1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 40
Текст из файла (страница 40)
, a doа2 ,•• -, ado' bdo + 1 '... ,b d•(4).. . , cda(5)и до базыа2,.. . , ado 'Cdo + 1 'подпространствастранстваI,L 2 • Легко видеть, используя определение подпрочто это подпространство порождается системой век-торова1 , а2 ,Формула(2)••• ,a do ' b do + 1 '••••bd ,. Cdo + 1 '••• ,cd.'(6)будет, следовательно, доказана, если мы докажем линейную независимость системы(6).Пусть имеет место равенство0:1a 1+0:2 а 2+ ... +O:doado + ~do+lbdo+l + ... + ~dlbdl ++Ydo+lCdo+l + ... + Yd.Cd.= ОС некоторыми числовыми коэффициентами. Тог даd=0:1a 1 +0:2 а 2+'"+O:doado +~do+lbdo+1+ ...
+~dlbdl== -Уdо+1Сdо+1-''' -Уd.Сd.'(7)Л€вая часть этого равенства содержится в L 1 , правая-в L 2 , поэтому вектор d, равный как левой, так и правой части этого равенства, принадлеlКИТ к Lo и, следовательно, линейно выражаетсячерез базу (3). Правая часть равенства (7) показывает, однако,что вектор d линейно выражается и через векторы Cdo +1' ••• , Cd .,Отсюда, ввиду линейной независимости сисгемы (5), вытекает, чтовсе коэффициентыввидулинейнойYdo+ 1 ,••• ,Yd.независимостиравны нулю, т.
е. d=O, а тогда,системы(4),всекоэффициенты0:1' ••• , O:do' ~do+l' ••• , ~dl также равны нулю. Этим доказаналинейная независимость системы (6).Читателю предлагается проверить, что наше доказательствосохраняет силу и в том случае, когда подпространство Lo является нулевым,т. е.d o=О.Область значений и ядро линейного преобразования. Пусть влинейном пространстве V N задано линейное преобразование ~.
ЕслиL-любое линейное ПQдпространство пространства Vn , то С О В 0К У П н о с т ь L~ о б раз о в в с е х в е к т о р о в и з L при n р ео б раз о в а н и и ~ т а к ж е б у д е т л и н е й н ы м n о д про с тр а н с т в о м, как немедленно вытекает из определений линейного204ЛИНЕЙНЫЕ[гл.пРОСТРАНСТВА7подпространства и линейного преобразования. В частности, линейнымподпространством будет и совокупность Vn<P образов всехпространстваn ; она называется областью значенийпреобразования <р.Найдем размерность области значений. Для этого заметим, чтоvвекторовтак как все матрицы, задающие преобразование <р в разных базах,подобны между собой, то, ввиду последней теоремы из § 14, вСеони имеют один и тот же ранг. Это число можно назвать, следовательно, paHlOJ.t линейного преобразования <р.Размерность области значений линейногоnреобразования <рравна рангу этого nреобразования.В самом деле, пусть <р задаетсяцей А.
Подпространствов базе e1 , е 2 , ••• , е n матрипорождается векторамиVn<Pи поэтому базой подпростраНС1ва... ,(8)Vn<Pбудет служить, в частности,любая максимальная линейно независимая подсистема системыОднако максимальноестеме(8)числоравно максимальному числу линейно независимыхматрицы А, т. е.равно(8).линейно независимых векторов в сирангуэтойматрицы.строкТеорема доказана.Мы знаем, что при линейном преобразовании <р нулевой векторпереходит в самого себя. СовокупностьNстранствав нулевойотображающихсяVn 'следовательно,непустой иCTpaHCTBO~1.
Этолюбогоявляется,подпространствония <р, а его размерностьДляпри--линейного<р(<р)всех векторов проочевидно,называетсяnвсегодефе/(том этого преобразования.nреобразования<рпространстваVnравна размернопространства.Действительно,странствоподпр()ядром преобразовасумма ранга и дефе/(та этого nреобразованиястивектор, будет,линейнымеслиr-рангобладает базой изVn<Pпреобразованияr<р,топодпровекторов(9)в пространствеVNможно выбрать такие векторыb1 ,Ь2 ,••• , Ь г ,(1 О)чтоbj<p=a j , i=l, 2, •.. , г;выбор векторов (10) не является, понятно, однозначным. Если быне которая нетривиальная линейная комбинация векторов (10) отображалась преобразованием <р в нуль, в частности, если бы векторы(1 О) были линейно зависимыми, то векторы (9) оказались бы самилинейно зависимыми против предположения.
Поэтому линейное подпространство[,порожденноевекторамиг, а его пересечение с подпространством(1 О),N (<р)имеет размерностьравно нулю.§ 32]ЛИНЕЙНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА205с другой стороны, сумма подпространствсо всем пространствомиLN (<р)совпадаетУn ' Действительно, если с-любойпространства, то векторd=странству Уn<р. Тогда вподпространствес<р принадлежит,конечно,Lнайдется(1 О)с темивекторк подпротакойвектор Ь, чтоb<p=d-вектор"записывается черезциентами, с какими Bel<TOpсистемуже коэффи(9).ОтсюдаN (<р),так какзаписывается через базуdc=b+(c-Ь),причем вектор с-Ь содержится в подпространстве(с-Ь) <p=c<p-Ь<р=d-d=О.ИЗ полученныхвытекаетрезультатовутверждениеидоказаннойвышеформулы(2)теоремы.Невырожденные линейныепреобразования.
Линейное преобраУn называется невырожденны'м,зование <р линейного пространстваесли оно удовлетворяет любому из следующихностькоторыхнемедленновытекаетизусловий, равносильдоказанныхвышетеорем:р а н г п р е о б раз о в а н и я <р р а в е н n.О б л а с т ь ю з н а ч е н и й п р е о б раз о в а н и я <р с л у ж и rвсе пространство ~.3. Д е Ф е к т пр е о б раз о в а н и я <р р а в е н н у л ю.Для невырожденных линейных преобразований можно указать1.2.также много другихопределений,в частности определения4.приРаз л и ч н ы ев е к т о рып р е о б раз о в а н и иДействительно, еслиравносильныхуказаннымвыше,4 - 6.<рп р-о с т р а н с т в араз л и ч н ы епреобразование<рУnИ М еюrо б раз ы.обладает свойством4,то ядро этого преобраз'ования состоит лишь из нулевого вектора,т.
е. выполняется и свойство 3. Если же векторы а и Ь таковы,что а =1= Ь, но а<рЬ<р, то a-Ь=l=О, но (a-Ь)<р=О, т. е. свойство 3 не выполняется.ИЗ 2 и 4 вытекает=5.П р е о б раз о в а н и еЗ н а ч н ы м<ря вл я е т с яв з а и м н оо т о б р а ж е н и е м про с т р а н с т в аVNо Д н 0-Н а в с е эт опро с т р а н с т в о.ИЗ5следует, чтования <р существуетдляневырожденногообратноелинейного преобразоnреобразование<р-l,всякий вектор а<р в вектор а,(а<р) <p-l= а.Преобразование <p-l будет линейным, так как(а<р+ Ь<р) ср-1 =[а. (аср)]ср -1[(а+ Ь) ср) q>-l =а + Ь,= [(а.а)<р] q> -1 =а.а.переводящее206[гл.ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА7Из определения преобразования <р-1 вытекает, что<р<р -1равенстваного(11)=(11 )<р -1<р =е;могут сами рассматриваться как определение обратпреобразования.Отсюда иизпоследнихрезультатовпредшествующего параграфа следует, что если невырожденное линейное nреобразование <р задается 8 некоторой базе матрицей А,невырожденной ввиду С80йства 1, -то nреобразование <р -1 задается в этой базе матрицей А -1.Мы приходим, таким образом, к следующему определениювырожденного линейного преобразования:6.
Д л я п р е о б раз о в а н и я <р с у Щ е с т в у е тлинейное преобразование <р-1.§ 33.необр а т но еХарактеристические корнии собственные значенияПусть А=(аij)-квадратная матрица порядка-nс действительными элементами. Пусть, с другой стороны, л.некоторое неизвестное. Тогда матрица A-л.Е, где Е-единичная матрица порядкаn,называетсяТак как востальныехарактеристическойматрице л.Е поэлементыравныматрицейглавной диагоналинулю,матрицы А.стоитл., все жетоОпределитель матрицы A-л.Е будет многочленом от л., притомстепени n.
В самом деле, произведение элементов, стоящих наглавной диагонали, будет многочленом от л. со старшим членом(_l)nл.n , все жеостальныечленыопределителяменьшей мере двух из числа элементов,несодержат постоящих на главной диагонали, и поэтому их степень относительно л. не превосходит11- 2. Коэффициенты этого многочлена можно было бы легко найти.Так, коэффициент при л. n - 1 равен (_l)n-l (ан +а 22+аnn ),+ ...а свободный член совпадает с определителем матрицы А.Многочлен n-й степениIА -л.ЕIназывается характеристическим многочленом матрицы А, а его корни, которые могут быть){ак действительными, так и комплексными, называются характеристическими корнямu этой матрицы.Подобныематрицыобладаютодинаковымихарактеристическими многочленамu и, следовательно, одинаковыми характеристическuмu КОРНЯJtl!.§ 33]ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕкорниИСОБСТВЕННЫЕ207ЗНАЧЕНИЯПусть, в самом деле,Тогда, учитывая, чтоматрицалЕ перестановочнаС матрицейQ,а /Q- 1 1=IQГ1, получаем:18-лЕI=IQ-IАQ-лЕI=IQ-1 (A-лЕ)Q1== IQ1-1·1 А -лЕ 1·/ Q 1=1 А - лЕI,что и требовалось доказать.Из этого результата вытекает,ремы о связи междуматрицами,ввиду§ 31доказанной взадающимитеолинейное преобразование в разных базах, что хотя линейное nреобразованиеер'#'0-жет задаваться в разных базах различны'#'u '#'атрица'#'и, однаковсе эти '#'атрицы u'#'еют один u тот же набор характеристических корней.
Эти корни можно называть поэтому характеристическu'#'и корнями самого nреобразования ер. Весь набор этих характеристическихкратностью,корней,какуюонпричемимеетвкаждыйкореньберется с тойхарактеристическоммногочлене,называется спектром линейного преобразования ер.Характеристические корни играют при изучении линейных преобразований очень большую роль. Читатель много раз будет иметьвозможностьвэтомубедиться.Одноиз применений характеристических корней мы сейчас укажем.Пусть в действительном линейном пространствезадано лиVnнейное преобразование ер. Если вектор Ь, отличный от нуля, переводится преобразованием ер в вектор, пропорциональный самому Ь,(1)где л о -некоторое действительное число, то вектор Ьназываетсясобственным векторо'#' преобразования ер, а число л о -ны'#' значением этогопреобразования,причемсобственговорят,что собственный вектор Ь относится к собственному значению ).0.Заметим, что так как Ь=/=О, то число 1..0' удовлетворяющееусловию О), определяется для вектора Ь однозначно.
Подчеркнем,далее,чтонулевойвекторнесчитаетсясобственнымпреобразования ер, хотя он удовлетворяет условиюлюбого л о .Вращение евклидовойугол,не являющийсяплоскостивокруг(1),векторомпритом дляначала координат накратным п, служит примером линейного преобразования, не имеющегособственных векторов. Примером другого крайнего случая является растяжение плоскости, при которомвсевекторы, выходящиеизначалакоординат, растягиваются,скажем, в пять раз. Это будет линейное преобразование, причем всененулевые векторы плоскости будут для него собственными; всеони относятся к собственному значению 5.ЛИНЕЙНЫЕ208Действительныеобразованияер,хара/(теристичес/(иееслиони[гл.ПРОСТРАНСТВАсуществуют,/(орниилинеtlноготоль/(оони7npe~служатсобственными значенuями этого nреобразования.Пусть, в самом деле, преобразование ер имеет в базе е 1 , е2,••• , е nматрицу А= «(I./j) и пусть векторni=lявляется собственным вектором преобразования ер,Ьер=лоь.Как доказано вЬер= [(Р1' ~2'Равенства(2)и••• ,Рn) А] е.(3)при водят к системе равенств(3)~1(1.11~1(1.12+ ~2(1.21 + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
