1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 55
Текст из файла (страница 55)
е. беря любое целое положительное280поляи[гл.МНОГОЧЛЕНЫ10кратное единицы, МЫ никогда не ПОЛУЧИМ нуля, и вообще все эти кратные, т. е. все натуральные числа, отличны друг от друга. Если жемы будем брать целые кратные единицы в каком-либо конечномполе, то среди них непременно будут равные, так 'как это поле обладает лишь конечным числом различных элементов. Если все целыекратные единицы поля Р являются различными элементами поля Р,т. е.k·1 =/= 1· 1приk =/= 1,то говорят, что поле Р имеет характеристику нуль; таковы, например, всечисловые поля.
Если же существуют такие целые числаравенствоk и 1, что k> 1, но в Р имеет(k -/).1 = О, т. е. в Р существуетk· 1 = [.1, тоположительное кратное единицы, которое окаЗЫВ<lется равнымВэтомслучаеРназываетсяполемместотакоенулю.!(онечн,оu характеристики,а именно характеристики р, если р есть тот первый положитеЛhный коэффициент, с которым единица поля Р обращается в нуль.Примерами полей конечной характеристики служат все конечныеполя; существуют, впрочем, и бесконечные поля, имеющие конечнуюхарактеристику.ЕслиполеРU.+teemхарактеристикуn pocmbt.+t.действительно, из равенства рбы равенствобыть(s.I)(t.l)=p·l=O,делителей нуля, или s· 1 = О,=Если характеристика.+teumaхарактеристикаполячисло< р,так как в поле,. 1 =илиО, что,р будетвытекалоне можетоднако, прон а и м е н ь ш е г ополообращающего единицу поля в нуль.тюля Р равн,аll.+teem .Jtecmoа из этого ТLOлятоst, где s <р, tт.
е.,тиворечит определению характеРJlСТИКИ какжительного коэффициента,р,Р равн,а. Ор, тодлялюбого элеравен,ство ра= О. Если жеиa-эле.М.ен,тэтогополя,n -целоечисло, то из а =1= О и n =1= О следует па =/= О.Действительно, в первом случае элемент ра, т. е. сумму р слагаемых,равных а,можно,ра=вынося а за скобки, представить в видеа (р.1)=а·О=О.Во втором случае из равенства па=О, т. е. а(п.l)=О, следовало бы при а=/=О равенство n·l =0, т. е., так как характеристика поляравна нул ю,n=О.Подполя, расширения. Пусть в поле Р некоторая часть его элементов, составляющая множество Р', сама оказывается полем поотношению к тем операциям,которыеопреде,1ены в поле Р,т.
е.для любых двух элементов а, Ь из Р' содержащиеся в поле Р элементыа+Ь, аЬ, а-Ьи, приЬ=/=О,аьпринадлежаткР'(за-коны 1- У, выполняясь в Р, будут, конечно, выполняться и в Р').Тогда Р' называется подполе.+t поля Р, а Р- расширением поля р'.Понятно, что нуль и единица поля Р будут содержаться также в Р'11 служить дЛЯР' нулем и единицей. Так, поле рациональных чиселизоморфизм КОЛЕЦ (ПОЛЕЙ)§ 46]является подполемполя действительныхбудут подполями поля281чисел;всечисловые полякомплекснЫх чисел.Пусть в поле Р даны подполе Р' и элемент с, лежащий вне Р',и пусть мы нашли минимальное подполе Р" поля Р, содержащее иР', и с.
Такое минимальное подполе может быть только одно, таккак если бы Р'" было еще одно подполе с этими свойствами, то пересечение подполей Р" и Р'" (т. е. совокупность эле~!ентов, общихобоим подполям) содержало бы Р' и элемент с и вместе с любымидвумя своими элементами содержало бы их сумму (эта сумма должнасодержаться и в Р", и в Р''', а потому и в их пересечении), а такжеихПРОIlзведение,разностьичастное; иными словами, это пересечение само было бы подполем, в противоречие с минимальностью подполя Р". Мы будем говорить,нием 'с полюР'чтоэле.лtентаС,иполеР" получен,оупотреблятьприсоедин,езапись Р" = Р' (с).Понятно, что поле Р' (с) содержит, помимо элемента с и всехэлементов поля Р', также все элементы, которые пuлучаются из нихпри помощи сложения, умножения, вычитании и деления.примера укаже~1на рассматривавшееси в§ 43циональных чисел, состоящее из чисел внда аВ качестверасширение поля ра-+ Ь Vfс рациональными а, Ь: это расширение получается присоедииением к полю рациональных чисел числа§ 46*.V2.Изоморфизм колец (полей).
Единственность полякомплексныхчиселВ теории колец большую роль играет понятие изоморфизма.Именно, кольца L и L' называются иЗОАtoРфНblМU, если между нимиможноустановить такое взаимнооднозначное соответствие, при котором для любых элементов а, Ь изментова', Ь'изL' сумме а+ЬLи соответствующих им элесоответствуетсуммаа'+ Ь',апроизведению аЬ соответствует произведение а' Ь'.Пусть между кольцами L и L' установлено изоморфное соответствие.
При этом соответствии нулю О /Сольца L соответствуетн,ул!> О' /Сольца L'. Действительно, пусть элементу О соответствуетэлемент с' изL'. Берем произвольный элемент а из L и соответствующий ему элемеАт а' изL'. Тогда элементу а+О должен соответствовать элемент а'+с'; но а+О=а, поэтому а'+с'=а',откуда с' = О'. Далее, элемен,ntУ - а соответствует ЭЛемен,т- а'. Действительно, пусть элементу - а соответствует эл~мент d'.Тогда элементу аа)О долженсоответствовать элемента'd', т.
е. а'd' = О', откуда d' = - а'. Отсюда следует, что раз++н,ости элемен,тов+ (-=из L соответствует разноr;ть соответствующих элемен,тов в L'. Аналогичными раССУЖЛ,ениями можно показать,что если кольцо L обладает единицей, то образ этого элемента(т. е. элемент, соответствующий ему в L' при рассматриваемомизоморфизме) будет единицей кольца L', и если элемент а из L282поляи[гл.МНОГОЧЛЕНЫ1Ообладает обратным элементом а-!, то образом элемента a- 1 в L'будет элемент, обратный к а'.Отсюда следует, что КОЛЩО, изоморфное полю, само будетполем. Легко видеть также,что свойство кольца не иметь делителей нуля также сохраняется при изоморфном соответствии. Вообще,изоморфные кольца могут отличаться друг от друга природой своихэлементов, ноствам;онитождественныпосвоим алгебраическимвсякая теорема, доказанная относительно не которогосвойкольца,будет справедливой для всех колец, с ним изоморфных, если тольков доказательстве теоремы использовались лишь свойства операций,а не индивидуальные свойства элементов этого кольца.
По этой причине мы не будем считать изоморфные кольца или поля различными; онитогожебудуткольцадт[я нас лишь разнымиилиэкземплярамиодного иполя.Применим это понятие к вопросу о построении поля комплексных чисел. Изложенная воснованнаяна§ 17использованииКОНСТРУКЦИЯ поля комплексных чисел,точекплоскости,неявляетсяединственно возможной. Вместо точек можно было бы взять отрезки (векторы) на плоскости, выходящие из начала координат, и, задавая этивекторы их компонеНТqМИ а,Ь на осях координат, определить сложение и умножение векторов при помощи тех же самых формули(3)из§ 17,как и в случае(2)точек плоскости. Можно было бы,далее, вообще отказаться от привлечения геометрического материала;замечая,чтоиточкиплоскости,ивекторы на плоскости задаютсяупорядоченными парами действительных чисел (а, Ь), можно простовзятьсовокупностьвсех таких пар и в ней ввести сложение и умножение по формулам (2) и (3) из указанного параграфа.На caM{jM деле все эти поля оказались бы по своим алгебраическим свойствам неразличимыми, как показывает следующая теорема:ВсерасшU[;енияполяприсоединением к полюдействительныхDчиселD,полученныеКОРНЯ уравнениях 2 +1=О,(1)изоморфны между собой.Пусть, в самом деле, дано какое-либо поле Р, являющееся расширением полянию(1).Dи содержащее элемент , удовлетворяющий уравнеВыбор обозначения для этого элемента находится в нашемраспоряжении, и мы употребим для этой цели буквузом, имеет место равенствоведение встепеньi2 + 1 = О(откудаi.Таким обраi 2 = -1),где вози сложение нужно понимать в смысле операций,определенных в поле Р.
Мы хотим найти сейчас поле D и), получающееся присоединением к полю D элемента i, т. е. найти минимальное подполе поля Р, содержащее и поле D, и элемент i.Рассмотрим для этой цели все те элементы а ПО.1Я Р, которыеможнозаписатьввиде(2)изоморфизм КОЛЕЦ (ПОЛЕЙ)§ 46]283где а и Ь-произвольные действительные числа, а произведениечисла Ь на элемент i и сумму числа а с этим произведением следуеl'понимать в смысле операций, определенных в поле Р. Никакой эле·мент а поля Р не может обладать двумя различными эаписями такоговида:иза= a--l-bl = a--l-blи Ь =1= Ь следовало бы....t=--,Ь-Ьа-ат. е.
i оказалось бы действительным числом; если же Ь = ь-: то иа = а. к числу элементов поля Р, записываемых в виде (2), принадлежат,вчастности,также сам элементiвсе действительные числа (случай Ь=О), а(случай а=О, Ь=l).Покажем, что совОICУn/1,осmь всех эле.лtе/1,mов вида (2) составляетподполе поля Р; это и будет тогда искомым полем D (i). Пусть намданы элементы а= а --1- bl и ~ = с --1- di. Тогда, используя коммутативность и ассоциативность сложенияимеющие место в полеa--l- Р =Р,получаем:(а +Ы)+ (с+ di) =изакон дистрибутивности,(а+ с)--I-(bl + di),откудаa--l-~ = (а+ с)т.е.этасумма+ (Ь+ d) i,снова принадлежит к(3)рассматриваемому множествуэлементов.
Далее,-~ = ( - с)+ (-d)i,так как, ввиду (3), тогда будет справедливо равенство ~= 0+ Oi = О; поэтомуa-~ =а+ (-~)т.е. и вычитание не выводит=ций в полеР (см.§ 44),и(а-с)+ (b-d)i,на,с зажества. Снова используя свойства+ (- ~)=пределыI-V,опираясь(3')рассматриваемогомноимеющие место для операнаравенствоi2 = - 1,мыполучаем:+ adi + bci + bdi2,ар = (ас- bd) + (ad + Ьс) i;a~ = (а+ Ы) (ст.е.+ di) =астаким образом, произведение двух любых элементов вида(4)(2)сновабудет элементом этого же вида. Предположим, наконец, что ~ =f:: О,т. е. хотя бы одно из чисел с, d отлично от нуля.
Тогда будеl'также c-di =1= О и(с--1- di)(с -di) = с 2 - (di)2 = с 2 _ d 2L2 = с 2 --1- d 2,284поляпричемс2+ d 2 =1= О.и{ГЛ.МНОГОЧЛЕНЫПоэтому, используя отмечавшеесяствующем пара графе утверждение,что во всякомв1Опредшеполе сохраняютсявсе обычные правила обращения с дробями, а поэтому, в частности,дробь не меняется от умножения ее числителя и знаменателя на одинитот жеотличныйаота+Ь!l\=c+dt=т.е.нуляэлемент,(a+bt) (c-di)(c+di) (c-d!)=получаем:(ac+bd) + (bc-ad)ic2 +d2Iэлемент(4')снова имеет вид(2).Покаже'll. теперь, что получеliliое l-lа.лtu подполе D (Ё) поля рuзо.ttорфн-о то.пу полю из mочеlC ПЛОСlCосmu, lComopoe было поcmpoelio 8 § 17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
