1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 50
Текст из файла (страница 50)
)-(a~xkl +1 + ...)+ .. .... +(_1)S(a:xks +1 + ... -cbs + 1 x t ),где а;=а,+сы' i=l,2, •..• s,строгоТакимположительны.(6)и поэтому, так как С>О, BceClj,'образом, в системе коэффициентовчленами аохn и - a 1 x k , (а также между члемногочлена j(x) междунами -a 1 x k , и a 2 x k • и т. д.) была одна пере мена знаков, а у многочлена (x-c)f(x) между соответствующими членами аох n +1 и_a~xk,+l (соответственно между членами-а~хk,+l и a;x k.+ 1 и т.
д.)будет или одна перемена знаков, или больше, но тогда непременнонач е т н оечисло. Точные места этих перемен знаков нас не будут§ 41]ДРУГИЕ ТЕОРЕМЫ О ЧИСЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛhНЫХ КОРНЕА257при этом интересовать; может случиться, например, что коэффициентприВ (6) отрицатеnен, как и коэффициент -a~, а поэтомуXk, +2между этими двумя соседними коэффициеtfтами нет перемены знаков,т. е.в первой скобке перемены знаков расположены где-то раньше.Заметим теперь, что последняя скобка в(5) не содержала никаких(6) их содержит,перемен знаков, в то время как последняя скобка впритомн е ч е т н о ечисло: достаточно учесть, что последние от личные от нуля коэффициенты многочленов j(x) и (x-c)j(x), т.
е.(-1)ВЬ В + 1 и (-1)В+1Ь в + 1 с, имеют разные знаки. Таким образом,при переходе от j (х) к (х- с) j (х) общее число перемен знаковвсистемеIшэффициентовнечетноечислонечетно,а(суммаостальныенепременнонесколькихчетны,увеnичивается,слагаемых,будет,однопритомизнакоторыхпонятно,нечетной!).Леl\lмаДекартаобозначимчерездоказана.Длядоказательстватеоремы(Xl' (Х2' ••• , (Xk все ПQ.'IOжительныекорнимногочленаj(x). Такимобразом,где <р (х)-многочлен с действительнымикоэффициентами, ужеимеющий положительных действительных корней. Отсюдачто первый ипоследнийотличныйотнулянесnедует,коэффициенты многочлена <р (х) одного знака, т.
е. система коэффициентов этого многочлена содержит четное ЧИСJIO перемен знаков. Применяя теперь доказаннуювышемы получим,леммупоследовательночто числопеременкмногочленамзнаков всистемекаждый раз увеличивается на нечетное число,четное число,а поэтомуциентов многочленаПрименимвышеjтеоремычисло перемен(х) больше числаДекартаиБюдана -коэффициентовт.
е. на единицу плюсзнаков в системе коэффиkна четное ЧJIСЛО.Фурьек рассматривавшемусямногочлену1I(х) = х·+ 2х4 -5х'.!+ 8х2-7х- 3.Число перемен знаков в системе коэффициентов равно трем, и поэтому,по теореме Декарта, h (х) может иметь три или один положительньпi корень.С другой стороны, h (х) не имеет равных нулю коэффициентов, а так какв системе коэффициентов два сохранения знаков, то h (х) либо имеет дваотрицательных корня, либо не имеет ни одного. Сравнивая с результатами,полученными ранее при помощи графика, мы получаем, что два есть точноечисло отрицательных корней нашего многочлена.Для точного определения числа положительных корней воспользуемсятеоремой Бюдана -Фурье, причем применим ее к отрезку (1, 00), так какв § 39 уже было показано, что 1 служит нижней границей положительных258[гл.ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНОВкорней многочленабыли выписаны в §h (х).
Последовательные производные h39. Найдем их знаки при х= 1 и х = 00:I (х) I (х) I (х) Ihh'h"h'"х=!х=оо+jI+j+jI(х)(х)h IV+I ++IужеЧисло переменII+(х) также9знаков+о+Отсюда следует, что система производных теряет при переходе х от 1 до 00одну перемену знаков, а поэтому h (х) имеет ровно один положительныйкорень.в связи с этим примером заметим, что вообще при раз ы с к ан ии ч и сл а Д е й ст в и т е л ь н ых к О р Н е йдует начинатьтеорем Декартас Л у чаяхм н о Г о чЛ е н ас Л ес построения графика и примененияипер е х о Д яБюдана-Фурье, лишькп о с т р о е н и юв крайнихс и с т е м ыШ т у р м а.Теорема Декарта допускает некоторое уточнение в том частномслучае,когда заранее известно, что все корни многочлена действительные,какэтоимеетместо,например,дляхарактеристическогомногочлена симметрической матрицы.
Именно:Если все ~OPHи .многочлена [(х) действительные, а свободныйчленотличенэтогоот.многочленануля,р а в н оточислочислуположительныхk181nepe.tteHзнаковв~opHeйсисте.меего коэффициентов, а число k 2 отрицательных ~opHeй равночислу 82 nере.мен знаков в систе./,ее ~оэффицuентов .многочлена[(-х).Действительно,при наших предположенияхk 1 +k 2 = n,гдеn-(7)степень многочлена [(х), и, по теореме Декарта.(8)Докажем, что(9)Доказательство будем вести индукцией поввидуиза 1 =1=0ao=l=O,переменазнаковn,имеетсятак как прилишьуn= 1одногомногочленов[(х) = а0х+а 1 • [(-х) = -аох+а 1 •т. е. для этого случая 81+82= 1. Пусть формула (9) уже доказанаДЛЯ многочленов, степень которых меньше[(х) = аох!' + all _ 1x 1+n.Если... + а 1l •259ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЕЙ§ 42]где l~n-l,a n _ l :;60,то положимg(x)=an_tx l + ••• +а n ·Тогда+ g(:c),I(x)=aox n'11 (-:с) = (-l)naoxn+ g(-x).'Если 81 И 82 будут соответственно числа перемен знаков в системахкоэффициентовмногочленовпредположению (ясно, чтоg(х) иg (-х),то,по индуктивному1;;;;.
1),8~ +8~ ~ [.Если l=n-1, то перемена знаков на первом месте, т. е., для/(х),между ао и а 1a n - l будет лишь у одного из многочленов (х),(-:с), а поэтому1=11~81 +82=8'1 +;2 +Если же1 ~ n - 2,у каждого[+ 1=n.то возможны перемены знаков на первых местахиз многочленовI(x), I(-x),однако и в этомслучае~8~ +8~+2 ~ [+2 ~ (n-2) +2=n.(7), (8) и (9), получаем, что81 +82Сопоставляяk 1 =81'k 2 =S2'что И требовалось доказать.§ 42.ПриближенноеИзложенные в предшествующихпроизвестиотделениес действительнымиуказатьграницы,выqисление корнейпараграфах методы позволяютдействительныхкорнеймногочленаI(х)коэффициентами, т. е.
для каждого из корнеймеждукоторыминаходитсятолькоо Д и нэтоткорень. Если эти границы достаточно узки, то любое число, заключенное между ними, можно считать приближенным значением искомого корня. Таким образом, после того как методом Штурма (иликаким-либо другим, более экономным способом) будет установлено,что между р а ц и о н а л ь н ы м и числами а и Ь содержится лишьодин корень многочленаI(x),остается задача настолько сузить этиграницы, чтобы новые границы а' и Ь' обладали наперед заданнымчисломсовпадающихпервыхдесятичныхзнаков;этимискомыйкорень будет вычислен с заданной точностью.Существуетмногометодов,позволяющихдостаточнобыстронаходить приближенное значение корня с требуемой точностью.
Мыукажем два из них,совместномтеоретическиупотребленииболеепростыеи общие и придостаточно быстро приводящие к цели.Следуетзаметить, что методы, которые будут сейчас изложены,применимы не только к многочленам, но и к более широким классамнепрерывных функций.Будем считать дальше, что CG есть про с т о й корень многочленаI(x),так как от кратныхкорней мы всегда можем освободиться,260ВЫЧИСЛЕНИЕи что корень а уже отделенследует, в частности,- чтоf[гл.КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНОВграницаМIl а 11 Ь, а< а<9Ь; отсюда(а) и [(Ь) имеют разные знаки.Метод линейнои интерполяции (называемый также м е т о д о мп о л о ж е н и я).В качестве приближенного значениякорня а можно было бы принять,например, полусумму границ ал ож н о Г оа+Ьи Ь, -2-' т.
е. середину отрезка, имеjOщего концами а и Ь. Болееестественно,однако, предположить,что корень лежит ближе к ТОЙиз границ а, Ь, которой соответствуетменьшее по абсолютной величине значение мн()гочлена. Метод лин ейнойв ТОМ,что в качествеприближенногочисло с, делящее отрезок (а, Ь) наинтерполяции состоитзначении'1 асти,корняа беретсяпропорциональные абсолютным величинам чисеJl [(а) и [(Ь), т. е.f (а).с-аЬ-с= - t (Ь)'знак минус в правой части поставленимеют разные знаки.ввиду того, ,что [(а) и [(Ь)ОтсюдаЬ! (а)-а{ (Ь)С= t(a)-f(b) •Геометрически\как показывает рис.(1)1о,метод линейной И/перполяции заключается в том, что на отрезке (а, Ь) кривая у= [(х)заменяется ее хордой, соединяющей точки А (а, [(а)) и В (Ь, [(Ь)), и в качествеАприближенного значения корня а принимается абсцисса точки пересечения этойхордысосьюх.Метод Ньютона.
Так как а -простойкорень многочлена [(х), то ['(а) =1= о. IIримем, что также и[" (а) =1= о, так как иначевопрос сводится к вычислению корня мновРис.гочлена{' (х),пень, чем10.j(x).имеющегоменьшую стеГ1римем, далее,что отрезок (а, Ь) не только не содержит корней[(х), отличных от а, но и не содержит ниодногокорнямногочленаТакимобразом, как['(х), а такжеследует из курсаимногочленаматематического{'(х) 1).анализа,кривая у =[ (х) на отрезке (а, Ь) либо монотонно возрастает, либо монотонноубывает, а такжелибо во всехточкахэтогоотрезка обращена выпуклостью вверх, либо во всех точках обращена выпуклостью вниз.
В расположении кривой на отрезке (а, Ь)1) Сужение границ, приводящее к тому, что это условие будет удовлетворяться, достигается оБЫ'IНО без всяких затруднений, так как методы,изложенные ранее, позволяют установить число корней многочленов /' (х)и n (х) в любом отрезке.tмогут261ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЕЙ§ 42]встретиться,следовательно,четыреслучая,представленныхна черт.II-14.Обозначим через ао тот из пределов а и Ь, в котором з н а к [(х)совпадает со зна ком ["(х). Так как [(а) и [(Ь) имеют разныезнаки, а [" (х) сохранпет знак на всем отрезке (а, Ь), то такое аоможет быть указано. В случаях, представленных на рис. 11 и 14,вАРис.Рис11.=12.==будет аоа, в двух других случаях аоЬ. В точке кривой у[(х)с абсциссой ао, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
