1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 38
Текст из файла (страница 38)
е. векторов,однаравныв этом пространствекоординатанулю, -иравнаединице,авсеостальныекоорвсе векторы пространства зада вались строками их координат в этой базе; теперь же все базы пространстваявляютсядлянасравноправными.Посмотрим, какмногобаз можно найти в n-мерномлинейномпространстве и как эти базы связаны друг с другом.Пусть в n-мерном линейном пространствеVзаданы базы(4)и(5)Каждый вектор базы (5), как и всякийоднозначно записывается через базу (4),вектор пространстваV,n~ = ~ 't'lje j'[=1i = 1, 2, ••• , N.{6)ЛИНЕЙНЫЕ1927[гл.ПРОСТРАНСТВАМатрицаTll ••.т 1 n)..... ,(Т=Т n1•••Т nnстроки которой являются строками координат векторов (5) в базеназывается ,м,атрицей перехода от базы (4) к базе (5).Связьмеждузаписать, ввидубазамии(4)и матрицей(5)(4),перехода Т можноВ виде матричного равенства(6),'\ТНе,Та •• ' Т 1nе\1\(7)~ е n)Тn2 ••• 'Т nn I~ Т n1\ еnили, обозначая базы (4) и (5), записанные в столбец, соответственно через е и е', в видее'= Те.сдругойк базе(4),стороны,еслиТ' -матрицапереходаотбазы(5)тое= Т'е'.Отсюдае= (Т'Т) е,е'= (ТТ') е',т.
е., ввиду линейной независимости баз е и е',Т'Т=ТТ'=Е,откудаТ'=Т-l.ЭТИМ доказано, что ,м,атрица перехода 9твсегда является н.евырожден.н.оЙ ,м,атрицеЙ.Всякаян.евырожденн.аядеЙствительн.ы,м,и1(вадратнаяэле,м,ента,м,ислужитодн.оЙ базы,м,атрица,м,атрицей1(другойnnоряд/Сапереходасотданной базы n-,м,ерн.ого деЙствительн.ого лин.еЙного пространства. /с некоторой другой базе.Пусть, в самом деле, дана базапорядкаn.Возьмем в качествестроки матрицыместо,Т служат(5)строкамиследовательно, равенствоСllмы-линейнаязависимостьлинейную зависимостьрожденностью.(4)и невырожденная матрица7систему векторов, для которых(7).координатВекторымеждунимив базе(5)(4);имеетлинейно незавивлеклабызасобойстрок матрицы т в противоречие с ее невыПоэтомусистема(5),каклинейнонезависимая§ 30]КОНЕЧНОМЕРНЫЕсистема, состоящая изства, а матрицаМЫ видим,nПРОСТРАНСТВА.векторов, является базой нашего пространТ служит матрицей перехода от базыстоль же многоразличныхбаз, какквадратныхматрицк базе(5).много существует различныхпорядкадве базы, состоящие из одних и тех жеразличном(4)что в n-мерном линейном пространстве можно найтиневырожденныхв193БАЗЫпорядке,считаютсяn.Правда, при этомвекторов, нозаписанныхразличными.Преобразование координат вектора.
Пусть в n-мерном линейном пространстве даны базы (4) и (5) с матрицей перехода Т(Ти)'=е'= Те.Найдем связь между строками координат произвольного вектора ав этих базах.Пустьnа= ~ aje,.(8)1=1nа= ~ а; е;.(=1Используя(6),получаем:а = i: а; ( i: Т:ие J) = .t (~ a;TiJ) е,.(=1Сравнивая с(8)1=11=1t=lи используя единственность записи вектора черезбазу, получаем:naj= ~(=1т.е.имеетместоa;T iJ•матричноеj= 1, 2, ••.
,n,равенствоТаким образом, стРО1Са 1Соордин.ат ве1Стора а в базе е равн.астРО1Се 1Соордин.ат этого ве1Стора в базе е', у.м.н.ожен.н.оЙ справан.а .матрицу nере.хода от базы е 1с базе е'.Отсюда следует, понятно, равенство(a~, a~ • ... , a~)П !> и м е р.ство с базой= (а 1 , а 2 • •••• а n) T-l.Рассмотрим трехмерное действительноелинейное простран(9)Векторые;=5е1 -е 2 -2ез • }e2=2eJ+3e~.е з = - 2е1 +е 2(10)+ ез]94[гл.ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВАтакже составляют базу в этомот (9) к (10) служит матрицапространстве,причем1матрицей переходат=( ~ -~ -~),-2откудат-l=11( 3-1 6)Вектор-21 -4.8 -3 17а=еl +4е2-езимеет поэтому в базе(a~, a z, а з )=(I.т.строку коордннат(10)4. -1)(-8~ -~ -~)=(-13' 6. -27),-317е.a=-13e~ +6e~ -27e~.§ 31.Линейные преобразованияВ гл.
3 мы уже встречались с понятием линейного преобразования неизвестных. Понятие, которое будет сейчас введено, носиттакое же название. но имеет иной характер. Впрочем, некоторыесвязи между этими двумя одноименными понятиями могли бы бытьуказаны.Пусть дано n-мерное действительное линейное пространство, которое обозначим через V N • Рассмотрим nреобразование этого пространства, т. е. отображение, переводящее к а ж Д ы йстранстваVNвектор а проВ некоторый вектор а' этого же пространства. Вектор а'называется образом вектора а при рассматриваемом преобразовatfии.Если преобразованиеобозначеночерез <р, то образусловимся записывать не через <р (а) или <ра, чтовектора ачитателю было быпривычнее, а через а<р.
Таким образом,а' =а<р.Преобразование <р линейного пространстваVNназывается линейным nреобразованием этого пространства, если сумму любых двухвекторов а, Ь оно переводит в сумму образов этих векторов,(а+ Ь) <р = а<р+ Ь<р,апроизведениелюбоговекторааналюбое(1)число а переводитв произведение образа вектора а на это же число а,«(Ха) <р= а (а<р).(2)Из этого определения немедленно вытекает, что лин,ейное nреобразование линейного пространства пере водит любую линейную§ 31]195ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ1Сомбин.ацию дан.н.ых ве1Сторов а 1 , а 2 , ••• , ak в лин.еЙн.ую 1Сомби·н.ацию (с теми же коэффициен.тами) образов этих векторов,(а 1 а 1+ а 2 а 2 + ...
+ Gtkak) rp =а 1 (a 1 rp)+ а 2 (a rp) + ... +Gt'k (akrp).2(3)докажем следующее утверждение:При любом лин.еЙном nреобразован.ии rp лuн.еЙн.ого nростран.·V n н.улевоЙ ве1Стор О остается н.еnодвижн.ым,стваOrp=O,а образом ве1Стора, nротuвоnоложн.ого для дан.ного ве1Стора а,служит ве1Стор, nротивоnоложн.ыЙ для образа ве1Стора а,(-a)rp=-arp.В самом деле, если Ь-произвольный вектор, то, ввиду(2),Orp = (О·Ь) rp = O.(brp) =0.С другой стороны,(- а) rp = [(-1) а] rp = (-1) (arp) =-arp.Понятие линейного преобразования линейного пространства возникло как обобщение известного из курса аналитической геометриипонятия аффинного преобразования плоскости или трехмерного пространства; действительно, условия (1) и (2) для аффинных преобразований выполняются. Эти условия выполняются и для проекцийвекторовпрямуюна плоскости(илиили в трехмерном пространстве на некоторуюна некоторую плоскость).
Таким образом,например,в двумерном линейном пространстве векторов-отрезков, выходящихиз начала координат плоскости, преобразование, переводящее всякийвекторвегопроекцию на некоторую ось, проходящую через началокоординат, будет линейным преобразованием.Примерами линейных преобразований в произвольнам пространствеVNслужаттождествен.н.оевсякий вектор а наnреобразован.uе8,оставляющееместе,а8=а,и н.улевое nреобразован.ие0),отображающее всякий вектор а в нуль,аО)=О.Сейчасбудетполученонекотороепреобразований линейного пространства-обозрениеVN •всехлинейныхПустьбаза этого пространства; как и раньше, базу(4),расположеннуюв столбец, будем обозначать через е. Так как всякий вектор а пространства V N однозначно представляется в виде линейной комбинации196ЛИНЕЙНЫЕ[гл.ПРОСТРАНСТВА7векторов базы (4), то, ввиду (3), образ вектора а с теми же коэффициентами выражается через образы векторов (4).
Иными словами,ВСЯ1сое линейное nреобразование<р пространстваопределяется заданием образовфиксированной базы (4).e1<p,Какова бынипространстваVmбылае 2 <р,упорядоченная..••VNоднозначноеn<р всех векторовсистемаизnвекторов(5)существует,притомединственное,вание <р этого пространства, чтовекторов базы(4)такоелинейное nреобразо(5) служит системой образовпри этом nреобразовании,ej<p =i = 1, 2, ... ,n.Cj ,(6)Единственность преобразования <р уже доказана выше и нужнодоказать лишь его существование. Определим преобразование <рследующим образом: если а-произвольный вектор пространства и-его запись в базе(4),то положимnа<р = ~ ajc j •(7)i=1докажем линейность этого преобразования.
ЕслиnЬ= ~ ~jej{=1-любой другой вектор пространства, то(а + Ь) <р = [l~ (a j + ~J e <р = ~ (а, + ~j) С; =j]nГI= ~ alCj + ~ ~jCj=a<p + Ь<р.1=1'=1Если же у-любое число.. то(уа) <р = C~ (yaj)ej ]<р = ~~ (уа,) С, = У {~a,c, = у (а<р).Что же касается справедливости равенств (6), то она вытекает изопределения (7) преобразования <р, так как все координаты вектора еЕв базе (4) равны нулю, кроме i-й координаты, равной единице.Нами установлено, следовательно, взаи.ltНО однозначное соответствие между BCe.ltu линейными nрео6газованиями лиliейliогопространства VN и BCe.ftU уnорядочеННЫ"'tи системами (5) из nвекторовэтогопространства.§ 31]ЛИНЕЙНЫЕ191ПРЕОБРАЗОВАНИЯВсякий вектор Cj обладает, однако, определенной записью в базе(4),nCj=~ IXие j'i = 1, 2, ••• ,(8)N.}=lИз координатвектора Ci в базе(4)можносоставить квадратнуюматрицу(9)беря в качестве ее i-й строки строку координат вектора Cj , i = 1,2, ....
. . ,n. Так как сист<:ма (5) была произвольной, то матрица А будетПРОИЗВОЛЬНОЙквадратнойматрицейпорядкаnс действительнымиэлементами.Мы имеем, таким образом. взаимно однозначное соответствие между всеми линейными nреобразованиями пространства V Nи всемиматрицалщKBaapamHbl.JlUпорядкаn; это соответствиезависит, конечно, от выбора базы (4).Будем говорить, что матрица А задает линейное преобразование <р в базеили, короче, что А есть матрица линейного пре(4),образования <р в базе (4).
Если через е<р мы обозначим столбец,составленный из образов векторов базы (4), то из (6), (8) и (9) вытекаетследующеематричноеравенство,полностьюописывающеесвязи,существующие между линейным преобразованием <р, базой е има грицей А, задающей это линейное преобразование в этой базе:е<р=Ае.Покажем,в базе(4),как,знаяматрицуА(10)линейногопреобразования <рпо координатам вектора а в этой базе найти координатыего образа а<р. Еслиnа= ~IXiej,i=lтоnа<р = ~ IXj (ej<p),i=lчторавносильноматричномуравенствуа<р = (IX 1 , IX 2 , ••• , IX n ) (е<р).Используялегко(10)и учитывая, что ассоциативность умножения матрицпроверяетсяивтомслучае,когдастолбцом, составленным из векторов,а<р= [(IX 1 ,одна из матриц являетсямы получаем:IX 2 , ••• , IX n ) А] е.Отсюда следует, что строка координат вектора а<р равн,а строкекоординат вектора а, умноженной справа на матрицу А линейн,ого nреобразования <р, все в базе(4).198[гл.ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВАПри м е р.Пусть в базе е 1 • е2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
