1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 53

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 53)

Укажемеще один пример, хорошо выясняющий широту понятиякольца.Курс математического анализа начинается с определения Ф у н к­ц И И действительного переменного х. Рассмотрим совокупность функ­ций, определенных для в с е х действительных значений х и г.ринимаю­щих действительные значения, и следующим образом определим в этойсовокупности алгебраические операции: суммой двух функций [(х)иg(x)будет функция, значение которой при любом х=х о+paBHUсумме значений заданных функций, т.

е. равно [(х о )g (х о )' nро­изведением этих функций-функция, значение которой при всякомх= х оравнопроизведению[(Х о )' g (Х о )'Суммаипроизведениесуществуют, очевидно, для любых двух функций из рассматриваемойсовокупности. Справедливость свойств1-V проверяетсябез всякихзатруднений- сложение и умножение функций сводятся к сложениюи умножению их значенийпри всякомХ, т.е.действительными числами, для которых свойстваНаконец, считая разностью функцийкоперациям1-Vнадимеют место.j(x) и g(x) функцию, значение[(xo)-g(x o), мы придемкоторой при любом х=х о равно разностик операциивычитания,обратнойсложению.Этимдоказано,чтосово!Суnность фун!Сций, определенных для всех действительных х,после введения в нее описанным выше способом операций сложе­нияи умноженияпревращаетсяв!Сольцо.272поляи[ГЛ.МНОГОЧЛЕНЫ10Другие примеры колец функций можно получить, сохраняя данныевыше олределения операций над функциями, но рассматривая функции,определенные, например, лишь для положительных значений перемен­НОГО х, или функции, определенные для значений х из отрезка [О,1].Вообще кольцом будет система всех функций, имеющих некоторуюданную область определения.

Можно было бы получить также примерыколец, рассматривая не все функции, определенные в данной области,а лишьизучаемые в курсефункции. Можно было бы,математическогоанализас другой стороны,плексные функции комплексногонепрерывныерассматриватьпеременного. Вообще,ком­различныхколец функций, как и различных числовых колец, чрезвычайно много.Переходим к установлению некоторых про с т е й ш и х с в о й с т вк о л е ц,непосредственно вытекающих из определения кольца.

Этисвойства для случая чисел вполне привычны, однако читателю, бытьможет, покажется иногда неожиданным, что они являются следствиямилишь условий1- Vи существования однозначного вычитания.Сначала несколько замечанийо значении условий 1- V. Рользаконов ко,м,,Лtутативности не требует пояснений. Значение законовассоциативности состоит в следующем:вческой операциипроизведенииговоритсяо суммеилиопределенииэлементов. Если же мы попытаемся определить, например,дение трех элементов а, Ь, с,алгебраи­лишьдвухпроизве­то встретимся с таким затруднением:произведения аи и vc, где Ьс=и, ab=v, могут, вообще говоря,не совпадать, т.

е. а (Ьс) :1= (аЬ) с. Закон ассоциативности требует,чтобы эти произведения были равны одному и тому же элементукольца: этот элемент естественно принять в качестве произведения аЬс,записываемого уже без всяких скобок. Больше того, закон ассоциа­тив ности позволяет однозначны,м, образо,м, определить произведе­ние (соответственно, су,м,.иу) для любого конечного числа эле,м,ен­товкольца,любыхnт.е.позволяетдоказатьнезависимостьпроизведенияэлементов от первоначального распределения скобок.Докажем это утверждение индукцией по числу n. Для n=3 оно ужедоказано, поэтому полагаем n3, причем считаем, что для всех чисел, мень­ших n, наше утверждение уже доказано.

Пусть даны элементы al, а 2 , ••• , а nи пусть в этой системе некоторым образом распределены скобки, указывающие>на порядок, в каком должно выполняться умножение.Последним шагом будетумножение произведения первых k элементов a 1a2'" ak (где 1 ~ k ~ n -1 )на произведение Gk+lak+2, .. а n . Так как эти произведения состоят из мень­шего, чем n, числа множителей и поэтому, по предположению, однозначноопределены, то нам остается доказать для любых k и L равенство(a 1a 2 ••.

ak) (ak+ lak+ 2•• ,ДЛЯ ЭТОГG достаточно рассмотретьаn )= (a 1a2 ••• ад (al+1 a l+2,' • а n )·случай 1= k1. В этом случае,+полагаямыполучаемнаоснованиизаконаассоциативностиЬ (а"+1С) = (bak+l) с.Этим наше утвеРЖ.1\ение доказано.однако,§ 44]273кольцоМожно говорить, в частности, о произведении n равных междусобою элементов, т. е. ввести понятие о степен,и а n элемента ас целым положительным показателем п.

Легко проверить, что всеобычные правила оперирования с показателями остаются справедли­выми в любом кольце. Закон ассоциативности сложения при водитаналогичным образом к понятию о кратном па элемента а с целымположительным коэффициентом п.Закон, дистрибутивности, т. е. обычное правило раскрытияскобок, является единственным требованием в определении кольца,связывающим сложение и умножение; lIИШЬ благодаря этому законусовместное изучение двух указанныхоперацийможно было бы получить при их раздеlIЬНОМдаетбольше,чемизучении.

В формули­ровке закона дистрибутивности участвует сумма лишь двух слагаемых.Без всякого труда доказывается, однако, справедливость равенства(а 1 +а 2при любомk,+ ... -1- ak)Ь=а 1 Ь+a 2 b-l- '" +akbа затем и общего правила умножения суммы на сумму.Во всяко.М кольце выполняется закон, дистрибутивности и дляразности. ДействитеlIЬНО, по опредеlIению разности элементУДОВlIетворяета-ЬравенствуЬ+ (а-Ь)=а.Умножая обе части этого равенства на с и применяя к левой частиравенства закон дистрибутивности,Ьсмы получаем:+ (а-Ь) с=ас.Элемент (а-Ь) с является, СlIедовательно, разностью элементов аси Ьс:(а-Ь) с=ас-Ьс.Весьма важные свойства колец вытекают из существования вычи­тания.

ЕСlIИ а есть произвольный элемент кольцаа-абудетнекоторымвполнеЕго роль аналогична ролинуляопределеннымвчисловыхR,торазностьэлементомкольцах,определению он может зависеть от выбора элемента а,кольца.однакопои поэтомумы обозначим его пока через Оа'докажем, что на самом деле элементы Оа для всех а равны междусобой. Действительно,кольцаR,еслиЬ естьто, прибавляя к обеимпроизвольныйчастямдругойэлементравенстваa+(b-а)=Ьэлемент Оа И используя равенство ОаОа+а = а, мы по.1учаем:+Ь=Оа -i-a+ (Ь-а)=а + (b-а)=Ь.Таким образом, Оа= b-Ь=Оь.274поляи[ГЛ.МНОГОЧЛЕНЫtОМы доказали, что всякое колщо R обладает однозначно опре­деленным элементом, CY.JtMa которого С любым элементом аэтого кольца равна а. Будем называть этот элемент нулем кольца Rи обозначать символом О,не считая серьезной опасность смешатьего с числом нуль. Таким образом,а+О =а для всех а изR.Далее, во вСЯКОJt кольце для любого элемента а существуетоднозначно определенный противоположный элеJlент - а, удовле­творяющий равенствуa+(-а)=О,а именно, этимэлементомбудетразностьО-а;однозначностьвытекает из ОДНОJна чности вычитания.

Очевидно, что - (- а) = а.Разность Ь - а двух любых элементов кольца можно записать теперьввидеb-а=Ь+(-а).Действительно,[Ь+ (-а)]+ а=Ь+[( -а) +а]=Ь+О=Ь.Для любого элемента а КОЛbl~а и любого целого положитель­ногочислаn UJteemместо равенствоn (- а)=- (па).Действительно, группировкой слагаемых получаем:nа+n (-а)=n [а+ (-а)]=n.о=о.Мы получилитеперьвозможностьопределитьотрицательныекратные элемента кольца: если f l > О то равные между собой эле­менТЬ} n(-а) и-(nа) будут обозначагься через (-n)а.

Условимси,наконец, нулевым кратным О·а любого элемента а считать нульрассматриваемогокольца.Определение нуля дано нами лишь при помощи операции сложе­ния и ей обратной, т. е. беJ использования умножения.Вслучаечисел, однако, число нуль и по отношеАиio к умножению обладаетодним характерным и притом очень важным свойством. Оказывается,что этим свойством обладает нуль любого кольца: во всяком кольцеl1роизведение любого элемента на нуль равно нулю.

Доказательствонепосредственно опирается на закон дистрибутивности: если а естьпроизвольный элемент кольцательный элемент х этогоR,кольца,то, каковмыбынибылвспомога­получим:а·О=а (x-х)=ах-ах=О.Пользуясь этим свойством нуля, можно доказать, что во ВСЯКО.Jtколы,е для любых элементов а, Ь справедливо равенство(-а)Ь=-аЬ.§ 44]275кольцоДействительно,аЬОтсюда следует,+ (- а) Ь= [а+ (-а)] Ь= О·Ь=О.что хорошо известное и все же несколькоственное правило умножения отрицательных чиселдаетплюс»-такжевытекаетизопределения-таин­«минус на минускольца,т.е.влю~бом кольце и.меет .место равенствоа)(в самомЬ) = аЬ.(-деле,(- а) (- Ь)=- [а (-Ь)]=-(-аЬ)=аЬ.Читатель без труда докажет теперс>, что во всяком кольце длякратных (в том числе и отрицательных) любого элемента остаютсясправедливымивсеправилаоперированияскратныминекоторогочисла.Таким образом, алгебраические операции в произвольном кольцеобладают многими привычными нам свойствами операций над числами.Не следует ду",ать, однако, что любое свойство сложения и умно­жения чисел сохраняется во всяком кольце.

Так, умножение чиселобладает свойством,обратным рассмотренномуи з в е д е н и е д в у хч и с е лр а в н о н у л ю,выше: е с л ит о х о т ябыпро­о д и ни з м н о ж и т е л ей р а в е н н у л ю. Это свойство уже не можетбыть распространено на любые кольца - в некоторых кольцах можноуказатьтакиепарыотличныхкоторых равно нулю, т. е. ас этимот=1= О,Ьнуляэлементов,=1= О,но аЬ= О; элементы а, Ьпроизведениесвойством называются делитеЛЯ-flU нуля.Примеров колец с делителями нуля нельзя найти, понятно, средичисловых колец. Не содержат делителей нуля и кольца многочленовс числовыми коэффициентами. Многие кольца функций обладают,однако, делителями нуля.

Заметим,преждевсего,чтонулемвовсяком кольце функций будет функция, равная нулю при всех зна­чениях переменного х. Построим теперь следующие функциииg (х),j(х)определенные для всех действительных значений х:j(x)=Og(x)=x<прихО,прих<О,Лх)=хприх>О;Оприх>О.g(x) =Обе эти функции отличны от нуля, так как не при всех значениях хравны нулю их значения; произведение же этих функций равно нулю.Не все требования 1 - V, входящие в определение кольца, являются в оди­наковой мере необходимыми.

Характеристики

Список файлов книги