1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 42
Текст из файла (страница 42)
ортонорм. БАЗЫ213п-мерного линейного пространства в евклидово пространустановлениесуществуеттого,чтоодно-единственноевнекоторомп-мерноесмыследляевклидововсякогоnпространство.Пусть дано про изволь ное п-мерное евклидово пространство Еn>т.е.в п-мерномвведенолинейномскалярноегональны.ми,еслипространствеумножение.ихскалярноеВекторыпроизвольнымспособома и Ь называютсяпроизведениеравноортО 4нулю,(а, Ь)=О.Из (1) следует, что нулевой вектор ортогонален к любому вектору;могутсуществовать,однако,иненулевыеортогональныевекторы.Система векторов называется ортогональной систе.моЙ, есливсе векторы этой системы попарно ортогональны между собой.Всякая ортогональная систе.ма nеnулевых векторов лиnейноnезависи.ма.Пусть, в самом деле, в Еn дана систе\1а векторовпричем а ; =1= О, i= 1, 2, ...
, k, иa 1 , a z , ••• , a k ,(4)Еслито,скалярно1 ~ i ~ k,умножаяобечастиполучаем ввиду+(1), (2)>(а 2 ,О поравенстванавектор al(4):+ ... +aka k,0=(0, aj)=(a1a 1 а 2 а 2=a 1 (a 1 , a i ) +а 2Отсюда, так как (a j , a j )этогоиa j )=ai)+ ... +ak(a k , ai)=aj(a j, a j).IV,вытекает а,.=О,i= 1, 2, ••• , k,что и требовалось доказать.Сейчас будет описанпро Ц е с со р т о г0!lа л и з а Ц и И,не который способ перехода от любой линеАно независимоймы изт.
е.систевекторовk(5)евклидова пространства Еn к ортогональной системе, также состоящей изkненулевых векторов; эти векторы будут обозначены через Ь 1 , Ь 2 , ••• , bk •Положим b1 =a 1 , т. е. первый вектор системы (5) войдетивстроящуюсянамиортогональнуюсистему.Положим, далее,Таккак Ь 1=а1,а векторы а 1 и а 2линейнонезависимы,то нектор Ь 2 отличен от нуля при любом числе а 1 • Подбере~f это числоИЗ УСЛОНИЯ,что вектор Ь 2 должен быть ортогонален к векторуO=(b L, bz )=(b 1 , а 1 Ь 1 +aZ)=a 1 (b 1 , bt)+(b 1 ,(l2)'b1 :214ЕВКЛИДОВЫ[гл.ПРОСТРАНСТВА8IV,откуда, ввидуСХ 1=-(Ь 1 • 02)(b1 • b1) 'Пусть уже построена ортогональная системаненулевых векторов Ь 1 , Ь 2 , ••• , bl ; дополнительно предположим, что для всякого i,1 ~ i ~ 1, вектор bj является линейной комбинацией векторов а 1 ,а 2 , ••• , a j • Это предположение будет выполняться тогда и длявектора ЬН 1 ' если он будет выбран в видеbl+ 1 =СХ 1 Ь 1 +СХ 2 Ь 2 + ••• +cx 1b1 +a 1+1 •Некторb1+1 будет прилинейно независимая, аэтом отличен от нуля, так как система(5)векторa 1+ 1 не входит в записи векторовb1 , Ь 2 , ••• , bz• Коэффициенты CX j , i = 1, 2, ...
, 1, подберем из условия, что вектор ЬН 1 должен быть ортогонален ко всем векторам bj ,i=1,2, ... ,/:0= (bj , b1 +1) = (b j , СХ 1 Ь 1 +СХ 2 Ь 2 + ... +cx1b1 + a 1+1) ==cx 1 (b j , b1 )+cx 2 (bj , b2 )+ ••• +cx1 (b j , bz) + (b j , a1+ 1 );отсюда, так как векторы Ь 1 , Ь 2 , ••• , Ь ! ортогональны между собой,CX jт.(bj , bj )+ (bj,a l +1)= О,е.СХ·I(bj, al+1)=-":""';-;--=7-'ё'(b j , bj)i=l, 2, ••• ,1.,Продолжая этот процесс, мы построим искомую ортогональнуюсистему Ь 1 , Ь 2 , ••• , bk •При меняя процесс ортогонализации кстранства Е п ,векторов,т.е.,таккак этазависима, ортогональнуюсделанноевпроизвольноймы получим ортогональную систему изсвязиа также учитывая,ссистемабазу.первымПришагомnбазепо доказанному линейноэтом,используяпроцессапроненулевыхнезамечание,ортогонализаЦJlИ,что всякий ненулевой вектор можновключитьв некоторую базу пространства, можно сформулировать даже следующееутверждение:Вся/(оеев/(лидово пространство обладает ортогонаЛЬНЫ.Jtuбаза.ми, nриче.м любой ненулевой ве/(тор этого пространствавходит в состав не/(оторой ортогональной базы.В дальнейшем важную родь будет играть один специальный видортогональных баз; базы этого вида соответствуют прямоугольнымдекартовым системам координат, используемым в аналитической геометрии.Назовем вектор Ь НОРАtИрованны.м, если его скаJlЯРНЫЙ квадратравенединице,ОПРЕДЕЛЕНИЕ§ 34}ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА.
ортонорм. БАЗЫЕсли а+О, откуда (а, а)ваетсяпереходк>215О, то нормированием вектора а назывекторуЬ-1У(а, а) а.Вектор Ь будет нормированным, так как(Ь, Ь)= ( y(~, а) а, y(~, а) а ) = (У(а1,База е 1 , е 2 ,••• ,а)) \а, а)= 1.е n евклидов а пространства Е n называется ортовекторы норми-нормированной, если она ортогональна, а все еерованы,т.е.(e i , ej)=O при i=l=j,(e i , eJ= 1,i= 1, 2, •..
, n.Всякоеевклидовопространствообладает(6)ортонормирован-базамu.для доказательства достат-очно взять любую ортогональную базу1iblMUи нормировать все ее векторы. База останется при этом ортогональной, так как при любых а и ~ из (а, Ь) = О следует(аа, ~b)=a~ (а, Ь)=О.База е 1 , е 2 ,••• ,е n евклuдова пространства Е n тогдаи толЬ1СО тогда будет ортонормированной, еслu скалярное nроизведение любых двух векторов пространства равно суммепроизведений соответственных координат этих векторов в указанной базе, т. е. изnnа= ~aiei, Ь= ~~jeJ'=1(7)j=1следуетn(а, Ь)= ~ai~i'(8)i=1Обратно, если наша база такова, что для любыхзаписанных в этой базе в виде(7),\векторов а и Ь,справедливо равенство(8),то,беря в качестве а и Ь любые два вектора этой базы ei и ej , различные или одинаковые, мы из (8) выведем равенства (6).Сопоставляя полученный сейчас результат с изложенным ранеедоказательствомдля любогоn,существованияn-мерныхевклидовыхможно высказать следующееn-мер1iОМ линейном пространствеVnпространствутверждение:если ввыбрана nроизвольная база,216ЕВКЛИДОВЫVnто в.можн.о та/С задать скалярное у.мн.ожение,ценн.О.Jt евклидовО.Jt пространствеиз[гл.просТРАНСТВАбаз.евклидовыхвыбран.н.ая8что в nолубазабудетодн.оUOpmOHOP.JtupOBaHHblXИзоморфизмпространств.Евк.'IИДОВЫпространства Е и Е' называются иЗО.Jtорфны.ми, если между векторами этихпространствможно установитьTal(Oe взаимно однозначное соответствие, что выполняются следующие требования:1) это соответствие является изоморфны\! соответствием междуЕ и Е', рассматриваемыми как линейные пространства (см.2)§ 29);при этом соответствии сохраняется скалярное произведение;иными словами, если образами векторов а и Ь из Е служат соответственно векторы а' и Ь' из Е', то(а, Ь)=(а', Ь').(9)Из условия 1) сразу следует, что изоl.tорфные евклидО8Ы пространства иJrtеют одну и ту же paUtepHocmb.
докажем обратноеутаерждеНllе:Любые ев1СлидО8Ы пространства Е и Е', имеющие одну и туже раз.мерность n, изоморфны .Jtежду собой.В самом деле, выберем в пространствах Е и Е' о р т о н о р м ир о в а н н ы е базы(1 О)и,соответственно,"е1,е2 ,••• ,,(11 )еn ,Ставя в соответствие всякому векторуиз Е векториз Е', имеющий в бззе (11) те11базе(1 О),жекоординаты,чтоивектор амы получим, очевидно, изоморфное соответствие междул и н е й н ы м и пространствами Е и Е'. Покажем, чтои равенство (9): еслиnnвыполняетсяb=~~iei' b'=~~je~,i= IТО,Всилу(8)-учесть1= 1jортонормировзнность ,баз(10)и(11)1-n(а, Ь) = ~ ai~i = (а', Ь').1= 1Естественно изоморфные евклидовы пространства не считать различными.
Поэтому для всякогоnсуществует единственное n-мерное§ 351ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАIIИJlевклидовопространствовтомжесмысле,существует единственное n-мерноевкакомдействительноедля217nВСЯКОГОлинейноепространство.На случай к о м п л е к с н ы х линейных пространствпонятия и результаты настоящего параграфа переносSlТСЯ следующим образом.КомплексноеЛlJнейное пространство называется унитарным nространством, если в немзадано скалярное умножение, причем (а, Ь) будет, вообще говоря, комплексны\! числом; при этом должны выполняться аксиомы II-IV (в формулировке последней аксиомы следует подчеркнуть, что скалярный квадрат ненулевого вектора действителен и строго положртелен), а аксиома 1 заменяется аксиомойl'(а, Ь) = (Ь, а),где черта обозначает, как обычно, переход ксопряженномуко~шлексномучислу.Скалярное умножение уже не будет, следовательно, коммутаТИВНЫ\I.Тем не менее, равенство, симметричное аксиоме II, остается справедливым,(а, Ь+с)=(а, Ь)+(а, с),Il'таккак(а, Ь+с)=(Ь+с, а)=(Ь, а)+(с, а)=(Ь, а)+(с, а)=(а,b)+(q,с).С другой стороны,Ш'так(а, аЬ)= а (а, Ь),какПонятия ортогональности и ортонормированной системы векторов переносятся на случай унитарных пространств без всяких изменений.
Как ивыше, доказывается существование ортонормированных баз во всяком конечномерном унитарном пространстве. При этом, однако, если е 1 , е2' ... , е n ортонормированная база и векторы а, Ь имеют в этой базе записи (7), тоn(а, Ь) = ~a,!3i.i=1Результаты дальнейших параграфов настоящей главы также можно былобы перенести с евклидовыХ на унитарные пространства. Мы не будем этогоделатьиотошлеминтересующегосячитателякспециальнымкнигамполинейной алгебре.§ 35.Ортогональные матрицы, ортогональные преобразованияПусть данодействительноелинейноепреобразованиеnнеизвестных:nх·= ~Ik=1QikYk'i= 1, 2, •• " n;матрицу этого преобразования обозначим черезвиепереводитсуммуквадратовквадратичную форму X~ +х;неизвестных+ , , ,+X~,Q.х1 ,(1)ЭТО преобразоваХ2 ,являющуюся•.• ,Хn 'т. е.нормальным218ЕВКЛИДОВЫ8[гл.ПРОСТРАНСТВАвидом положительно определенных квадратичных форм (см.§ 28),в некоторую квадратичную форму от неизвестных Yl' У2' ••• , у n'Случайно эта новая квадратичная форма сама может оказаться суммой квадратов неизвее:тныхYl'У2'••• , У n 'т.
е. может иметь месторавенствоx~ +X~тождественноежениями+ ... +x~ =Y~ +.Y~ + ... +y~,послезаменынеизвестныхX 1,Х2 ,Линейное преобразование неизвестных(1).этим свойством, т. е., как говорят,оставляющее(2)••• ,Х n их выра(1),обладающеесуммуквадратовнеизвестных инвариантной, называется ортогоnальnы,М nреобразование,М nеизвестnых, а его матрица Q- ортогоnальnой 'матрицей.Существует много других определений ортогонального преобразования и ортогональной матрицы, эквивалентных приведенным выше.Укажем некоторые из них, необходимые для дальнейшего.Мы знаем иззакон, по которому§ 26преобразуетсяматрицаквадратичной формы при выполнении линейного преобразования неизвестных.
Применяя его к нашему случаю и учитывая, что матрицейквадратичной формы,являющейся суммой квадратов всех неизвестных, служит единичная матрица Е, мы получим, что равенстворавносильноматричному(2)равенствуQ'EQ=E,т.е.Q'Q=E.(3)Q' =Q-\(4)ОтсюдаапоэтомусправедливоиравенствоQQ'=E.(5)Таким образом, ввиду (4), ортогоnальную ,Матрицу Q ,Можnоопределить как такую ,м,атрицу, для которой траnсnоnироваnкая 'матрицавенств(3)иQ' равnа обратпой 'матрице Q-l. Каждое из ра(5) также может быть принято в качестве определенияортогональной матрицы.Так как столбцы матрицыто из(5)Q' являются строками матрицы Q,вытекает следующее утверждение: квадратпая 'матрицаQтогда и только тогда будет ортогоnальnой, если СУ'м'ма квадратов всех эле,Меnтов любой ее строки равnа едиnице, а СУ'м'маnроизведеnий соответствеnnых.личnых строк равкапулю.ние для столбцов матрицыПереходя в равенстветого, что! Q' 1=I Q 1,Изэле,Меnтов(3)любыхдвухее разследует аналогичное утверждеQ.(3)к определителям, мы получимравенство!Q!2= 1.ввидуОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ§ 35]219Отсюда следует, что определитель ортогональной .матрицы равен,1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
