1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 34
Текст из файла (страница 34)
е. в формеквадратыfсразу[гл.формыпоявятся, с ОТЛИЧНЫМИ от нулядвух6коэффициентами,неизвестных, ПРjlчем они не могут сократитьсяни с одним из остальflых членов, так как в каждый из этих последнихвходит хотя бы одно из неизвестных Zз,димсявусловиях••• , zn' Теперь мы нахоуже рассмотренного выше случая, т.
е. еще однимневырожденным линеЙНЫ1\! преобразованием можем привести формук видуная1(14).Для окончания доказательства остается отметить, что квадратичформа g зависит от меньшего, чем n, числа неизвестных ипоэтому,попредположениюиндукции,преобразованием неизвестных У2' Уз,некоторым••• ,невырожденныму~приводится К каноническому виду. Это преОбразование, рассматриваемое как (невырожденное, как легко видеть) преобразование всехnнеизвестных, прикотором Уl остается без изменения, приводит, следовательно,к каноническому виду.
Таким образом, квадратичная формаили тремя невырожденными линейнымиприводитсяк(14)двумяпреобразованиями, которыеможно заменить одним невырождеjlНЫМ преобразованиемведением,f-их произвиду суммы квадратов неизвестныхс некоторыми коэффициентами. Число этих квадратов равно, как мы знаем,рангу формы г. Если, сверх того,квадратичная формаfдействитакк этому виду, будуттельная, то коэффициенты как в каноническом виде формыИ в линейном преобразовании, приводящемf1,действительными; в самом деле, и линейное преобразование, обра гное (13), и линейное преобразование (15) имеют действительныекоэффициенты.Доказательство основной теоремы закончено. Метод, использованный в этом Доказател.ьстве, может быть применен в конкретныхпри мерахдля действительного при ведения квадраТJ{ЧНОЙ формык каноническому виду. liужно лишь вместо индукции, которую мыИСпользовалинымвышев доказательстве, последовательно выделять изложенметодомПри м е р.квадратынеизвестных.Привести к каноническому виду квадратичную форму(16)Ввиду отсутствия в этой форме квадратов неизвестных мы выполнимсначала невырожденное линейное преобрззованиеXl=Yl-У2'с матрицейА=послечего~2=Yl+Y2'(1-111ООО)ОХз=Уз•1получим!f=2у~-2у:-4Уlуз-8У2УЗ'Теперь коэффициент при Y~ отличен {)т нуля.
и поэтому из нашей формыможно выделиtь квадрат одного неизвестного. ПолагаяZl=2Yl-2уз.Z2=Y2' Zз=Уз.§ 261ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К кАнОНИЧЕСКОМУ нилу173т. е. совершая линейное преобразование. для которого обратное будет иметьматрицу-.!.. О 1 )В= ( ~ 1 ОО Омы приведемfк виду12f ="22.Пока'1выделилсялишьсодержит произведениенулю коэффициентаквадратдвухпри2222-еще8Z2 2з·-неизвестногодругих2:.222з-г1.неизвестных.таккак формаИспользуяраз применим изложенныйещенеравенствовыше MeTO~.Совершая линейное преобразование(2=-2z 2 -4z з •t1=21.t з =2з.для которого обратное имеет матр ицуС= (1 О О)0-;-2 ,Оfмы приведем, иаконеI'l:. формуО1к каноническому12f=7j t 1-'21 t 22-виду+ 62t зЛинейное преобразование, приводящееиметь своей матрицей произведение(17)(16)сразук виду(17),буд~т~ ~(ABC~ t -~МожноИиепосредственноiiподстановкой(так как определитель равенХ1-проверить.чтоневырожденное~) линейное преобраЗ0вание11='2 t. + '2 t2 +3t з •1X2=-Z tl]-2' t 2 -t з •Хз =превращает(16)в(17).Теория приведения квадратичнойфОРМЫ к каноническому видупостроена по аналогии с геометрической теорией центральных кривыхвторого порядка,но не может считатьсяобобщением этой последней теории.
В самом деле, в нашей теории допускается использование174КВАДРАТИЧНЫЕлюбыхневырожденныхлинейныхприведение кривой второго[гл.ФОРМЫ6преобразований, в то время какпорядкакканоническомувидудостигается при мене ни ем линейных преобразований весьма специальноговида(2),являющихсявращениямиплоскости. Эта геометрическаятеория может быть, однако, обобщена на случай квадратичных формотnнеизвестных с д е й с т в и т е л ь н ы м и коэффициентами. Изложение этого обобщения, называемого при в е д е н и е м к в а д р атичных форм к главным осям, будет дано в гл. 8.§ 27.Закон инерцииКанонический вид, к которому приводится данная квадратичнаяформа, вовсе не является для нее однозначно определенным: всякаяквадратичная форма может быть приведена к каноническому видумногими различными способами.
Так, рассмотренная в предшествующем параграфеквадратичнаяформаf=вырожденным линейным преобразованием2Х 1 Х 2-6х2хз+ 2ХЭХlне=t 1 +3t 2 +2t з ,Х2 = t 1 - t 2 - 2t з ,Х1Хз=приводитсяКканоническомуt2видуf= 2t~ +6t~ -8t;,отличномуотполученногоВозникает вопрос,ранее.что общегоу техразличных каноническихквадратичных форм, к которым приводится данная формавопростесносвязан,какмыувидим,с такимвопросом:f? Этотпри какомусловии одна из двух данных квадратичных форм может быть переведена в другую невырожденным линейным преобразованием? Ответнаэтивопросызависит,однако,от того,рассматриваются ли комплексные или действительные квадратичные формы.Предположим сначала, что рассматриваются произвольные к о мпЛ е к с ныеквадратичные формы и, вместе с тем, допускается употребление невырожденных линейных преобразований также с произвольными комплекснымиквадратичная формаотfкканоническомукоэффициентами.n неизвестных,Мы знаем, что всякаяимеющая ранг г, при водитсявидуf= CIY~ + C2Y~ + ...где все коэффициенты С 1 , С 2 ,+ СгУ;,••• , С , отличны от нуля.
Пользуясьтем,что из всякого комплексного числа извлекается квадратныйкорень, выполним следующее невырожденноелинейное преобразование:Zj=~Yi при i=l,2, ... , г; Zj=Ylприj=r+l, ... , n.§ 271ЗАКОН1 к виду1= z~+z~+ ... +Z~,Оно приводит формуназываемомун,ор.мальн,ы.м;это-простовестных с коэффициентами,Нормальныйвидмальному видуимеюта затемвание,(1)rrквадратовне излишь отрангаформыrт. е. всеj,при водятся к одному И тому- же норЕсли, следовательно, формыодинаковыйg,в(1).(1)суммаравными единице.зависитквадратичные формы рангастных175ИНЕРЦИИ"рангтоможноиjgотnперевестинеизвеjв(1).т.
е. существует невырожденное линейное преобразопереводящееfвg.Так как, сдругойстороны, никакоеневырожденное линейное преобразование не изменяет ранга формы,томыДвеприходи мКGJIедующему1Со.мnле1Ссныерезультату:1Сваоратuчн,ыефор.мыnотн,еuзвестныхтогда и толь1СО тогда nереводятСfl друг в друга l-teвырожден,н,ы.мuлuн,ейны.ми nреобразован,Ufl.мu С 1Со,fftnле1Ссн,ы""tU 1СОЭффUlщен,та.ми,еслu эти фор.мы u.меют один- и тот же ран,г.Из этой теоремы без тру да вытекает, что 1Сан,он,uчес/Сu.м видом1Со.мnле/Ссн,ой 1Свадратuчн,ой фор.мы ран,га/Сая/СвадратовcYM.ftarr.может служить всян,еuзвестн,ых С люБЫ.Аtиотлuчн,ы.ми отн,уля 1Со.мnле1Ссн,ы.ми /Соэффuцuен,та.мu.Положение несколько более сложно в том случае, если рассматриваются д е й с т в и т е л ь н ы е квадратичные формы и, что особенноважно, допускаются лишь линейные преобразования с действительнымикоэффициентами.
В этом случае уже не всякую форму можно при(1),KOPHIIвести к видутакквадратногоиз отрицательного числа. Если, однако, мы назокакэто моглобыпотребовать извлечеНИIIвем теперь н,ор.мальн.ы.м видо.м квадратичной формы сумму квадратов+несК<;>Льких неизвестных с коэффициентами1 или - 1, то легкопоказать, что вся1СУЮ деЙствuтельн.ую 1Свадратuчн,ую фор.му f.можн,оnривестин,евырожден,н,ы.млuн,ейн,ымnреобразован,uемС деЙствительн.ы.ми 1Соэффuцuен,та.мu 1с н,ор.мальн.о.му виду.В самомделе,форма1рангаrотnнеизвествых ПРИВОДИТСIIк каноническому виду, который можно записать следующим образом(меняя, если нужно, нумерацию неизвестных):O~k~"гдевсечислаС1,••• ,cf;:;Ck + 1 'жительны.
Тогда невырожденноествительными коэффициентамиприi=l, 2, . " , ' ,Zj=VCiYjпри водит1••• , Cr отличны от нулялинейноеZj=Yjиполопреобразование с дейприj=r+l, .", n,к нормальному виду,I=z~+". +z:-z:+1-'" -z~.Общее число ВХОДЯЩИХ сюда квадратов будет равно рангу формы.176[гл.КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ6Пействительная квадратичная форма может быть приведена к нор·мальному виду многими различными преобразованиями, однако с точ,ностью донумерациинеизвестныхонаприводится лишь к одномунормальному виду.
Это показывает следующая важная теорема, на·зываемая За!СБНО.м инерции действителжых ICвадратичных фор.м:Число nоложитеЛb/iЫХ и 'tUСЛО отрицатеЛb/iЫХ ICвадратовв нор.маЛb/iО.м виде, IC lCоторо.му nриводитсн данная ICвадратичн-ая фор.ма с действитеЛb/iы.ми lCоэффициента.ми действитеЛb/iЫ.мн-евырожденн,ы.м лин,еЙн,ы.АZ nреобразован,ие.м, н,е зависят от выбораэтого nреобразован,ия.Пусть, в самом деле, квадратичная формаранга r от n неиз·вестных Х 1 , Х 2 , •••• Х ,. двумя способами приведе-на к нормальномуfвиду:•.. + y:-y~+1-'"+ ...
+z~ -z1+[=y~+=Z~1-•••-у;=-z~.(2)Так как переход от неизвестных Х 1 , Х 2 , ••• • Х ,. К неизвестным)'1' У2 • ••• , у,. был невырожденным линейным преобразованием, то,обратно, вторые неизвестные также будут линейно выражаться черезпервыесотличнымотнуляопределителем:nYi=~aiSXS'5;1i = 1, 2, ••• , n.(3)j= 1, 2, ... , n,(4)Аналогичнопричем определитель из коэффициентовКоэффициенты же как в(3),снова отличен от нуля.так и в (4)-действительные числа.Предположим теперь, что kУl=О,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
