1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 54

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 54)

Развитие науки показывает, что в то времякак свойства сложения 1 и IJ и закон дистрибутивности V имеют местово всех приложениях, включение в определение кольца свойствумноженияи IV часто оказывается и злишне стеснительным, суживая возможнуюобласть применимости этого понятия. Так, множество квадратных матриц1IIпорядка n с действительными элементами, рассматриваемое с операциямисложения и умножения матриц, удовлетворяет всем требованиям, входящимв определение кольца,заисключением законакоммутативности умножения.276поляСнекоммутативнымивтакихважныхиумножени ямислучаях,чтов[гл. 10МНОГОЧЛЕНЫприходитсянастоящеевстречатьсявремяподтактерминомчасто~«кольuо»понимают обычно некоммуmаmивное КОЛЬЦО (точнее, не обязатrльно комму­тативное кольuо, в смысле ВОЗ~!О)Io.ной некоммутаlИВНОСТИ умножения), на­sывая тот частный тип колеи, в которых требование 1] I ВЫПОJjняется, КОМ·lrlymamUBHblMUкольцами.В последнее время повышается интерес и к кольuам с неассоuиативнымумножением и общая теория колеи уже строится сейчас как теория неассо­uиативных (т.

е. не обязательно ассоuиативных) колеu. Простейшим примеромтакихколеuявляетсямножествовекторовтрехмерногоеrшлидовапростра Н­СТ8а относительно операииi'l сложения и (известного из курса аналитическойгеометрии) векторного УМНО}hеНlIЯ векторовПОJlе§ 45.Подобно томузванычисловымиделениекаксреди числовыхПОЛЯМIl(кроме делениятенакольца,нуль),колец быливкоторыхвыделены и на­можновыполнятьестественно сделать это и в об­щем случае. Заметим сначала, что н.и в каКО.+Е кольце н.евозмо'!/Сн.оделен.uе на н.уль ввиду доказанного выше свойствашен.ию к умножению:разделить элемент а нануляпо отно­нуль означает найтив кольце такой элемент х, что О·х=а, что при а=#=О невозможно,таккаклеваячастьравнанулю.Введем следующее определение:Кольцо Р называется полем, если оно состоит не только из одногонуля и если, в нем деление выполнимо, притом однозначным образом,вовсехслучаях,кромеслучаяделениялюбых элементов а и Ь из Р,и знануль,к о т о р ы хН У л я, существует в Р такой элементq,т.Ьпритом лишьJIеслиИ '1 Н ОдляО Те д и н с т в е н­q называется частн.ЫМ элементов а и Ь и обозначается СИМВОЛОМ q=: 1).н ы Й, который удовлетворяетравенствуbq=a.е.о тЭлементПримерами полей служат, понятно, все ЧИСJIовые поля.

Кольцомногочленов от неизвестного х с действительными коэффициентамиили вообще с коэффициентаминвляется полем -изнекоторогочисловогополянесуществующее для МНОГОЧ.'1енов деление с остаткомотличаетсн, конечно, от деления «нацело)), предполагающегося в опре­делении полн. С другой стороны, легко видеть, что совокуnн.остьвсех дробн,о-рацuон,альн-ых фун.кцuЙ сциен.тами (см.деЙствuтельн.ы.uuБУдет полем, содержащим§ 25)кольцокоэффu­многочле­нов, подобно тому как поле рациональных чисел содержит кольцоцелыхчисел.Среди колец функций можно указать некоторые другие примерыполей; мы не будем,кпримерамсовсемоднако,иногонанихостанавливатьсяиперейдемрода.1) Единственность деления в поле, как и предполагавшаяс я в определе­нии кольца единственность вычитания, в действительности без труда могутбыть доказаны при помощи других требований, входящих в определениеполяили,соответственно,кольиа.§ 45]277пОЛЕВсе числовые I<ольца и вообще кольца, которые мы по сих поррассмагривали, содержа г бесконечно много элементов.

Существуют,однако,кольцаидажеполя,состоящиелишьизконечногочислаэлементов. Простейшие примеры конеч//,ых колец и ко//,еч//,ых полей,существенноиспользуемыевособойветвиматематики-теориичисел, строятся следующим образом.Берем любое натуральное числоn,отличное оти Ь называются срав//,и.мы.ми по .модулюа=.Ьеслиэтичисладаютприт. е. если их разностьчиселраспадаетсяnна(mod n),делениинацелоЦелые числа а1.n,наnодинделитсянепересекающихсяиn.натотВсежеOCTaTOI(,кольцоцелыхклассов,(1)сравнимыхMejКДYсобойпомодулюk=O, 1, ... , n-l, состоит из чисел,в остатке k. Оказывается, что можноnчисел,причемдающих приклассделениивполне естественнымCk ,nнаспосо­бом определить сложение и умножение этих классов.Возьмем с этой целью любые (притом не обязательно различные)классы С и С! из системы (1). Складывая любое число из класса С""с любым числом из класса СЕ' мы будем получать числа, лежащиев одн.ом вполне определенном классе, а именно в классе Ck + t , еслиk +! < n,КтакомуиливклассеопределениюCk+l- n 'сложенияCk + Cl = Ck+lCk+Ct=Ck+t-nеслиk+ 1 ~ n.Этопри водитклассов:приk +l<n,приk+l~n.(2)С другой стороны, умножая любое число класса Ck на любое числоклассаC1,мы будемполучатьчисла,сноваопределенном классе, а именно в класседелении произведеНIIЯделение У.Jtноженияk!n.наС"лежащиегдевовполнег-остатокприМы принимаем поэтому такое опре­классов:(3)Систе.lttапо .модулю(1) классов целых чисел,n,делеН//,Ы.Аt условuя.Jtuбований1- V изпосредственнойэтих требованийцияминад(2)и.Аtеждусобой1с оnерация.м,оnре·CpaBHU.lZblXбудет КОЛЫ~О.Jt по отнощениюВ самом деле, справедливость тре­(3).определения кольца без труда устанавливается не­проверкой,вцелыминовытекаеттакжеизсправедливостикольце целых чисел и той связичисламииоперацияминадмеждуклассами,опера­котора\{указана выше.

Роль нуля играет, очевидно, класс Со, состоящий изчисел, нацело деi1ЯЩИХСЯ наn.ПРОТИВОПО.fIOЖНЫМk= 1, 2, ••. , n-1, будет класс Cn -k'дляклассаCk ,В с.исте~tе классов (1) можно278поляопределить,следовательно,и[ГЛ. 10МНОГОЧЛЕНЫвычитание,т.е.этасистемаудовлет­воряет всем требованиям, входящим в определение кольца. Условимсяобозначать полученное кольцо черезЕсли числоnZn.составное, то КОЛЬЦОобладаетZ"НУЛЯ и поэтому, как будет показано ниже,делителя.мине может быть полем.< << <В самом деле, если n= kl, где 1kn, 1 1 11, то классы Ckи СЕ отличны от нулевого класса Со' но на основании определеНИ;lумножения классов (см.

(3)) Cfl· Cl = Со.Если же число n простое, то КОЛЬЦО Zn будет nоле.м.В самом деле, пусть даны классы Ck и С m , причем Ck =1= СО,Т. е. 1kn-1. Нужно показать, что можно разделить Сm на Ck ,Т. е. найти такой класс Cl' что Ck·Ct=C m. Если Сm=С О , то и< <=1= со,Если же С mCl=Co•то рассмотрим систему чиселk, 2k, 3k, ... , (n-1) k.(4)Всс эти числа лежат вне нулевого класса Со, таккак произведениедвух натуральных чисел, меньших простогоn,делиться. Далее,никакие дваневмогутлежатьодномчислаклассе,skтакикакчисланеможетиз системыtkтогдаихна(4), s <n{,разностьtk-sk=(t-s) kделил ась бы наn,в каждомсистемы(4).1<I<n-1,Вненулевомчастности,т.е.вCl·Ck=Cm,частным от деления Сm наклассе лежит ровно одноклассеСmа тогда классClZ2'Z5' Z7' Zl1Переходим кТакимчислолежит числоlk,изгдеи будет искомымCk •Мы получили, таким образом, бесконечнонечных полей: полеполя Zз,n.что снова противоречит простоте числаобразом,многоразличных ко­состоящее всего из двух элементов, а такжеИ т.

д.рассмотрениюн ек о т о р ы хвытекающих из существования деления.Этис в о й с т в п о л е й,свойствааналогичнысвойствам колец, основанным на существовании вычитания,и дока­зываются такими же рассуждениями,доказа­тельствпредоставляетсяпоэтому проведениечитателю.всякое поле Р обладает однозначно оnределен,н,ы.м эле.Jtен,то.м,nроизведен,uе которого на любой эле.,Jtент а этого поля равн,о а.Этот элемент, совпадающий с равными между собоючастным!"аадля всех а, отличных от нуля, называется единиll,ей поля Р и обо­значается символом1.Таким образом,а·1 =адля всех а из Р.Во всяко.м поле для любого элеАtен,та а, отлuчного от нуля,существует однозначно оnределенн,ый обратн,ый эле.мен,т a- 1 ,удов детво ряющuй равенствуа.а- I= 1,§ 45]279ПОЛЕОчевидно, что (а- 1 ) -1 = а.

Частное Ьа именно, а- 1 = lазаписатьтеперьваДля любого элемента а, отличного от нуля, иположительногоможновидечислаnимеет(а-1)nместолюбогоцелогоравенство= (an)-l.Обозначая эти равные между собою элементы через а- n , мы при­ходимкотрицательнымсохраняютсяаО=1дляобычныестепенямправилаэлементаполя,оперирования.длякоторыхПоложим,наконец,всех а.Существование единицы не является характерным Свойством по­лей: единицей обладает, например, кольцо целых чисел.

Вместе с тем,пример кольца четных чисел показывает, что не все кольца обладаютединицей. С другой стороны, всякое кольцо, обладающее единицейи содержащее обратный элемент для любого элеJitента, отлич­ного от нуля, будет полем. Действительно, в этом случае част_ным ~, а =1= О, будет служить произведение Ьа- 1 • Единственностьаэтого частного доказывается без затруднений.Заметим, что никакое поле не содержит делителей нуля. Дей­ствительно, пусть аЬ = О, но а =1= О. Умножая обе части равенства наэлементa- 1 , мы получим слева (a- 1 а)Ь= 1.Ь=Ь, а справаа- 1 .О=0, т. е.

Ь=О. Отсюда следует, что во всяком поле лю­бое равенство можно сократить на общий множитель, отличныйот нуля. В самом деле, если ас = Ьс и с =1= о, то (а-Ь) сО,откуда а-ЬО, т. е. аЬ.===аИз определения частного Ь (где Ь=1= О)и доказанной выше воз-можности записывать его в виде произведения ab- 1 без труда можетбыть выведено, что во' всяком поле сохраняются все обычные npa~вила обращения с дроБЯ,,}tи, а именно:аЬс=dтогда и только тогда, еслиad = Ьс;:!...±!!...._ad±bc.ьd - bd 'асасfj'(j=ьa;-аа-ь-=-ь'Характеристикахраняются в случаеполя,Невсесвойствапроизвольного поля. Так,само с собою несколько раз,числовыхполейскладываясо­число1т.

Характеристики

Список файлов книги