1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Ее существенным недостатком является,однако,громоздкостьвычислений,выполняемыхприпостроениисистемы Штурма, как читатель мог убедиться, проделав все вычисления,относящиесякпервомуизрассмотренныхвышепримеров.Ввиду этого сейчас будут доказаны две теоремы, не дающие точногочисладействительныхкорней, алишьограничивающие эточисло с в е р х у. Эти теоремы, применяе\iые после того, как припомощи графика число действительных корней уже ограниченоДРУГИЕ ТЕОРЕМЫ О ЧИСЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ§ 41]253с н 11 З у, позволяют иногда найти точное число действительных корней, не прибегая к методу Штурма.Пусть данмногочлен [(х) n-й степени с действитеЛЬНЫI1И коэффициентами, причем допускаем,корнями.
Рассмотрим[(х)систему=/0) (х),что онегоможетобладатьпоследовательныхкратнымипроизводных[' (х), [" (х), .•. , ,n- О (х), [сп) (х),(1)из которых последняя равна старшему коэффициенту ао многочлена[(х),n!,умноженному наи поэтому все время сохраняет постоянный знак. Если действительное число с не служит корнем ни одногоиз многочленов системы(1),то обозначим черезS(с) число перемензнаков в упорядоченной системе чисел[(с),[' (с), [" (с), ••• , [(n- 1) (с), , n ) (с).Таким образом можно рассматривать целочисленную функциюопределенную длятехзначений х,которыеS(х) при возрастании х. Пока хне пройдет через корень ни одного из многочленовне можетслучая:измениться.Ввидунуль(1).ни одного из многочленов системыПосмотрим, как меняется числоS (х),не обращают вэтогомыдолжны(1),S (х)числорассмотреть двапереход х через корень многочлена [(х) и переход х черезk ) (х), 1 ~ k ~ n - 1.корень одной из производныхПусть а будет[(а)[-кратныйpкореньмногочлена [(х), [~1, т.
е.= [' (а) = ... = [(/-1) (а) =О,pl)(а)*О.Пусть положительное число в столь мало, что отрезок (а- в, ане содержит корней многочленов [(х),f'(х), ... ,fl - 1)+ в)(х), отличных от а, а также не содержит ни одного корня многочлена/1) (х).Докажем, что в системе чисел[(а-в), ['(а-в), ... ,всякиекакдвавсесоседнихчисла/1-1)имеют(а-в),/1)(а--в)противоположныезнаки,тогдачисла[(а+ в),имеют один и тотстемы(1)нужнолишь[' (аже+ в),...
, /1-1> (азнак. Так как+ в),fl) (а+ Е)каждый из многочленовсиявляется производной от предыдущего многочлена, то намдоказать,чтоеслих проходитчерез корень а многочлена [(х), то, независимо от кратности этого корня, до переход а[(х) и [' (х) имели разные знаки, а после перехода их знаки совпадают. Если [(а- в»О, то [(х) убывает на отрезке (а- 8, а),а потому [' (а-- в)О; ес,'ш же [(а- в)<О, то [(х) возрастает,и потому [' (а- 8)О.
в обоих случаях, следовательно, знаки различны. С другой стороны, если [(ав»О, то [(х) возрастает наотрезке (а, ав), а потому [' (а+ в»О; аналогично из [(ав)О<>+++ <254[гл.ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНОВ9<следует j' (а+ 8)О. Таким обра;юм, после перехода через кореньа знаки j (х) и j' (х) должны совпадать.Из доказанного следует, что при переходе х через l-кратныйкорень многочленаj(x)системаЛХ), j' (х), •• " jtl-l) (х), /е) (х)теряет1пере мен знаков.Пусть а будет теперь корнем производныхj(R) (х), /k+l) (х), ... , /1l+l-1) (х),l:::;;;k:::;;;n-l, l;;Z:l,но не служит корнем ни для j(k- 1) (х), ни для j(fHl) (х).По доказанному выше, переход х через а влечет за собой потерю в системе/k) (х), fk+ 1) (х), .", /k+l- 1) (х), j(k<+ll (х)1 перемен знаков. Правда, этот переход создает, возможно, новуюперемену знаков между /k-l) (х) и /k) (х), однако, ввиду l;;z: 1,припереходехчерезачислоперемензнаковвсистемеj(k- 1) (х), jrk) (х), /k+l) (х), ••• , /k+l- 1) (х), /k+l) (х)или не меняется, или же уменьшается.
Оно может уменьшиться приэтом лишь на четное число, так как МНОГ.Qчлены/k- 1) (х)незначениеменяютИЗасвоихзнаковполученных< Ь, неприпереходерезультатовявляютсяхчерезвытекает,корнями ни длячтоодногоеслии /k+l) (х)а.числа а и Ь,из многочленов сиcme.ttbl (1), то число действительных корней .Atногочлена j (х),заключенных.ttеждуа и Ь иподсчитываемыхраз, какова его кратность, равно разности.меньше этой разности на четное число.каждыйS(а) -Для того чтобы ослабить ограничения, наложенныестолькоS(Ь)илина числа аи Ь, введем следующие обозначении. Пусть действительное число сне· является корнем многочлена j(x), хоти, бы~ь может, служиткорнем для некоторых других многочленов системычерез S+ (с) число перемен знаков в системе чиселj(c), j' (с),f" (с),Обозначим(с),(2)jr k) (с) =/k+l) (с) = •• , =/k+l- 1) (с) =01(3)""j(n- 1) (с), /n)(1).подсчитываемое следующим образом: еслино(4)то считаем fk> (с), j(k+!) (с), , •• , j(k+l- 1) (с) имеющими такой жезнак, как у j(k+l) (с); это равносильно, очевидно, тому, что приподсчете числа перемен знаков в системе (2) нули предполагаютсявычеркнутыми.
С другой стороны, через S_ (с) обозначим числоперемен знаков в системе (2), подсчитываемое следующим образом:если имеют место условия(3) и (4), то считаем, чтоfk+i) (с),ДРУГИЕ ТЕОРЕМЫ О ЧИСЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ§ 41]О ~ i ~ /-1, имеет такой же знак, как иrk +/)255(с), если разность/-ё четная, и противоположный знак, если эта разность нечетная.Если мы хотим теперь определить число действительных корнеймногочлена(х), заключенных между а и Ь, аЬ, причем а и Ь неявляются корнями I(x), но служат, быть может, корнями для другихмногочленов системы (1), то поступаем следующим образом.
Пусть в<1+столь мало, что отрезок (а, а2в) не содержит корней многочлена I(x), а также отличных от а корней всех остальных многочленов системы (1); с другой стороны, пусть fj столь мало, чтоотрезок (Ь- 2fj, Ь) также не содержит корней(х) и отличных отЬ корней остальных многочленов системы (1).
Тогда интересующее1'нас число действительных корней многочлена1 (х)будет равно числу+8+ 8)-действительных корней этого многочлена, заключенных между аИ Ь-fj, т.- S (b-fj)деть,е.,подоказанномувыше,равно разностиS (аили меньше этой разности на четное число. Легко виоднако,чтоS(a+8)=S+(a), S(b-fj)=S_(Ь).Этим доказана следующаяТ е о р е м аи Ь, а<Б ю д а н а-Ф у р ь е.ны.АtИ коэффициентами, то.Аt1-tогочлена,ждыйЕсли действительные числа аЬ, не являются корнями многочленазаключенныхстолькоS+ (a)-S_раз,1 (х)с действительчисло действительnых корнеймеждукаковаегоа и Ь иэтогоподсчитываемых какратnость,равnоразности(Ь) или меньше этой разnости на четное число.Обозначим символом00столь большое положительное значениенеизвестного х, что знаки соо't'ветствующих ему значений всех многочленов системы(1)совпадают со знаками их старших коэффициентов.
Так как этими коэффициентами будут последовательно числаао, nао,n (n-1) ао, ... , n!ао, знаки которых совпадают, тоS (00) = S _ (00) = О. с другой стороны, так как/(0)= а n , l' (О) = a n- 1 , f" (О) = а n _ 2 2!,f'''(о)=.а n _ з з!,... , /n)(О)=ао·n!,1где ао, a 1 , . , . , аn-коэффициенты многочлена(х), то S+ (О) совпадает с числом перемен знаков в системе коэффициентов многочлена I(x), причем коэффициенты, равные нулю, не учитываются.Таким образом, применяя теорему Бюдана-Фурье к отрезку (О, 00),мы приходим К следующей теореме:Тео ре м аД е к а рта.Число положительных корнеймnого1члена(х), засчитываемых каждый столЬ1СО раз, какова егократность, равно числу nеремеn знаков в системе коэффициеnтов этого многочлеnа (причем равныепулю коэффициеnтыnеучитываются) или меньше этого числа па четnое число.Для определения числа отриЩlтельных корней многочлена I(x)достаточно, очевидно, применить теорему Декарта к многочлену256ВЫЧИСЛЕНИЕ[ГЛ.КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНОВf9f(-х).
ПРИ этом, если ни один из коэффициентов многочлена (х)не равен нулю, то, очевидно, переменам знаков в системе коэффициентовмногочленаf(-х)соответствуютв системе коэффициентов многочленас охр а н е н и язнакови обратно. Таким образом,f(>f.)если .многочлен f(x) не U.lrteem равных нулю lCоэффициентов, то'fисло его отрицательных lCopHeu (считае.lrtЫХ с их ICратностя.lrtU)равно числу сохранении 3HaICOB в систе.ме lCоэффициентов илименьшеегоначетноечисло.Укажем е щ е о д н о д о к а з а т е л ь с т в от а,не опирающееся на теорему Бюданаследующую-т е о р е м ы Д е к а рФурье. докажем сначалалемму:Если с> О, то числотов.lrtногочленаlCоэффицие/iтовTlepeMeH 3HaICOB в cucme.lrte lCоэффицие/iчисла nepe.lrleH зпа!сов в систе.мепроизведения (х- с) f (х) на нечетное число.(х)fДействительно,меньшесобирая в скобки стоящие рядом члены одногознака, запишем следующим образом многочленфициент ао которого считаемf(x),старший коэфположительным:+ ...j(x)=(aox n + ...
+b 1 x k ,+1)-(a 1 x k ,+ ... +b 2 x k .+1)(_l)S (asxks+ ... +b s+ 1 x t ).... +Здесь ао> О, а 1 > О,... ,а.<>(5)в то время Kai\ Ь 1 , Ь 2 , ••• , bsbs + 1 считаем строго полоО,положительны или равны нулю; однакожительным, т. е. x t , где'? О,является наименьшей степенью неизf(x) с отличным от нуля коэфвестного х, входящей в многочленфициентом. Скобкаслучайноможета именнотогда, когда k 1состоятьприэтом+ 1 = n.лишьнимо и к другим скобкам формулы (5).Запишем теперь многочлен, равныйпричемn+ 1,будемk1+ 1,(x-c)f(x)=выделять...• k s(аохn + 1лишь+1 иt.из одногоАналогичноечлены,слагаемого.замечаниепримепроизведению (х- с)содержащиехвf(х),степеняхмы получим:+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
