1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 47

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 47)

Построим 9ТОТ график (рис. 9) 1), беря лишь целыезначения х и вычисляя соответствующие значения h (х) хотя быметодом Горнера:!II (х)хh-4-3-2-1-О391448318-3-41239Мы видим, что многочленвсякомслучае имеет трительныхкоренькорняа2ииаз,(х) во-положительныйдваотрицательныхкорняа1hдействи­причем1 <а 1 <2,<а 2 <О,-1-4<а з <-3.Информация о (действительных)корняхотРис.многочлена,получающаясярассмотрения графика, практи­ческиобычно оказывается весьмаУДОВJlетворительноЙ.

Однако каж-9.дый раз остаются сомнения, дейст­вительно ли нами найдены все корни. Так, в рассмотренном при­мере мы не показали, что правее точки х = 2 и левее х = - 4уже нет корней многочлена. Больше того, так как мы брали лишьцелочисленныезначения х,томожно допустить,чтопостроенныйнами график не вполне точно отражает истинное поведение функ­ции h (х), не учитывает, быть может, ее более мелких колебанийиП09ТОМУупускаетнекоторыекорни.Правда, можно было бы при построении графика брать не толькоцелочисленные значения х, а значения с точностью до0,1или0,01.Этим, однако, сразу чрезвычайно усложнилось бы вычисление значе­ний h (х), в то время как отмеченные выше сомнения отнюдь не былибы ликвидированы.

С другой стороны, можно было бы методами1) На рисунке масштаб по оси у ВЗЯТ В десять раз меньшим, чем по оси х.§ 39]ГРАНИЦЫ243КОРНЕЙматематического анализа исследовать функцию h (х) на максимум иминимум и таким путем сравнить наш график с истинным поведениемфункции; это приводит,h'однако,к вопросу о корнях производной(х), т. е. к такой же задаче, как и та, которой мы занимаемся.Отсюда вытекает потребность в более совершенных методах дляразыскания границ,между которымирасположены действительныекорни многочлена с действительными коэффициентами, и для опре­деления числа этих корней.

Сейчас мы будем заниматься вопросомог р а н и цахд е й с т в и т ел ь н ыхкорней, отнеся вопрос об ихчисле к следующим параграфам.доказательство леммы о модуле старшего члена (см.§ 23)ужедает некоторую границу для модулей корней многочлена. Действи­тельно, полагая внеравенстве(3) § 23 k = 1,мы получаем, что приАI х I ~ 1 + I ао I '(1)где ао-старший коэффициент, а А-максимум мо-дулей остальныхкоэффициентов, модуль старшего члена многочлена больше модулясуммывсехостальныхJJетворяющеечленов,неравенствуа(1),поэтомунемногочлена.Таким образом, для многочленафициен,тами числолеи всех его1служитьh (х)= 8,х, удов­корнемэтогос любыми числовыми коэф-верхн,ей гран,ицей для .AtOay-действительных и комплексных.рассмотренного выше многочленаАt (х)+ 1:0 I служиткорней,никакое значениеможетТак, дляэтой границей, ввиду ао= 1,служит число 9.Эта граница обычно оказывается, однако, слишком высокой, осо­бенно если мы интересуемся лишь границами действительных корней.Сейчас будут изложены другие методы, более точные.

При этом сле­дует помнить, что если указываются границы, между которыми должнысодержаться действительные корнин еу т в е р ж д а е т с я,ч т омногочлена, тот а к и ек о р н ин аэ т и мв о в с ес а м о мд е л есуществуют.Покажем сначала, что достаточно уметь н,аходить лишь верх­нюю границу положительных корней любого многочлена. В самомделе, пусть дан многочленней границей егоt (х)степениnи пустьNoбудет- верх­положительных корней. РассмотримfPlмногочлены(х) =xnt( ~) ,t (-х) ,fPз (х) =xnt( - ~)fP2инайдембудутверхние(х)=границы их положительныхсоответственночислакорней;пусть это1N 1 , N 2 , Nзо Тогда число "fl; будет244ВЫЧИСЛh~ИЕКОРНЕЙ[гл.МНОГОЧЛЕНОВнижней границей положительных /{ОРlий .Аtl-lогочленаj(x),есть положительный кореньнем для ер1 (х),N2-11из-а<N1ложительные< х<j(x):если абудет положительным кор­а1а> -N • Аналогично числа1•служат соответствеино нижнеu и верхнеи граliицамu311следуетотрицательных /{орн,ей мн,огочленаN1-•- NиИто9корниN o,jмногочлеllа [(х)(х).Таким обраiОМ,удовлетворяютвсепо-неравенствамвсе ОТРИl,а геЛЬ'iые KOPIНl- неравенствам1<X<-N'3-N 2для определения верхней границы положительныХ корней можноприменить следующийметод.Пусть дан+ а1хj (х)= аох nn-1многочлен+ ...

+ а nс действительными коэффициентами, причем а о > О. Пусть, далее,a k , k ~ 1, будет первым из отрицательных коэффициентов; если бытаких коэффициентов не было, то многочленj(х) вообще не мог быиметь положительных корней. Наконец, пусть В будет наибольшаяиз абсолютных величин отрицательных коэффициентов. Тогда чuслослужит верхней границей nОЛожuтельн,blХ /{орней Jtногочлен.аВ самом деле, полагая х>тов а 1 , а 2 ,a k + l'.•. ,ak -••• ,аn -многочлена,т.В,-мыт.

е., ввиду х>n-kak ,уменьшить значение+хn-Il-l+ ... +х+ 1)=а о хn -В xn-k+1_ll'-1:-1,Лх»аох n -BXn-k+1х-Ix n - k +1=x=г[a o x k - 1 (X-1)-Bj..+ V1B-,х> 1така каждый из коэффициентовможем лишьеnто,j(x).и заменяя каждый из коэффициен­1 числом нуль,числомj (х) ~ аох -В(хЕсли1ао(2)(3)какaox k - 1 (x-l) -B~ а о (х-1 )k_B,выражение в квадратных скобках в фОР\lуле (2) окажется положи­тельным, т. е., ввиду (2), значение j(x) будет строго положитель­ным.

Tar<IIM образом, значения х, удовлетворяющие неравенству (3),не мог)'т служить корни ми для j(x), что и требовалось доказать.§ 39]ГРАНИЦЫ КОРНЕЙ245Для рассмотренного выше многочлена h (х) этот метод дает,ввиду k2 и В= 7, в качестве верхней границы положительных=корней число 1целым числом+ V7,что можно заменить ближайшим б6ЛЬШИ\14.Из многочисленных других методов разыскания верхней гран,ИЦЫположительныхкорнеймыизложи"еще лишь.метод Ньютона.Этот метод более громоздок. чем изложенный выше, но зато даетобычно очень хороший результат.Пусть дан многочлен /(х) с действительнымикоэффициентамии положительным старшим коэффициентом а о . Если при Х= с м,н,ого­f(x) и все его nоследоватеЛb1lые nроиЗ80дн.ые f' (х), f" (х), ....

. . , /(n) (х) nринимают положительные значения, то число с слу­жит верхней tpaHUI,eu nоложитеЛb1lЫХ корней.В ca~IOM деле, по формуле Тэйлора (см. § 23)членf(x)=/(с) + (х- c)j' (с) + (х-с)2 '"2~C) + ... + (х-с)n f(n~~C)•Мы видим, что если х ~ С, то справа будет стоять строго положи­тельноедлячисло,т.е.такиезначения хнемогутслужитькорнямиf(x).При разыскании для данного многочлена /(х) соответствующегочисла с полезно поступать следующим образом. Производная/(n) (х)=1) (х)n!а о является положительным числом, поэтому многочлен=/(n-является возрастающей функцией х. Существует, следовательно, та­кое число с 1 ' что при Х ~ С 1 производная /("'-1) (х) положительна.Отсюда следует, что при х ~ С 1 производная /Cn- 2 ) (х) будет возра­стающей функцией х, поэтому существует такое число с 2 , С 2 ~c1 ,что при Х ~ С 2 производная /Cn-2) (х) также будет положительной.Продолжая далее,мы дойдем,наконец, до иСкомого числасПрименим метод Ньютона к рассматривавшемуся выше многочленуМы имеем:h (х).h (х) =х Б + 2х 4 -5ХЗ +8х 2 -7х-З,h'(х)=5х 4 +8х З -15х 2 + 16х-7,h"(х) = 20х 3h'·(х)=+ 24х2-ЗОх+ 16,60х 2 +48х-ЗО,h'v (х) = 120х +48,h V (х)= 120Легко проверить (хотя бы методом Горнера), что все эти многочленыположитеЛЬ'IЫ при х = 2 Такиr,\ образом, число 2 СЛУJhИТ верхней ГРi\lIицейположительных корней многочлена h (х)-результат, много более точный,чемполученные выше другимиметодами.246выqИСЛЕНИЕКОРНЕЙ[гл.МНОГОЧЛЕНОВДля разыскания нижней границы отрицательных корней многочленарассмотрим многочлен <Р2 (х) = -h (-х) 1).

Так как9(х)h<Р2 (х)=х Б -2х 4 -5х 3 -8х 2 -7х+З,<p~ (х)= 5х 4 -8х 3 -15х 2 -16х-7,<p'~ (х) = 20x 3 -24х 2 -ЗОх-16,<р"; (х) = 60х 2 -48х-ЗО,<p~Y (х) = 120х-48.<p~ (х) = 120.а все этичисло4МНОГОЧЛ€JlЫположительны.каклегко проверить. при х =этому числобудет-4нижнейграницейотрицательныхкорнейдлято4.служит верхней границей положительных корней для <р2 (х), Иhпо­(х).Рассматривая, наконец. многочлены<Pl(х) =-~)x 5h (=Зх 5 + 7х4 -8х 3 + 5x 2 -2x-l.<Р3 (х)=- x 5h ( - ~ ) =Зх 5 -7х 4 -8х 3 -5х 2 -2х+l.мы найдем для них. снова применяя метод Ньютона, в качестве верхнихграниц положительных корней соответственно числа 1 и 4. а поэтому ниж-ней границей положительных корней многочлена• •верхнеи же границеиТакимобразом,между числами1иотрицательныхкорнеи-числоноложительные2.отрицательныеЭтот результат очень хорошопри рассмотрении графика.§ 40.(х) служит числоh•корнимногочленатем,1,-4'корни-междусогласуется с+=1чтоh (х)расположенычисламибыло-4инайдено1-"4 .вышеТеорема UПтурмаТеперь мы перейдем к вопросу оч и с л ед е й с т в и т е л ь ны хк о р н е й м н о Г о ч л е н а / (х) с д е й с т в и т е л ь н ы м и к о э Ф Ф и­ц и е н т а м и.

Мы будем при этом интересоваться как общим qисломдействительныхкорней,так и отдельно числомположительных ичислом отрицательных корней и вообще числом корней, заключенныхмежду заданными границами а и Ь. Существует несколько методовдляразыскания точногочисла корней, причем все они весьма гро­моздки; среди них более удобным является .метод Штур.ма, кото­рый и будет сейчас изложен.1) Мы берем -h (-х) вместо h (-х) потому.

что для применимостиметода Ньютона старший коэффициент должен быть положительным. Накорни многочлена <р2 (х) эта псремеllа знака не оказывает, понятно, никакоговлияния.§ 40]ТЕОРЕМА247ШТУРМАВведем сначала одно определение, которое будет использоватьсяи в следующем параграфе.Пусть дана некоторая упорядоченная конечная система действ и­тельны~чисел,отличныхотнуля,например1, 3, -2, 1, -4, -8, -3, 4, 1.Выпишем последовательнознаки этих(1 )чисел:+, +, -, +, -, -, -, +, +.(2)Мы видим, что в системе знаков (2) четыре раза стоят рядом проти­воположные знаки. Ввиду этого говорят, что в упорядоченной систе­ме(1)имеют место четыре nepe.tte1ibt 31iШИВ.з н а к о вможноконечной системыподсчитать,понятно,Ч и Сл одля любойотличных от нуля действительныхРассмотрим теперь многочлен/к о р н е Й,чисел.(х) с действительнымиI\иентами, причем будем предполагать, что многочленк р а т н ы хпер е м е нупорядоченнойтак как иначе мы могли/бы его разделитьна наибольший общий делитель егос его производной.упорядоченнаянулясистемаотличныхоткоэффи­(х) не и м е е тмногочленовКонечнаяс действи­тельными коэффициеJfтами(3)называется системой Штурма для многочлена /(х), если выпол­няются следующие требования:1) Соседние многочлены системы (3) не имеют общих корней.2) Последний многочлен, (х), не имеет действительных корней./s3)Если а -многочленовимеют4)разные/(х)одногоиз промежуточных/k(x) системы (3), 1 ~k~s-l, то /k-l(a) и /k+l(a)знаки.Если а-действительный кореньведениестая,действительный корень/1 (х)проходитмногочлена /(х),меняет знак с минуса на плюс,черезточкуто произ­когда х, возра­а.Вопрос о том, всякий ли многочлен обладает системой Штурма,будетрассмотренниже; сейчас же, предполагая, что/(х)такойсистемой обладает, покажем, как она может быть использована ДШIнахождения числа действительных корней.Если действительное число с не является корнем данного много­члена /(х), а(3) -система Штурма для этого многочлена, то возь­~eM систему действительных чиселвычеркнем из нее все числа, равные нулю, и обозначим черезW(c)число перемен знаков в оставшейся системе; будем называтьW(с)248ВЫЧИСЛЕНИЕ9[гл.КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНОВчисло.М nере.мен знаков в сисmе.лtе ШmУРJtа (3) многочлена I(x)при х=с 1).Справедлива следующаят е о р е м а Ш т у р м а.

Если действительные числа а и Ь,аЬ, не являютсякорнямимногочлена(х), не имеющего<Iкратных корней, то W (а) ~ W (Ь) и разностьчислу действительных корней М1iогочленаIW (а) - W (Ь)(х),равназаключеН1iЫХ,пежду а и Ь.Таким образом, для определения числа действительныхмногочленапо условиюI (х),некорней11,x)заключенных между а И Ь (напоминаем, чтоимеет кратных корней), нужно лишь установить,насколько уменьшаетсячислоперемензнаков всистемеШтурмаэтого многочлена при переходе от а к ~Для доказательства теоремы рассмотрим, как меняется числоW(х)при возрастании х.

Характеристики

Список файлов книги