1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 41
Текст из файла (страница 41)
+ Р,,(l.nl =ЛОРl'+ Р2(1.22 + ... + Р,,(I."2 = Л О Р2'~1(1.1" + Р2(1.2"(4),(4)+ ... + Р"(I.,,n =ЛоРn.Так как Ь::/= о, то не все числа Рl' Р2'образом, ввиду(2)§ 31,... ,Рn равны нулю. Такимсистема линейных однородных уравнений+ (l.21 Х 2 + ...
+(I."I Х n=О'1..0) Х 2 + ... + (I."2 Х ,, = О,.......... ........(l.ln Х l + (l.211 Х2 + ... + «(I."n-Ло) Хn=О«(l.11- Л О) Х 1= (l.12 Х 1 + «(1.22 о()ладаетненулевымрешением,а поэтомунулю,a l1 -л о ,(1.21'(1.12' (1.22 -1..0'..ее определитель(5)равен"... ,=0.(6)Транспонируя, получаем(7)т. е. собственное значениестическим корнемразования ер,Обратно, пустьческимматрицыпритом,корнем1..01..0Ана самом деле оказалось характерии,следовательно, линейного преобпонятно, действительным.будет любым действительным характеристипреобразованияер и, следовательно, матрицы А.Тогда имеет место равенство (7), а поэтому и получающееся изнего транспонированием равенство (6). Отсюда следует, что системалинейных однородных уравнений (5) обладает ненулевым решением,§ 33)ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕпритомдажеКОРНИдействительным,ИтакСОБСТВЕННЫЕкаквсеЗНАЧЕНИЯкоэффициенты20аэтойСИСlемы действительны.
Если это решение обозначим через(8)тО имеютместоравенстваОбозначим(4).черезЬвекторпространства V m имеющий в базе е 1 , е 2 , ••• , е n строку координат(8); ясно, что Ь =1= О. Тогда справедливо равенство (3), а из (4)и (3) следует (2). Вектор Ь оказался, таким образом, собственным вектором преОбразования <р, относящимся к собственному значению Л о .
Теорема доказана.Заметим, что если бы мы рассматривали к о м п л е к с н о е линейное пространство, тоского корнятребование действительности характеристичебыло бы излишним, т. е. была бы доказана теорема:характеристические корни линейного преобразования комплексного линейного пространства и только они служат собствен.ными значениями этого преобразования. Отсюда следует, чтов комплеКСНО.Аt лин.еЙн,ом пространстве всякое линейное преобразован,ие обладает собственными векторами.Возвращаясь к рассматриваемому нами действительному случаю,отмети", чтосовокупностьсобственныхвекторов линейногопреобразования <р, относящихся к собственному значению Л о , совпадаетс совокупностью ненулевых действительных решений системы линейных однородных уравненийвокулность собственн,ыхвекторов(5).
Отсюда следует, что солинейного прео6разоrзания ер,относящихся к собственн.О.АtУ значению Л о , будет, после добавления к ней нулевого вектора, линейным подпросmранствО.Аl пространства V n • В самом деле, из доказанного в § 12 вытекает,что совокупн,ость (действительных) решений любой системы линейных одн,ородных уравнений от n неизвестных будет лин.еЙным noa!lpOCmpaHcmBoM пространстваVN •Линейные преобразования с простым спектром. Во многих случаях окаlывается необходи~IЫМпреобразованиерицу.Наq>самомзнать,можетли данное линейноеиметь в некоторой базе д и а г о н а л ь н У ю матделе далеко не всякое линейное преобразованиеможет быть задано диагональной матрицей.
Необходимые и достаточные условия для этого будут указаны впривестиоднодостаточное§ 61,а сейчас мы хотимусловие.Докажем сначала следующие вспомогательные результаты:Лин,еЙн.ое flреобразоваnиеq>тогдаитолько тогда задаетсяв базе е 1 • е 2 , ••• , е n диагоnальnой матрицей, если все векторыэтой базы являются собствен.nы.АtU векторами преобразоваnия <р.Действительно, равенствоеtq>=лtе jравносильно тому, что в i-й строке матрицы, задающей преобраq> в указанной базе, равны нулю все элементы, стоящиезование210[гл.ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВАвне главной диагонали, а на главной диагонали (т.
е. на1месте)i-Mстоит число Л j •Собственные ве1Сторы Ь 1 , Ь 2 , ••• , bk линейного nреобразования <р, относящиеся 1с разлиЧНЫ.ft собственным значениям, составляют линейно независимую систему.Будем доказыватьприоноk= 1этоутверждениесправедливо -одининдукциейсобственныйk,так каквектор,побудучиотличным от нуля, составляет линейно независимую систему. ПустьЬj<р=ЛjЬj ,i=1,2, ...
,k,иЛj=f:.ЛJ при i=f:.J.Если су[Цествует линейная зависимость(9)ctlbl+ct2b2+ ••• +ctkbk=0,где, например, ct1=f:.O, то, применяя к обеим частямравенства (9)преобразование <р, получимct 1 Л 1 Ь 1 +ct 2 Л 2 Ь 2 + ••• +ctkЛkЬk=О.Вычитая отсюда равенствоа 1 (Л 1 -Л k) Ь 1(9),умноженное на Л k , получаем+а 2 (л 2 -л k) Ь 2 + ... +ctk-l (Лk-l -что дает нетривиальнуюлинейнуюЛ k) bk-l =0,зависимость между векторамиЬ1 , Ь2 ,••• , bk-l, так как а 1 (Л 1 -Лk) =f:.
о.Говорят, что линейное преобразование <р действительного линейного пространстваVNтеристические корниимеет простой сnе1Стр, если все его харакдействительны<р имеет, следовательно,nиразличны. Преобразованиеразличных собственных значений, а поэтому, по доказанной теореме, в пространствесоставленная из собственныхвекторовVNсу[Цествует база,этого преобразования.
Таким образом, вСЯ1Сое линейное nреобразование с простым сnе1Стром может быть задано диагональной матрицей.Переходя от линейного преобразования к матрицам, его задаю[Цим,мыполучаемВСЯ1Саяследую[цийматрица,вседействительны и различны,как говорят, та1Саярезультат:хара1СтеристичеС1СиеподобнаMampUl{a1Сорни1Соторойдиагональной матрице или,nриводuтся 1с диагональномувиду.r ЛАВАВОСЬМАЯЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВАОпределение§ 34.евклидова пространства.Ортонормированные базыПонятие n-мерного линейного пространства далеко не в полноймере обобLЦает понятия плоскости или трехмерного евклидова про-странствавектора,n> 3в n-мерном случае приниуголмеждувекторами,ине определены ни длинапоэтомуневозможнотие той богатой геометрической теории, которая хорошоn=2читателю длябыть испраВJIено,иn=3.Оказывается,чторазвизнакомаположениеможетпритом следуюLЦИМ путем.Из курса анаJIитической геометрии известно, что и в плоскости,ивтрехмерномпространствеумножения векторов.ровиугламеждуи угол междучерезОноними,но,векторамискалярныеможновкаксвоюпроизведения.n-мерном линейномввестиопредеJIяетсяоказывается,очередьМыпространствепонятиескалярногопри ПОМОLЦИ длин вектоимогутопредеJIИМпонятиедлинавектора,быть выраженыпоэтомускалярногов любомумножения,причем опредеJIИМ аксиоматически, при помощи некоторых свойств,которыми,какхорошоизвестно,скалярноеумножениевекторовПJIОСКОСТИ или трехмерного пространства на самом деле обладает.При этом, учитывая те непосредственные цели, ради которых этотразде.'lвключенвкурсвысшейалгебры,длины вектора и угла между векторамиинтереСУЮLЦегосявах,мыпостроениемотсылаем кгеометрииспециальнойвводитьмывопределенияне станем.
Читателя,n-мерныхлитературе,впространстпервую очередьк БОJIее полным книгам по JIинейной алгебре.Отметим, что всюду в этой главе, кроме конца наСТОЯLЦего параграфа,рассматриваютсяДе й с т в и теJI ьН Ы еJIинейныепространства.Будем говорить, что в n-мерном действительном линейном пространствеVNвекторов а,определено СlCалярн,ое умн,ожен,uе, если всякой пареЬпоставлено в соответствие действительное число,обозначаемое символом (а, Ь) и называемое СlCалярн,ым nроuзведен,ием вектороваиЬ,причемвыполняютсяслеДУЮLЦие условия212ЕВКЛИДОВЫ(здесь а, Ь, с -(гл.ПРОСТРАНСТВАлюбые векторы пространстваVn '8а - любое дейстlЗительное число):1.(а, Ь)=(Ь, а).(аП.+ Ь,с) = (а, с)+ (Ь,с).(аа, Ь)=IX (а, Ь).111.Е сли аIV.=F О,то скалярный квадрат вектора а строго поло-жителен,(а, а»Отметим, что из1IIО.при IX= О следует равенство(1)(О, Ь)=О,т.
е. скалярн,ое nроuзведен,uе пулевого вектора па любой векторЬ равн,о н,улю;вогоравеннулю,в частности,скалярный квадратнуле-вектора.Из11и ШнемедленноскалярногоД в у хвытекаетпроизведенияс и с т е мследующаялинейныхформуладлякомбинацийв е к т о р о в:(2)Если в n-мерном линейном пространстве определеноумножение,то это пространство называется n-мернымскалярноеевклuдовbl.unростран,ство-м.При любо-мnв n-Mepno.ft лuн.еЙн,о-м nростран,ствеVn-можн,ооnределuть С1Салярн,ое у-мн,ожен,uе, т.
е. -можн,о nревратитьэтоnростран,ство в евклudово.Ве2 ,самом••• ,e1l •деле,возьмемвпространствеnа=Lлюбуюбазуe1 ,nЬ=IXjej ,1=1тоVNЕслиL ~jej,1=1положимn(а, Ь) =L aj~j'(3)j=lЛегко проверяется, что условия l-,-IV будут выполнены, т. е. равенство (1) определяет в пространстве V N скалярное умножение.Мы видим, что в n-мерном линейном пространстве скалярноеумножениеможноспособамиопределениемыпокажение и-незнаем,задать,кромекаким-либо(3)вообщеговоря,многимиразличнымизависит, понятно, от выбора базы, атого,нельзяпринципиальножайшей целью является обозрениелиинымввестискалярноеСlIособом.всех возможныхумноНашей блиспособов llре-§ОПРЕДЕЛЕНИЕ4]вращенияствоиЕВКЛИДОВАпРОСТРАНСТВА.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
