r=t(-I)=-3.Эти примеры показывают, что .метод Горнера .может бытьиспользован также для быстрого вычисления значения .многочленапри данно.м значениu неuзвестного.Кратные корни.
Если с-корень многочлена [(х), т. е. [(с)=О,то [(х) делится, как мы знаем, на х- с. Может оказаться, чтомногочлен [(х) делится не только на первую степень линейногодвучлена х - с, но и на более высокие его степени. Во всякомслучае найдется такое натуральное число k, что [(х) нацело делитсяна (X_C)k,110 не делится на (X_C)k+ 1. Поэтомуf(x)=(X-С)k<р (х),где многочлен <р (х) на х-с уже не делится, т. е. число с своимкорнем не имеет. Числоkназывается кратностью корня с в многочлене [(х), а сам корень с-k-кратны.м корне.м этого многочлена.Если k= 1, то говорят, что корень с-простой.Понятие кратного корня тесно связано с понятием ПРОИЗВОДно/tот многочлена.
Мы изучаем, однако, многочлены с любыми комплексными коэффициентами и поэтомунеможем просто воспользоваться понятием производной, введенным в курсе математическогоанализа. То, что будет сказано ниже, следует рассматриватькак146МНОГОЧЛЕНЫ ИИХ[гл.КОРНИ5независимое от курса анализа оп р е Д е л е н и е производной МНОГОчлена.Пусть дан многочлен n-й степени[(x)=aoxn+a1x n- 1+ ...
+an_1x+anс любыми комплексными коэффициентами.первой производной) называется МНQгочлен[' (x)=naoxn-1ЕгоnроuзводНойстепени(или(n-1 )-й+ (n-1) а 1 х - + ... + 2а n _ 2 х +an - 1.n2Производная от многочлена нулевой степени и от нулясчитаетсяравной нулю. Производная от первой производной называется второй производной отмногочлена [(х) и обозначаетсячерез[" (х)и Т. д. Очевидно, что[<n> (х) =и поэтому[(n+1J(x)=O,n!аот. е.
(n+1)-я nроuзводная от .многочленаn-й стеnени равна нулю.Мы не можем пользоваться в нашем случае многочленов с комплексными коэффициентами свойствами производно~ доказаннымив курсе анализа для многочленов с действительными коэффициентами,и должны, используя лишь данное выше определение производной,снова эти свойства доказать. Нас интересуют следующие свойства,являющиеся, как говорят, формулами дифференцирования для суммыипроизведения:([(х) +g(x»'=1' (х) +g' (х),(f (х). g (х»' =[(х) g' (х)+[' (х) g(x).(4)(5)Эти формулы легко проверить, впрочем, непосредственным подg (х) два ПРОИЗВО.'Iьных многочленасчетом, беря в качестве [(х) ии применяя данное выше определение производной; эту проверку мыпредоставимчитателю.Формула (5) без труда распространяется на случай произведениялюбого конечного числа множителей, а поэтому обычным способомможет быть выведена формула и для производной от степени:(fk (х»' = kfk- 1 (х) [' (х).(6)Нашей целью является доказательство следующей теоремы:Если число с является k-кратныя корнея яногочлена !(х),то при k> 1 оно будет (k-1 )-кратныя корнея первой производной этого .многочлена; если же k= 1, то с не будет служитькорне.лt для(х).f'в самом деле, пусть!(X)=(X-С)kqJ (х),k~ 1,(7)§ 23]гдеt:pоснОВНАЯ147ТЕОРЕМА(х) уже не делится на х-с.
Дифференцируя равенство(7),получаеМl/' (x)=(x-c)~t:p' (х) +k (X_C)k-l t:p (х)==(X_C)k- 1 [(х-с) <р' (х) -I-kt:p (х)].Первое слагаемое суммы, стоящей в квадратных скобках, делитсянах-с,автороенах-снеделится;поэтомувсяэтасуммана х-с не может делиться. Учитывая, -что частное от деления f(x)на (X_C)k-l определено однозначно, мы получаем, что (X_C)k- 1является наибольшей степенью двучлена х-с, на которую делитсяf'многочлен(х), что и требовалось доказать.Применяя эту теорему несколько раз, мы получаем, что k-Kpamный корень .многочлена лх) будет (k-s)-кратны.м в s-й производной этого .1ttногочлена (k ~ s) и впервые не будет служитькорне.лt для k-й производной от(х).f§ 23.Основная теоремаЗанимаясь в предшествующем параграфе корнями многочленов,мы не ставили вопроса о том, всякий ли многочлен обладает корнями.Известно, что существуют многочлены с действительнымикоэффициентами, не имеющие действительных корней; х 21-0ДИН+из таких многочленов.
Можно было бы ожидать, что существуютмногочлены,не имеющиекорнейдажесредикомплексныхчисел,особенно если рассматриваются многочлены с любыми комплекснымикоэффициентами. Если бы это было так, то система комплексныхнуждалась бы в дальнейшем расширении. На самом деле,чиселоднако, справедлива следующая о с н о в н а я т е о р е м а а л г е б р ык о м п л е к с н ы хч и с е л:Всякий .1ttногочлен с любы.1ttu числовы.микоэффициентами,степень которого не .1ttеньше единицы, и.меет хотя бы одинкорень, в обще.м случае ко.мnлексныЙ.Эта теорема является однимматематикиинаходитизкрупнейших достиженийприменениянауки.
На ней основана,всамыхвсейразличных областяхв частности, вся дальнейшая теория многочленов с числовыми коэффициентами, и потому эту теорему назы~валираньшевысшей(аиногдаалгебры».не является чистопослеXVIIIГаусса,итеперь)«основнойалгебраической. ВсевпервыееетеоремойтеоремаДоказательства,- а их,доказавшего эту теорему в самом концевесьма много,- принуждены в большейвека, было найденоили меньшейсвойствасвязанныеIназываютВ действительности, однако, основнаямереиспользоватьдействительныхситакназываемыеItомплексныхчисел,топологическиет,е.свойства,непрерывностью.В доказательстве, которое будет сейчас проведено, многочлен(х) с комплексными коэффициентами будет рассматриваться как148МНОГОЧЛЕНЫИих[ГЛ.КОРНИ5коыплексная функция комплексного переыенного х.
Таким образом, хможет принимать любыекомплексные значения, т. е., как говорят,§ 17учитывая изложенный вспособ построения комплексных чисел,переменное х изменяется на ко.мnлексноЙ плоскости. Значенияфункции I(x) также будут комплексными ЧИС.1ами. Можно считать,что эти значения отм~чаютсяплоскости,подобнотомудействительного переменногоотмечаютсянаоднойнавторомкак в случаезначенияэкземпляре комплекснойдействительныхнезависимогофункцийпеременногочисловой прямой (оси абсцисс), а значенияфункции-на другой (оси ординат).Определение непрерывной функции, известное читателю из курсаматематического анализа, переносится и на функции комплексногопеременного, причем в формулировке определения абсолютные величинызаменяютсямодулями.Именно, комплексная функцияI(x)комплексногр переменного хназывается непрерывной в точке хо, если для всякого положительного действительного числа в можно подобрать такое положительноедействительное число б, что, каково бы ни было (вообще говоря,комплексное) приращениевенству 1h 1< б,h,модуль которого удовлетворяет нерабудет справедливым также неравенствоI/(xo+h)-/(хо) 1 <в.Функцияточках1 (х)называется непрерывной, если она непрерывна во всехХо, в которыхмногочлеНОМ,-на всейМногочленnере.менного1 (х)онаопределена,т.
е., еслиI(x)являетсякомплексной плоскости.является непрерывной функцией ко.мnлексногох.Доказате.'1ЬСТВО этой теоремы можно было бы провести так же,как это делаетсявкурсематематического анализа,аименно,зав, что сумма и произведение непрерывных фУНIЩий самипоканепрерывны., и заметив, что функция, постоянно равная одному и тому жекомплексному числу, будет непрерывной. Мы пойдем, однако, инымпутем.докажем сначала частный случай теоремы, а именно случай,когда свободный член многочлена I(x) равен нулю, причем докажемлишь непрерывность I(x) в точке хо=О. Иными словами, мыдокажем следующую лемму (вместоЛе м м а1.hмы пишем х):Если свободный член .ttногоч.tенаl(x)=aox n +a 1 x n - 1 + ...т.
е.1 (О) =О,тодлявсякогоДействительно, пустьнулю:+а n _ 1 х,в> О .можноб> О, что при всех х, для которых1 (х) равен1х 1< б,подобрать такоебудет1I (х) 1<в.§ 23]ОСНОВНАЯ149ТЕОРЕМАЧисло е нам уже дано. Покажем, ЧТО если за ЧИСJЮ б взятьвб= А+в'(1 )то оно будет удовлетворять требуемым условиям.В самом деле,1/ (х) 1.,;; 1ао 11 х , + 1a111 х 'n - 1 + ... + 1а n - 1 11 х 1.,;;.,;; А (/ х ,n + 1 х In - 1 + ... + 1 х 1),Nт.е.( х) I ~ А 1х 1-1 х ,NН--=l-Ixl'1/Так как Iхl<б и, по (1), б<l, то~Ixl-lxl n + 1<1-jxl'l-Ixjипоэтому1/(х )I< ~<~l-I x l1-6-в_А_А+с=в"1---е,А+вчто и требовалось доказать.Выведем теперь следующую фОРМУJ1У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
