1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Сопоставляя эле\!енту аЫ поля D и) точку (а, Ь),мы получим ввиду доказанной единственности записи вида (2) для+элементов поляD (i)взаимно однозначное соответствие между элементами этого поля и всеми точками плоскости. При этом соответствии действительному числу а соответствует точка (а, О) ввиду ра==венства аа -1- Oi, а эле~lенту i0+ l·i сопоставляется точка (О, 1).С другой стороны, сравнивая формулы (3) и (4) настоящего параграфас формулами (2) и (3) из § 17, мы получаем, что сумме и произведению элементов а 11 ~ поля D (i) согюставляются ТОЧКИ, являющиеся суммой И соответственно произведением точек,сопоставленных элементам а и ~.Этим, так как все поля, изоморфные некоторому данному полю,изоморфны между собой, заканчивается доказательство теоремы.
Мывидим, в 'Iастности, что выбор в § 17 формул (2) и (3) для определения операций над точками не был случайными не может быть изменен.ПОМИМО способов построения поля комплексных чисел, рассматривавшихся выше, существуют и многие другие. Укажем один из них, использующий сложение и- умножение матриц.Рассмотрим некоммутативное кольцо матр иц второго порядка над ПО,1емдействительных чисел.
Очевидно, что скалярные матрицысоставляют в этом кольце подполе, изоморфное полю действительных чисел.Оказывается,однако,чтовкольцематрицвторогопорядканад полемдействительных чисел можно найти такжеподполе, t1.ЗО,lIорФное полюкомплексных чисел. В ca~!O~1 деле, поставим в соответствие всякому комплекснuму числу аЫ матрицу+§4~ЛИНЕ~НАЯ АЛГЕБРА И АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ НАД пОЛЕМЭтим путемвсеполеоднозначно, на частькомплексных чисел отображается,285притом взаимнокольца матриц второго порядка, причемизравенствчто это отображение изоморфное, так как матрицы,частях равенств, соответствуют комплексным числамстоящие(а +с)(а+с b+d)( - аЬ аЬ) + ( - dс d)с = - (Ь + d) а + с '( -Ьавытек ает,в правыхЬ)а •( -dсd)с =(ac-bd ad+bC)-(ad+bc) ac-bd++ (b+d) i=(a+bi)+(c+dl) и (ac-bd) + (ad+bc) i=(a+bl) (c+di). В частности, роль мнимой еднницыi играет матр'ицаПолученный нами результат укаЗblвает на еще один возможныйпостроенняте,которыеполя комплексных чисел, столь жерассматривались§ 47.удовлетворительный,способкак liвыше.Линейная алгебра и алгебра многочленовнадпроизвольнымполемВ тех из предшествующих глав книги, которые посвящены Л ин е й н о й а Л г е б р е,ствительных чисел.гое из этихосновногоглавроль основного поля играло обычно лоле дейБез труда проверяеТСЯ,.однако,дословно переноситсяЧТО очень мнона случай произвольногополя.Так, для произвольногоосnовногополя Р остаютсясправедливы""t-U изложенные 8 гл.
1 .Jtетод Гаусса для решения систоелиnейnых уравнений, теория определителей и правило Hpa.Jtepa.Jlишь замечание о кососимметрических определителях, приведенноевконцеuтл иэ roro§ 4,'1 Н аПолезногл.д в у х.Впрочем,что характеристикадоказательствополя Рсвойства4изже параграфа также теряет силу, если характеристика поля Рравна двум,втребует предположения,о т1хотясамо это своАство остается справедливым.отметитьутверждениелинейных уравненийтакже,очтонеоднократносуществованиибесконечногоувысказывавшеесянеопределенноймножестваразличныхсистемырешенийсохраняет силу в случае любого б е с к О н е '1 н о Г о основного поля Р,НО перестает быть справедливым, если поле Р к О н е '1 н о.Далее, полностью переносятсяногополяI-laслучай произволы-lгоo OCI-lОВuзложеНl-lые в гл.
2 теория лиl-lейl-lОй завUСU.JtостuoelCnlopoo, теорuя pal-lza .Jtатрицы и общая теория cucme.Jt ЛUl-lеUl-lbtХ ypaOIiel-luu, а таlCже алгебра .Jtатрuц из гл. 3.Общая теория lCвадратиЧI-lЫХ фор.л!, посmроеl-ll-lая в § 26, перен,оcuтся I-la случай любого· OCI-lОВI-lОZО поля Р, xapalCmepucmUlCa lCоторого отЛUЧl-lа от двух. Без этого ограничения, как легко по казать,ОСНОВfJая теорема этого параграфа уже перестает быть справедливой.286поляи[гл.МНОгОЧЛЕНЫ10Пусть, например, Р = Z2' т. е. является полем, состоящим И3 двух элементов О и 1, причем 1+1=o, откуда -1=1, и пусть над этим полемдана квадр атичная форма= X 1X 2 • Если существует линейное преобраtзованиеХl= ыlll + Ь12 У2'Х2 = b21Ylпри водящееfl = (bllYl ++ Ь 22 У2'к каноническому виду, то в равенствеb12Y2)(b 21Yl++ Ь 22 У2) = bllb21Y~ + (Ь Н Ь 22 +коэффициент ы l 2 22Ь 12 Ь 21Этот коэффициент равен,преобразования, так какслучаях b 12 b 21 = - Ь 12 Ь 21 •b 12 b 21) YIY2+ b12b22Y~при произведении YIY2 должен быть равен нулю.однако, определителю взятого нами линейногобудет ли b12 b21 = 1 или же b12 b21 =0,-B обоихНаше линейное преобразование оказалось вырожденным.Дальнейшее содержание гл.6 существенноотносится к квадратичным формам с комплексными или действительными коэффициентами.Наконец, для случая nроизвольногоняется вся построенная в гл.u7основногополятеория линейныхР сохраnространствих линейных nреобразованиЙ.
Впрочем, понятие ~арактеристического корня связано с теорией многочленов над произвольным полем,о которой речьбудет идти ниже.Заметим,что теоремаиз§ 33о связи между характеристическими корнями и собственны"olИ значениями примет теперь следующую формулировку: характеристическиекорни линейного преобразования <р, лежащие в основном поле Р, итолько они, служат собственными значениями этого преобразования.Что же касается теории евклидовых пространств (гл.существенно связана8),то онас полем действительных чисел.На случай произвольного основного поля Р могут быть перенесены и некоторые из изложенных выше разделов а л г е б р ы м н ого ч л е н о в. Предварительно необходимо, однако, прrtдать точныйсмыслпонятиюмногочленаДело в том, что втие многочлена -§ 20надпроизвольнымполем.указывались две точки зрения на поняформально-алгебраическаяитеоретико-функциональная.
Они обе могут быть перенесены на случай произвольногоосновного поля. Будучи, однако, равносильными для случая числовыхполей (см. § 24) и, как легко проверить, для бесконечных полейвообще, для конечных полей они уже перестают быть равносильны.Ju..Рассмотрим, например, введенное в § 45 поле Z2' состоящее издвух элементов О и 1, причем 11 = О.
Многочлены х 1 их 2 + 1 с коэффициентами из этого поля являются различными, т. е.+не удовлетворяют алгебраическому определению равенства+многочленов. Вместе с тем, оба эти многочлена при х = О получают значение 1, а при хl-значение О, т. е. как «функцию) от «переменного» х, при ни мающего значения в поле Z2' они должны считатьсяравными.
В поле Zз, состоящем из трех элементов: О, 1, 2, причем=ЛИНЕПНАЯ АЛГЕБРА и АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ НАД ПОЛЕМ§ 47]1 +2=0,1.287в таком же положении наХОДЯТQЯ многочлены х'l+х+ 1Такие примеры можно указать вообще для всех конечи 2х+ныхполей.Таким образом, в теории, относящейся к случаю произвольногополя Р, невозможно принять теоретико-функциональную точку зрения на многочлены.Необходимо, следовательно,придатьполнуюясность формально-алгебраическому определению многочлена. С этойцельюн о вмыпроведемн а Дтакоеп о с т р о е н и епро и з в о л ь н ы мп ол е мк о л ь Ц аР,м н о г о ч л екоторое не используетс самого начала обычной записи многочленов через «неизвестное» х.Рассмотрим всевозможные упорндоченные конечные системы элементов поляР,имеющие вид(1)причемnn ~ О,но при n> О должно быть а,.
=f= О.(1) сложение и умножение в соответствии(4) § 20, мы превратим совокупность этихпроизвольно,Определяя для систем видасформулами(3)исистем в коммутативное кольцо; доказательства необходимыхдляэтого свойств дословно повторяют то, чтодлячисловыхделалосьв§ 20многочленов.В построенномнами кольцесоставляют подполе,системыизоморфноеполювида(а)(случайn= О)Р. ЭТО позволяет отождествить такие системы с соответствующими элементами а поля Р, т. е.положить(а)=а для всех а из Р.С другой стороны, обозначим систему (О,х= (О,Тогда,1)(2)буквой х,1).применяя указанное выше определение умножения, мы получим, что х 2= (О,О,1)и вообщеxk=(O, О, ..• ,0, 1).(3)'-v-"kразИспользуя теперь определения сложенияченных систем, а также равенства(а о ,a1,а2 ,••• ,= (а о ) +(О,••• +(0,an-1 , а,.)al ) +О,+ .••+(0,О, a,._l)'-v-"n-l= (ао) + (a 1 ) (О,имы получим:О,••• ,'-v-"nраз++.'-v-"О,••• ,О,1)='-v----'раз= ао +О, а n )=раз1) (а 2 ) (О, О, 1).!.
•••• +(an_1)(0, О, •.• , О, 1)+(а n )(О,n-lи умножения упорядо·(3),=(О, О, а 2 )•.. ,(2)a1x+ а 2 х2 +nраз••• + an_1xn- 1 + а"хn •288поляТаким образом, всякаяи[гл.многочлtНЫупорядоченная система вида10(1) можетбыть записана в виде МНОГО'lлена относительно х с коэффициентамииз поля Р, причем эта запись будет, очевидно, однозначной. Опираясь,наконец,науже~lOжно перейти к записидоказаннуюкоммутативностьсложения,по убывающим степеням х.Мы построим, следовательно,коммутативноекольцо,котороеестественно назвать коЛЬЦо,м, .Ju-tOгочленов от неизвестного Х надполе'м' Р.
Это кольцо обозначается символом Р [х].В кольце Р(х) содержится ca.!tO поле Р, как уже былопоказано выше. Далее, как и в случае колец многочленов над числовымиполями(см.КОЛЬЦО Р(х) обладает единицей, не§ 20),содержитселиmелеii нуля и не является поле'м'.Если поле Р содержится в БОЛЬШe.kt поле Р,будет llодколщо'м' кольца Р(х]:ВСЯКИЙто кольцоР [х)многочлен с коэффициентами из Р можно считать, понятно, многочленоми на;:( полемР,а сумма и про изведение многочленов зависят только от их коэффициентов и поэтому не меНЯЮ1 ся при переходекбольшемуполю.Для того чтобы лучше представить себе истинный объем понятия«кольцо многочленов над полем Р», посмотрим на него еще с однойстороны.Пусть поле Р содержится в ка lестве под кольца внекоторомкоммутативном кольце L. Элемент сх кольца L называется алгебраически,М, над поле,М, Р, если существует такое уравнение п-й степени,n~с коэффициента'VlИ из поля Р, которому элемент сх удовлетво1,ряет;еслижетакогоуравнен!!янесуществует, то элемент сх называется транщендентны.fft над llоле'м'Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
