1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 33
Текст из файла (страница 33)
е. такой переход откоординаi' х, ук координатам х', у':x=x'·cosa-y' siпа, }у = х'чтовновыхкоординатах(2)sil1 а +у' cos а,уравнениенашейкривой будет иметь«канонический» видA'X'2+C'y'2=D;(3)в этом уравнении коэффициент при произведении неизвестных х'у'равен, следовательно, нулю. Пре'образование координат (2) можноочевидно, как линейное преобразование неизвеt.тных(см. § 13), притом невырожденное, так как определите.'IЬ из егокоэффициентов равен единице. Это преобразование применяется к левой части уравнения (1), и поэтому можно сказать, что левая частьуравнения (1) невырожденным линейным преобразованием (2) превращается в левую часть уравнения (3).Многочисленные приложения потребовали построения аналогичнойтолковать,теориилюбомудляn,случая,когдачислонеизвестныхвместодвухравноа коэффициенты ЯВШIЮТСЯ или действительными, или желюбыми комплексными числами.Обобщая выражение,приходимкследующемустоящее в левой части уравненияпонятию.(1),мы§ 26]ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУКвадратич/1,ОЙназывается сумма,одногоизэтихформойIкаждыйчленнеизвестных,отнеизвестныхnХ1,которой являетсяилиХ2,.•• ,167Х,.или квадратомпроизведением двух разных неизвестных.
Квадратичная форма называется действительnой или КОМnлекс/1,Ой в зависимости от того, являются ли ее коэффициентыдействительными или же могут быть любыми комплексными числами.fСчитая, что в квадратичной формеуже сделано приведениеподобных членов, введем следующие обозначения для коэффициентовэтой формы:коэффициент при Х; обозначимчерезаи, а коэффициент при произведении XiX j для i =1= j - через 2a ij (сравнить с (1 )!).Так как, однако, XiXj=XjXi , то коэффициент при этом произведении мог бы быть обозначен и через 2а ji, т.
е. введенные нами обозначенияпредполагаютсправедливостьравенства(4)a ji = a ij •Член 2aijXix/ можно записать теперь в виде2a ij X i X j = aijXiXjа всю квадратичную формуaijxix/, где i иния от 1 до n:f-B+ ajixjxi ,виде суммы всевозможных членовj уже независимо друг от друга принимают значеnf= ~n~(5)aijXiXji[=1 j=lв частности, приполучается член aи-\~'i= jИз коэффициентов aij можно составить, очевидно, квадратнуюматрицу А = (аи) порядка n; она называется матрицей квадратич/1,ОЙ формыа ее ранг r - ра/1,гом этой квадратичной формы. Если,f,вчастности,ная формаfr = n,т.е.называетсяменты матрицы А,матрица-невырожденная,/1,евырожде/1,/1,ОЙ.то и квадратичВвиду равенства(4)элесимметричные относительно главной диагонали,равны между собой, т.
е. матрицаА-симметрическая. Обратно,для любой симметрической матрицы А n-го порядка можно указатьвполне определеннуюквадратичнуюформу(5)отnнеизвестных,имеющую элементы матрицы А своими коэффициентами.Квадратичную форму (5) можно записать в ином виде, используявведенное в § 14 умножение ПРЯМОУГОЛJ.ных матриц. Условимсясначала о следующем обозначении: если дана квадратная или вообщепрямоугольная матрица А, то через А' будет обозначаться матрица,полученная из матрицы А транспонированием. Если матрицы А и Втаковы,чтоих произведение определено,то имеет место равенство:(АВ)'=В'А',(6)т. е.
матрица, nолуче/1,/1,ая тра/1,СnО/1,ирова/1,ием nроизведе/1,ия, рав/1,ащ;оизведе/1,иlO матриц, nолучаlOщихсятра/1,СnО/1,ирова/1,иемжителей, притом взятых в обрат/1,ОМ порядке.СОМ/1,О168[гл.КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ6в самом деле, если произведение АВ определено, то будет определено, как легко проверить, и произведение В' А': число столбuовматри иы В' равно числу строк матриuы А'. Элемент матриuы (АВ)',стоящий в ее l-й строкеi-Mв j-й строке иистолбuе.j-Mстолбuе,Он равенв матриuе АВпоэтомусуммерасположенпроизведенийсоответственных элементов j-й строки матриuы А и i-ro столбuаматриuы В, т. е.
равен сумме произведений соответственных элементовj-roстолбuаматриuыА' и i-йстрокиматриuыВ'.Этимравенство (б) доказано.Заметим, что -матрица А тогда II толы(о тогда будет CllM.AfетРll'lескоЙ, еСЛll она совпадает со своей mpaHCnOHllpooaHHOU,т.е.еслиА'=А.Обозначим теперь через Х столбеu, составленный из неизвестных.Х являетсянируяэтуматриuей,матрицу,имеющейполучимnстрок иХ'=(Хl' Х 2 ,составленную иа однойJ{вадратичная формасанатеперьввидеодинстолбеu....
,Хn ),строки.(5)с матриuейследующегоА=(alj)можетпроизведениебытьзапипроизведенин:{=Х'АХ.Действительно,Транспо,матриuуАХ будет(7)матриuей,состоящей изодного столбuа:Умножая эту матриuу СЛева на матриuу Х', мы получим «матриuу»,состонщую из одной строки и одного столбuа, а именно правую частьравенства (5).§ 26]ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ формы К КАНОНИЧЕСКОМУ видуЧто произойдет с квадратичной формой/,169если входящие в неенеизвеСтные Х1, Х.. , ••• , Х N будут подвергнуты линейному преобразованиюnXj = ~ QikYk,i= 1, 2, ••• , n,(8)k=lс матрицейQ= (qik)?Будемсчитать приэтом, чтоесли формадействительная, то и элементы матрицыQ должныными.
Обозначаянеизвестных У1, У2,через У столбец изв виде матричного равенства:X=Q~(~(6)Х'=Подставляя... , Уn'(8)запишем линейное преобразованиеОтсюда поfбыть действитель(9)и(1 О)в запись/=(l О)Y'Q'.формы(7)/,получаем:У' (Q' AQ) У,или/= У'ВУ,гдеB=Q'AQ.Матрица В будет симметрической, так как ввиду равенства(6),справедливого, очевидно, ДЛЯ любого числа множителей, и равенстваА'= А,равносильного симметричности матрицы А, имеем:В'=Q' A'Q =Q' AQ=B.Таким образом, доказана следующая теорема:Квадратичная фор.ма от n н,еизвестных, и~tеющая .матрицу А.после выполнения линеЙ/-lого nреобразования неизвестных с .матрицей Q превращается в квадратичную фОР.JtУ от новых неизвестных, nриче.м .матрицей этой фор.мы служит произведение Q'AQ.Предположимтеперь,чтомывыполняемн е вы р ожДе н н оелинейное преобразование, т.
е. Q, а поэтому и Q' - матрицы невырожденные. Произведение Q' AQ пол.учается в этом случае умножением матрицыдует изА на невырожденныерезультатов§ 14,рангматрицы ипоэтому,этого произведениякак слеравен рангуматрицы А. Таким образом, ранг квадратичной фор.мы ng .меняетсяпри выполнении невырожденного линейного nреобразования.Рассмотрим теперь, по аналогии с указанной в начале параграфагеометрической задачей при ведения уравнения центральнойвторого порядка кканоническомупроизвольной квадратичной формынейнымт.е.преобразованиемк такому виду,квидувиду(3),вопроснекоторымсуммыневырожденным ликвадратовкогда все коэффициентыкривойо при ведениипринеизвестных,произведенияхразличных неизвестных равны нулю; этот специал/;>ный вид квадратичной формы называется канонически.м. Предположим сначала, что170КВАДРАТИЧНЫЕквадратичная форма[отn[гл.ФОРМЫнеизвестныхXt, Х2 ,••• ,6Х N уже приведена невырожденным линейным преобразованием к каноническомувиду(11 )где Yt, У2, ••• ,уn-новые неизвестные.
Некоторые из коэффициен-.тов Ь 1 , Ь 2 , ••• , Ь n могут, конечно, быть нулями. Докажем, что числоотличных от нуля коэффициентов вформы [.(11)непременно равно рангу гВ самом деле, так как мы пришли к (11) при помощи невырожденного преобразования, то квадратичная форма, стоящая в правойчасти равенства(11),также должна быть ранга г. Однако матрицаЭТОй квадратичной формы имеет диагональный видО).(>ЬNи требование, чтобы эта матрица имела ранг г, равносильно предположеliИЮ, чт'о на ее главной диагонали стоит ровно г отличныхотнуляэлементов.Перейдем к доказательству следующей о с н о в н о й т е о р е м ыок в а Д р а тич н ыхфор м а х.Всякая квадратичная форма может быть nриведена некоторым невырожденным линейным nреобразованием к каноническомувиду.
Если при этом рассматривается действительная квадратичная форма, то все КОЭффUl,иенты указанного линейного nреобразования .АtOжно считать действительными.:1та теорема верна для случая квадратичных форм от одногонеизвестного, так как всякая такая форма имеет вид ах 2 , являющий~яканоническим. Мы можем, следовательно, вести доказательство индукцией по числу неизвестных, т. е. доказывать теорему для квадратичных форм отсменьшимnчисломнеизвестных, считая ее уже доказанной для формнеизвестных.Пусть дана квадратичная формаnn(12)f=LLaijxixJ1=1 J=1nотнеизвестных Xt, Х2, ••• , Х n ' Мы постараемся найти такоеневы рожденное линейное преобразование, которое выдеlIИЛО бы изквадрат одного из неизвестных, т.
е. привело быffк виду суммыэтого квадрата и некоторой квадратичной формы от остальныхнеизвестных. Эта цель легко достигается в том случае, если средиfкоэффициентов ан, a2~, ••• , а nn , tтоящих в матрице формынаглавной диагонали, есть отличные от нуля, т. е. если в (12) входит§ 26]ПРИ ВЕДЕНИЕ КВАДРА тично1i формы к КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУс отличнымотнулякоэффициентомквадрат171хотя бы ОДНОГО изXi•Пусть, наПРИ.l1ер, а11 =j:: О. Тогда, как легко проверить, выраже-неизвестныхние a~ll (а11Х1+ а12 Х2 + ...
+ а1nхn)2, являющееся квадратичной формой, содержит такие же члены с неизвестным Х1, как и наша формаапоэтому/.разность/ - a~/ (а11Х1+ а12Х2 + ... + а1nхn)2 = gбудет квадратичной формой, содержащей лишь неизвестные Х2, • •• 'Хn 'но не Х1. ОтсюдаI = a~/ (а11 Х 1 + aJ2x2 + ... + а1nхn)2 + g.Если мы введем обозначенияпри1=2, 3••.. , n,(13)тополучим( 14)где gбудет теперь квадратичной формой от неизвестных У2, Уа, •••• У n'Выражение (14) есть искомое выражение для формы /, так как онополучено из(12)невырожденным линейным преобразованием, а именнопреобразованием, обратным линейному преобразованиюимеетсвоимЕслиопределителемжеимеютпредварительноместонужноанипоэтомуравенствасовершитьнеа11=а22= ••• =аnn=О,вспомогательноеTal'должны бытькак среди коэффициентов в записиотличныеотнуля,- иначе нечеговать,- то пусть, например, а12 =j:: О, т.
е.I(12)/квадратовэтой формыбыло бы доказыявляется суммой член'а2а1гХ1Х2 и членов. в каждый из которых входитнеизвестныхтолинейное преобразование, приводящее к появлению в нашей форменеизвестных.которое(13),вырождено.хотя бы одно изХз,••• , Х n 'Совершим теперь линейное преобразованиеХ 1 =Z1-Z2'Оно будетневырожденным,В результате этогоприметX 2=Z1 +Z2'такXi=Ziкак1 -111ОООООО1ООО Опреобразованияпри i=3, ••• ,имеетn.(15)определитель=2=j::0.член2а 12 Х 1 Х анашейвид2а'2ХIХ2=2а12 (Zl-Z2) (Zl +Z2)= 2a12z~- 2a 12 z:,формы172КВАДРАТИЧНЫЕт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
