1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Мы уже можем, следовательно,написать тот канонический вид, к которому формаприводится ортогональНЫМ преобразованием:t[=Y~ +У: +У;-3У:.Найдем ортогональное преобразовзние, осуществляющее это приведение.Система линейных однородных уравнений-Xl(3)при"'0= 1принимает вид+Х2+ХЗ-Х4=0,x 1 -х 2 -х з +х 4 =О,{x 1 -х 2 -х з +х 4 =О,-Х 1 +х 2 +х з -х 4 =0.Рангэтойсистемыравеннезависимых решения.и поэтому1,Ими будут,для нее можно найти три линейнонапример, векторыb1 =(I, 1, О, О),Ь 2 =(I, О,1,О),Ьз=(-I, О, О,Ортогонализируяэтусистемуcl=b1 =(l, 1,С2 =векторов, мы получим систему векторовО, О),-2"1 С1 + Ь2 =11( "2'1 -2"'1 1, О ) ,~="2~+~~+~=(111)-T'T,~,I .С другой стороны, система линейныхмает при"'0= -31).однородных уравнений(3)принивид3Xl+ Х2 + Хз - Х 4 =О,x1 +3х2 -{х з + х 4 =О,Хl- х 2 +3х з + Х 4 =;,О,-x1 +Ранг этой системы равен3.Х 2 + х з +3х 4 =О.Ее ненулевым решением служит векторс 4 =(I,-1, -1,1).Система векторов Cl' С 2 ' С з , С 4 ортогональная.
Нормируяк ортонормированной СИСlеме векторовее. мы придем§ 37}Таким231ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАтичноR ФОРМЫ к ГЛАВНЫМ осямобразом,t приводитсяформак главным осям ортогональным преобразованием11Уl = У"2 Хl + У2 Х2 '11Уа = уб Х1 -v6 Ха +1Уз= - 2 уз Хl11(2"3" Ха'1уз1+ 2 у-з Х 2 + 2 уз Хз +-2- Х 4 ,111У4=2" xI-Т Х 2 -2" Х З +2"Х4'Следует отметить, что выбор системы линейно независимых собственныхвекторов, относящихея к кратному собственномунеоднозначным,образований,одноизапоэтомусуществуетприводящих формуtзначению, является весьмамного различных ортогональныхпрек каноническому виду.
Мы нашли лишьних.Парыформ.Пустьданапар аД еRс т ви т е ль ныхк в а дfра тич ныхформот nнеизвестных,(Х1, Х 2 , ••• , Х n )иg (х., Х 2 • • •• , Хn )' Существует ли такое невырожденное линеRноепреобразование неизвестных Х1, Х 2 , ••• , Хn ' которое одновременноприводило бы обе эти формы к каноническому виду?Вобщемслучаеответ будет отрицательным. Рассмотрим, па~пример, пару формj(X1,X2)=X~'g(X1,Х2)=Х1 Х2'Пусть существует невырожденное линейное преобразованиеХ. = сну.Х2= C2JYl+ CJ2Y2, }+ С2:?)'2,(4)приводящее обе эти формы к каноническому виду. Для того чтобыформамогла быть приведена преобразованием (4) к каноническому виду, один из коэффициентов С11, С12 должен быть равеннулю, иначе вошел бы член 2C11CJ2Y1Y2' Меняя, если нужно, нумеfрациюнеизвестныхэтому С11У1,У2,можноположить,чтоС12= О Ипо=1= О. Мы получим теперь, однако, чтоg(X1,Х 2 ) = СНУ1 (С 21УlТак как формаg+ С2:?)'2) = Cll.c21Y~ + Cl l C2:?)'lY2'также должна была перейти в каноническиR вид,==то С ll С22 = О, т.
е. С22О, что вместе с C 12О противоречит невырожденности линейного преобразования (4).Ситуация будет иной, если мы положим, что хотя бы одна изнаших форм, например g (Хl' Х2,••• , Х n ), является п о л о ж ит е л ь н о оп р е д е л е н н о R 1). Именно, справедлива теорема:1) Это условие не является, конечно, необходимым; так, формы X~+ Х: -х;нет+и X~ -X~ -х; обе уже имеют канонический вид, хотя среди нихположительноопределенных.232ЕВЮIйДОВЫЕслии/действuтеЛЫ-l-ЫХg-napaнеuзвестНblХ,[гл_8квадратиЧНblХ фор.м, отnПРОСТРАНСТВАприче..,t вторая из них положительно определен,н,ая,то существует н,еВblрожден,н,ое лин,ейное преобразование, одн,оbpeJ-tеннО при водящее фор.м,у g к н,ор.uаЛЬ1l0.м,у виду, а фор.м,у [к кан,оничесICО.м,увиду.для доказательства выполним сначала невы рожденное линейное••• , х n 'преобразование неизвестных х 1 , Х2,х=ту,приводящееположительноопределеннуюформуgк нормальномувиду,g(xФорма[1,Х2,xn)=yi+y;+ ...
+y~.перейдет при этом в некоторую форму ер от новыхнеизвестных,[(х 1 , х 2 ,СовершимУl' У2,теперь.•. ,.•. , Хn)=СР(Ур У2, ... , Уn)'о р т о г о н а л ь н О е преобразовани,е цеИЗJ3естныхYII'Y=QZ,при водящее форму ер к главным осям,ер (Yl' У2, ••• , Уn) = ЛIZ~Этопреобразованиеквадратоввестных(см.неизвестныхZl)Z2,+ Л2Z ; + ... + ЛnZ~.определениеу l'У2,... ,уВпереводитсуммуквадратов••• , ZII' В результате мы получаем[(x 1 , Х2,g(x 1 , Х2,••• , X II ) =ЛIZ~+ Л2 Z ; + ... + ЛnZ~'xn)=z~+z;+т.
е. линейное преобразованиеX=(TQ)Zявляется§ 35)вnискомым.... +z~,суммунеизГЛАВА ДЕВЯТАЯВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНОВ§ 38*.Уравнения второй, третьей и четвертой степениОсновная теорема, доказанная вмногочлена n-й степени сниеnкомплексныхкорней.l3h1ше, так и любые другиеникакихляясьметодовчистымидля§ 23,числовымиЕеизустанавливает для любогокоэффициентамидоказательстванынепрактического«доказательствамиизвестных)разысканиясгичныхквадратногоформуледлярешениянепопытокприведенноедают, однако,этихсуществования».методов начались, естественно,существова(каквыводакорней, явПоискитакихфОР~IУЛ,аналоуравнения,известнойчитателю для случая действительных коэффициентов из школьногокурсаалгебры.справедливойэффициентамигромоздкие,Мыиипокажемдлячтомогутсейчас,квадратныхчтоэтауравненийсаналогичные формулы,бытьвыведеныдляформулаостаетсякомплекснымихотяимногоуравненийкоболеетретьейичетвертой степени.Квадратные уравнения.
Пусть дано квадратное уравнениеx 2 +px+q=Oс любыми комплексными коэффициентами; старший КОЭффициент безограничения общности можно считать равным единице. Это уравнениеможнопереписатьввидеКак мы знаем, из комплексногоратный корень,Два значенияне выходя заэтогокорня,числар2T-qможнопределы системыизвлечь квад-комплексныхчисел.отличающихся друг от друга лишь зна-ком, мы запишем в виде + у ~2 -q. ПоэтомуВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЕЙ234[гл.многочЛЕНОВ9т. е. корни заданного уравнеНИIl можно находить по обычной формулех= - ~ ± -(Р42 -q.При м е р. Решить уравнениеx 2 -3х+(З-i)=О.Применяя выведенную формулу, получаем:x=~± "1 /~-(З-i) =~± 21 V -3+4i.2V 42При помощи методов§ 19мы находим:V -·3+4i=± (l+2i),а поэтомуxl=2+i,Кубичныенений,доуравнения.сихуравнений дажемывыведеммуледляВx2=1-i.отличие отслучаяквадратных уравпору нас не было метода для решения кубичныхвслучае действительных коэффициентов.
Сейчасдля кубичных уравнений формулу, аналогичную форквадратныхуравнений,причемсразудопустим,чтокоэффициенты ЯВЛIlЮТСIl любыми комплексными числами.Пусть дано кубичное уравнениеу3+ ау2+Ьу +с=о(1)с любыми комплексными коэффициентами. Заменяя в уравнении (1)неизвестноеуновымнеизвестнымх,СВllзаннымс уравенством(2)мыполучимщее,какуравнениеуравнениелегкоотносительнопроверить,неизвестногоквадратаэтогох,несодержанеизвестного,т.е.вида(3)Если будут найдены корниуравнениячим и корни заданного уравнениянаучитьсярешать«неполное»(1).то, ввиду(3),(2),мы полуНам остается, следовательно,кубичноеуравнение(3)с любымикомплексными коэффициентами.Уравнение (3) обладает по основной теореме тремя комплексными корнями.
Пусть хо будет любой из этих корней. Введем вспомогательноенеизвеСтноеиирассмотриммногочленЛu)=и 2 _- хои- ~ •§ 38]УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ, ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ235Его коэффициенты-комплексные числа, И поэтому он обладает ДВУМЯкомплексными корнями а и ~, причем, по формулам Вьета,a+~=xo,a~ = - ~Подставляя ввыражение(3)(4)(5),корня хо, мы получим:(4)(а+ ~)3 +Р (a+~)+q= оплиаЗОднако из(5)+ ~3+ (3a~+ р) (a+~) +q= О.следует 3a~+р =О, и поэтому мы получаем:a3+~3=_q.,с другой стороны, из(6)(5) BblTekaeTa3~3 = _ ~; ,Равенстванями(6)иквадратного(7)(7)показывают, что числа аЗ И ~З служат коруравненияZ2+ qz_J!...=О27(8)с комплексными коэффициентами.Решая уравнение(8),мы получим:Z=-откуда~ ± у q:+ ~; ,1)a=V-~+(9)Мы приходим К следующей формуле Кардана, выражающей корниуравнения(3)черезегокоэффициенты припомощиквадратныхи кубичных радикалов:xo=a+~=Vq..
/q2рЗ-2+ V 4+27qI 4+27"'q2рЗ+13 (-2-1Так как кубичный радикал имеет в поле комплексных чисел три(9) дают три значения дли а и три для ~.Нельзя, однако, применяя формулу Кардано, комбинировать любоезначения, то формулызначение радикала а с любым значением радикала ~: ДЛЯ данногозначения а следует брать лишь то из трех значений ~, котороеудовлетворяет условию (5).1) Безразлично, какой из корней уравнения (8) принять за аЗ и какой за ~3. так как а и ~ в равенстве (6) и (7), а также в выражение (4) дЛЯ ХОвходят симметричным образом.2~6ВЫЧИСЛЕНИЕ[ГЛ.КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНОВ9Пусть а 1 будет любое из трех значений радикала а. Тог да двадругих можно получить, как доказано в § 19, умножением а 1 накубичные корни 8 И 82 из единицы:а 2 =а 1 8,а з =а 1 8 2 •Обозначим через Рl то из трех значений радикала р, которое соответствует значению а 1 радикала а на основании (5), т.
е. al~l =- ~ .два других значения р будутРЗ=Р1 82 .Р2=РI8,Так как, ввиду83= 1,а2Рз=аI8'Р182=аlР183=аlРl=-~ ,то значению а 2 радикала а соответствует значение Р3 радикала Р;аналоги'шо знаI.Jению аз соответствует значение Р2' Таким образо"ll,все 1 ри корня уравнения(3)могут бы гь записаны Сllедующим образом:x 1 =a 1 +Pl'Х 2 =(7.2+Рз=а 1 В+РI 82 ,Х 3 =(7.3 + Р2 =а 1 8 2 + ~18.)(1 О)J}Кубичные уравнения с действительными коэффициентами.
Посмотрим, что можно сказать о корнях неПОIIНОГО кубичного уравнения(11 )если егокоэффициентыдействительны.Оказывается, что в этомСllучае основную роль играет знак выражения ~2+ ~;,в формуле Кардано под знаком квадратного корня.знакэтоговыраженияпротивоположензнакудuC1CpU.ltUI-lа I-lто"'!уравненияЗаметим,чтовыраженияq2р3 )D=-4p3_27q2 =-108 ( т+2'7называемогостоящего(11)'(ср. ниже,§ 54);в дальнейших ФОР"llулировках будет использоваться знак дискриминанта.1)ПустькаждогоизD< О.в этом случае в формуле Кардано под знакомквадратныхрадикаловстоитположитеllьноечисло,а поэтому под знаКО1\! каждого из кубичных радикалов оказываютсяд е й с т в и т е л ь н ы е I.JИСJlа. Однако кубичный корень из действительного ЧИСllа имеет одно действительное и два сопряженных КОМПllексных значения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
