1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 44

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 44)

действи­тельность числа 1..0 будет поэтому доказана, если мы докажемдействительность левой части равенства (4), для чего достаточнотельнымпоказать,женным.чтоЗдесьэтокомплексноевпервыечислосовпадаетсосвоимсопря­будет использована симметричность (дей­ствительной) матрицы А.n~ Cl.ij~j13i=1. j=lnn1. j=l{. j=l~ aiJ~J~i = ~f3 Pi=a ij jППП-~ aji~~Pi = ~{. j=li. j=laijPiP j= ~ aijPj~i'{. j=lЗаметим, что предпоследнее равенство получено простой переме­ной обозначений для индексов суммирования: вместо i поставлено j,вместоjпоставлено ё. Теорема, следовательно, доказана.§ 36]uСИММЕТРИЧЕСКИЕ225ПРЕОБРАЗОВАНИЯЛинейное nреобразование 'Р евклидова пространства Е n тогдатолько тогда будет симметрическим, если в пространстве Е nсуществуетортонормированнаябаза,составленнаяизсобствен­НЫХ векторов этого nреобразования.Воднусторонуэтоутверждениепочтисуществует ортонормированная база е 1 , е 2 ,ei'P =очевидно:если в Е nе n , причем••• ,i = 1, 2, ...

, n,Л,еi'то в базе е преобразование 'Р задаетсядиагональной матрицей1..,11..,2оДиагональная матрица является, однако, симметрической, а поэтомупреобразование'Рческой матрицей,Основноеиндукциейвортонормированной базе е симметри­обратноеутверждениеnразмерноститеоремы мы будем доказыватьпривсякое линейное преобразование 'Р пространства Е 1 непре­менно переводит любой вектор в вектор, ему пропорциональныЙ.

Отсюдаследует, что всякий ненулевой вектор а будет собственным векто­ром для 'Р (как, впрочем, следует и то, что всякое линейное пре­образованиепространства Е 1 будетсимметрическим). Нормируявектор а,мы получим искомую ортонормированную базу прост­nпозадаетсят. е. будет симметрическим.пространства Е n . В самом деле,=1ранства Е 1 .Пустьутверждениеевклидов атеоремыпространстваиметрическое преобразованиетекаетсуществованиекорня 1..,0''Р'преобразованияния'Р,'Р.относящийсявИздоказано дляпространстведоказаннойдля 'Р действительногоЭто число будет,дляужепустьК(n -Еn1)-мерногозадановыше теоремысим­вы­характеристическогоследовательно, собственным значениемЕслиа-собственныйвектор преобразова­этому собственному значению, то и всякийненулевой вектор, пропорциональный вектору а, будет для 'Р соб­ственным вектором, относящимся к тому же собственному значению1..,0' так как(сха) 'Р=сх (аср)=сх (лоа)=1..,0 (сха).В частности, нормируя вектор а, мы получим такой вектор е 1 ,Какдоказано в§ 34,е 1 'Р=ло е 1 ,(е 1 , е 1 )=1.ненулевойортогональную базуe 1,е;,вектор...

, e~,е1чтоможно включить в(5)226ЕВКЛИДОВЫ[гл.ПРОСТРАНСТВАпространства Еn • Те векторы, первая координата которых в базеравнанулю,очевидно,котороет.,векторы вида а 2 е 2е.(n-l )-мерноемыобозначим,+ ... +аnе n ,8(5)составляют,линейное подпространство пространства Еmчерез [. Это будет даже (n-1)-мерноеевклидово пространство, так как скалярное произведение,определенным для всех векторов из Еn ,определено,вбудучичастности,[, причем обладает всеми необходимыми свойствами.Подпространство L СОСтоит из всех тех векторов пространстваЕm которые ортогональны к вектору е1. Действительно, еслидля векторов изто, ввиду ортогональности базы(5)+ a~ (е1'e~)(е1, а) = а1 (е1, е1)и нормированности вектора е1,+ ... + a~ (еl,=e~) = аl,=т.

е. (еl, а)О тогда и только тогда, если (l1О.Если ..векторапринадлежиткподпространству [, т. е.(еl, а) = О, то и вектор аер содержится в [. Действительно, ввидусимметричности преобразования ер,(еl, аер)=(еlер, а)=(лое1, а)=ло(еl, а)=Ло·О=О,т. е. вектор аер ортогонален к е1 и поэтому[,свойство подпространствасительнов а е м о епреобразованиял ишьвсодержится в[.Этоназываемое его ин.вариан.тн.остью отно­ер,позволяетпри м е н е н и иксчитать ер,в е к т о р а мным преобразованием этого (n-1)-мерногор а с с м а т р и­и зL,линей­евклидова пространства.Оно будет даже симметрическим преобразованием пространства L,так как равенство (1), выполняясь для любых векторов из Е n , будетвыполняться, в частности, для векторов, лежащих в L.В силу индуктивного предположения в пространстве L сущест­вует ортонормированнаябаза, состоящая из собственных векторовпреобразования ер; обозначим ее через е2, ••. , е n . Все эти векторыортогональны к вектору е1, а поэтому е1, е2, "" е n будет иско­мой ортонормированной базой пространстваЕn ,ственных векторов преобразования ер.

Теорема§ 37.СОСТ05lщей из соб­доказана.Приведение квадратичной формы к главным осям.ПарыПрименимпоследнююформтеоремупредшествующегопараграфак доказательству следующей матричной теоремы:Для всякой си.м.метрическоЙ .лtатрицы А .можно найти такуюортогональную .матрицугонально.лtувиду,т.е.Q,которая приводит.матрицамирование.лz ьеатрицы А матрщ{ей.матрицу А к диа­Q-IAQ, полученная тран.сфор­Q, будет диагональной.§ 37)227ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ осямв самом деле, пусть дана симметрическая матрица А порядкаЕсли е1, е2,еn -••• ,n.некоторая ортонормированная база n-мерногоевклидов а пространства Е n , то матрица А задает в этой базе сим­метрическоепреобразованиеортонормированная базавекторовер.Как/1, /2' ... ,доказано,преобразования ер; в ЭТОЙ базе ерматрицей В (см.§ 33).Тогда, повЕnсуществует/т Составленная из собственныхзадается диагональной§ 31,(1 )где Q-матрица перехода от базыЭта матрица,базыккак матрицадругойтакойжек базе е,/e=Q/.(2)переходаот ОДНОЙ ортонормированнойбазе,будетортогональной-см.§ 35.Теорема доказана.Так как для ортогональной матрицытранспонированной,вQ-l=Q',Q ее обратная матрица равнаравенство (1) можно переписатьтовидеB=Q'AQ.Из§ 26известно,однако, что именно так преобразуется симмет­рическая матрица А квадратичной формы, подвергнутой линейномупреобразованиюнеизвестныхнейноепреобразованиеЛ\lетСяортогональнымнальнуюматрицуканоническомуполучаемт ел ь н О йпреобразованиемимеетвиду,с матрицейQ.Учитывая же, что ли­неизвестных с ортогональноймыследующую(см.квадратичнаянаоснованиит е о р е м ук в а д р а т и ч н ойофор м ы§ 35)форма,матрицей яв­ичтопредшествующейпри в е д е н и икдиаго­приведеннаягл а в н ы мктеоремыд е й с т в и­о с я м:Вся"ая действительн,ая "вадратичн,ая фор.ма / (х 1 • Х 2 • ••• , х n )н,е"оторы.м ортогон,альн,ы.м nреобразован,ие.м н,еизвестн,ых .можетбыть nриведен,а " "ан,он,uчес"о.му виду.Хотя может существовать много различных ортогональных пре­образований неизвестных, приводящих данную квадратичную формук каноническомуществувиду,определяетсяКа"О80 бы н,и было""ан,он,ичес"о.муоднако сам этот канонический вид по су­однозначно:ортогон,альн,ое nреобразован,uе.

приводящеевиду "вадратu'fЯУЮ фор.му/(х 1 •Х 2 ' ••••Хn )с .матрицеЙ А, "оэффuциен,та.мu этого "ан,он,ичес"ого вида будутхара"теристuчес"ие "орн,и .матрицы А. взятые с их "ратн,о­стя.ми.Пусть,всамомделе, форма/некоторым ортогональным пре­образованием приведена к каноническому виду228ЕВКЛИДОВЫ[гл.ПРОСТРАнстВА8Это ортогональное преобразование оставляет инвариантной суммуквадратов неизвестных, а поэтому, если А - новое неизвестное, топппЛХ1, Х2,хn )... ,А ~ х; = ~ !1,Yi2 -А ~ у;.-i=1Переходячтокопределителямпослевыполненияквадратичнойформы1=1этихлинейногопреобразованияопределительопределителя§ 35),111-1,ООО112-1,ОIA-AEIокоторогоформ и учитывая,умножается на квадрат определителя преоб­разования (см.

§ 28), а квадратпреобразования равен единице (см.ИЗi=1квадратичныхвытекаетортогональногомы приходим к равенствуn= п (!1i - л),1=1оутверждениетеоремы.Этому результату можно придать также матричную формулировку:/{аковабынибылаортогональная.матрица,при водящаядиагонаЛЬНО.JlУ виду си.лtметрическуlO матрииу А, на главнойдиагонали полученной диагональной .JитРllЦЫ будут стоять ха­f(рактеристическиекорни матрицы А,взятые с их кратностями.Практическое разыскание ортогонального преобразования, при­водящего квадратичную форму к главным осям.

В некоторыхзадачахторомунеобходимоприводитсязнать не только тот канонический вид, к ко­действительнаянальным преобразованием,осуществляющеекиватьоэтоэтоприtlедение.преобразование,приведениикквадратичнаяформаортого­но и само ортогональное преобразование,главнымБыло бы затруднительно разыс­используяосям,имыдоказательствохотимуказатьтеоремыиной путь.Именно, нужно лишь научиться находить ортогональную матрицу Q,данную симметрическую матрицу А к диагональномувиду, или, что то же самое, находить ее обратную матрицу Q-l.приводящуюВвидуее(2)строкимированнойэтобудетявляютсясистемыпреобразования ер,матрица перехода от базы е к базекоординатнымиизn/,т. е.строками (в базе е) ортонор­собственных векторов симметрическогоопределяемогоматрицей Ав базе е.

Остаетсянайти такую систему собственных векторов.Пусть Ао-любой характеристический корень матрицы А и пустьего кратность равна k o. Из § 33 мы знаем, что совокупность коор­динатных строк всех собственных векторов преобразования ер, отно­сящихся К собственному значению Ао, совпадает с совокупностыонену.'1евых решений системы линейных однородных уравнений(A-АоЕ)Х=О;(3)симметричность матрицы А позволяет написать здесь А вместо А'.Из доказанных выше теорем существования ортогональной матрицы,~ПРИВЕДЕНИЕ31]приводящейКВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМсимметрическуюединственностиэтогоматрицуАдиагональногоОСЯМ229к диагональному виду,видавытекает,чтодляиси­стемы (3) во всяком случае можно найти k o линейно независимыхрешений.

Такую систему решений ищем ыетодами, известными из§ 12, а затеы ортогонализируем и норыируем полученную системув соответствии сБеряскиекорникратностейственныхвбазе§ 34.1..0в качествеэтихкорнейвекторове.поочередно все различныесиыметрическойыатрицыравнаn,ыыпреобразованияследующуюсистемасобственныхихарактеристиче­учитывая,получимер,Для доказательства того,норыированнаяАзаданныхчтосистему изсуымаnсоб­их координатамичто это будет искоыая орта­векторов,остается доказатьл е ы ы у:Собственные вe~тopы сиМ.!tетричес~ого nреобразоваnия ер. от­носящиеся ~ различн,ым собствен,н,ым значениям, между собойортогональны.Пусть,в саыоы деле,bep=Atb,причем1..1 =1= 1..2.

Так как(Ьер, с)=ОчЬ, С)=Аl (Ь, с),(Ь, сер) = (Ь, А 2 С) =то1..2 (Ь, с),из(Ьср, с) = (Ь, сер)следует1..1(Ь, с) = Л 2 (Ь, с)(Ь, с)= О,что и требовалось доказать.При м е р. Привести к главным осям квадратичиую формуf(x). Х 2 ' х з , Х4)=2ХIХ2+2ХIхз-2ХIХ4-2Х2хз+2Х2Х4+2ХЗХ4'Матрица А этой формы имеет видОА= (1110-1-1О-1Найдеы ее характеристический многочлен:-л.IA-лЕI=1-11 -л. -111 -1 _л.1 = (л.-l)3(л.+з).-1-л.23(}ЕВКЛИДОВЫ[ГЛ.ПРОСТРАНСТВАТаким образом, матрица А имеет трехкратный характеристический корень81и простой характеристический корень -3.

Характеристики

Список файлов книги