1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Пока х, возрастая, не встретит корня ни одного(3),из многочленов системы Штурмазнаки многочленов этой системыне будут меняться, и поэтому число W (х) останется без изменения.Ввиду этого, а также ввиду условия 2) из определения системыШтурма,намостаетсярассмотретьдваслучая: переходIk (х),I (х).корень одного из промежуточных многочленови переход х через корень самото многочленаПусть а будет корнем многочленапо условию1),Ik-l (а)Ik+l (а)иIk (х),х через1.:;;; k .:;;; s- 1,1.:;;; k.:;;; s-1.Тогда,отличны от нуля.
Можнонайти,следовательно, такое положительное число 8, быть может и оченьмалое, что в отрезкене имеют корнейпо условиюкаждаяиз3),(а--8, а+в)и поэтомуэ т исистеммногочленысохранаютз н а киIk-l (х)ипостоянные знаки,раз JI и ч Н ы.ОтсюдаIk+l (х)причем,следует,чточисел(4)и(5)обладаетровнооднойкаковы знаки чиселIk-lпеременойIk (а- 8)изнаковIk (а + 8).независимоот1k+1 (х)гочлен(х) на рассматриваемом отрезке отрицателен, аположителен и если(а-в)О,(а+ 8)О, то системам(5)Ik>Ikтого,Так, например, если мно<(4)исоответствуют системы знаков-, +, +; -, -, +.Таким образом, при переходе х через корень одного из промежуточных многочленов системыUJTYPMaперемены знаков в этой системе1) Само собой разумеется, что перемены знаков в системе Штурма многочлена(х) не имеют ничего общего с переменой знака самого многочлена(х), происходящей от прохождения- х через корень этого многочлена.tf§ 40]ТЕОРЕМАмогут лишьперемещаться,а поэтому ч и с л оWноне249ШТУРМАвозникаютвновьинеисчезают,(х) при т а к о м пер е х о д е н е М е н я е т с Я.Пусть., С другой стороны, а будет корнем самого данного многочлена/ствует,следовательно,(а- в, а(х).
По условню+ В) не/1 (х).1) а не будет корнем длятакоеположительноечислосодержит корней многочлена/1 (х),В,чтоСущеотрезока поэтому/1 (х)сохраняет на этом отрезке постоянный знак. Если этот знак положителен, то ввиду условия 4) сам многочлен / (х) при переходе хчерез а меняет знак с минуса на плюс, т. е. / (а - В)О, / (аВ)О.<>-1-Системам чисел/(а-в),соответствуют,/1 (а-в)следовательно,-, +и /(а+в),системыи/1 (а+в)(6)знаков+, +,т. е.
в системе Штурма теряется одна перемена. Если жезнак(х) на отрезке (а - В, аВ) отрицателен, то снова, ввидуусловия 4), многочлен / (х) меняет знак с плюса на минус при пе+/1реходе х через а, т. е. /(а-в)соответствуюттеперь> О, /(а+в) <О;системы+, -системам чисел(6)знакови-, -,т. е. в системе Штурма снова т е р я е т с яод н апер е м е н а.Таким образом, число W (х) .меняется (при возрастаliии х)лишь при переходе х через корень .многочленаслучае оно У.меliЬUlaетсяЭтимдоказана,POBliO/(х), nриче.!t в это.мна един,ицу.очевидно, теоремаШтурма.Длявоспользоваться ею для разыскания общего числакорнеймногочлена/(х), достаточновкачестве апредел отрицательных корней, в качестве Ь -тогочтобыдействительныхвзятьнижнийверхний предел положительных корней.
Проще, однако, поступить следующим образом.Ввиду леммы, доказанной в § 23, существует такое положительноечислоN,быть может и очень большое, что приIх I>Nзнаки в с е хмногочленов системы Штурма будут совпадать со знаками их старшихчленов. Иными словами, .существует столь большое положительноезначениенеизвеСТI10ГО х, что знаки со(\тнетствующих ему значенийBC~X многочленов системы Штурма совпадают со знаками их старших к о э Ф Ф и ц и е н т о в; это значение х, вычислять которое нетнеобходимости, условно обозначается символом 00. Существует,с другой стороны, столь большое по абсолютной величине отрицательноезначение х, что знаки соответствующих ему значr.ниЙ многочленов системы Штурма совпадают со знаками их старп'ИХ коэффициентов для многочленов четной степени и противоположны знакам старших коэффициентов для многочленов нечетной степени; этозначение х условимся обозначать через-00.в отрезке(- 00,00)содержатся, очевидно, все действительные корни всех многочленов250ВЫЧИСЛЕНИЕ[гл.КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНОВ9системы Штурма и, В частности, все действительные корни многочлена I(x).
При меняя к этому отрезку теорему Штурма, мы найдем число этих корней, применение же теоремы Штурма К отрезкам (- 00, О) и (О, (0) дает соответственно число отрицательныхи число положительных корней многочлена(х).Нам остается показать, что всякий .многочлен (х) с действительIНЫ.Аеи коэффициента.ми, неи.меющиЙIкратных корней, обладаетсисте.моЙ Штур.ма.Из различных методов, используемых дляпостроения такой системы, мы изложим один, наиболее употребительный. Положим(х)(х), чем обеспечивается выполнениеусловия 4) из определения системы Штурма.
Действительно, если= f'11f'а-действительныйО, то(х)корень многочлена I(x), то(a)=I=O. ЕслиО в окрестности точки а, а поэтому(х) меняетнаf' (а) >знакf'с>минусаплюсIприпереходеIх через а;этожеверно11тог да и для произведения (х)(х). Аналогичные рассуждения проходят и в случае 1'(a)~O. делим затем I(x) на 11 (х) и остаток отэтого деления,12в з я ты йсо бр а тны мз н а к о м,принимаем за(х):I (х) = 11 (х) ql (х) - 12 (х).Вообще, если многочленыбудет остаткомотIk-1 (х)Ik-lделенияиIk(х) уже найдены, то(х) наIk(х), взятым1k+1(х)С обратнымзнаком:Ik-1 (х) = Ik (х) qk (х) - 1k+1 (х).(7)Изложенный здесь метод отличается от алгоритма Евклида, примененного к многочленам(х) и(х), лишь тем, что у остаткаIl'каждый раз меняется знак на обратный и следующее деление производится уже на этот остаток с обратным знаком.
Так как при разыскании наибольшего общего делителя такая пере мена знаков несущественна, то наш процесс остановится на некотором(х),являющемся наибольшим общим делителем многочленов (х) и(х),причем из отсутствия у(х) кратных корней, т. е. из его взаимнойпростоты с(х), будет следовать, что на самом деле s (х) являетсяIf'некоторым отличнымОтсюда вытекает,I(x)1.l'IIот нуля действительным числом.что=/0 (х), l'удовлетворяет и условиюпостроенная(х)2)=/1 (х),нами/2 (х),системамногочленов••• , I s (х)из определения системы Штурма.
Для1) предположим, что сdседниедоказательства выполнения условиямногочлены Ik (х) и Ik+1 (х) обладают общим корнем а. Тогда,по (7), а будет корнем и для многочлена Ik-1 (х). Переходя к равенствуIk- 2 (х) = Ik-1 (х) qk-l (х) - I k (х),Iмы ПОЛУЧ}iМ, что а служит корнем и для k - 2 (х). Продолжая далее,мы получим, что а служит общим корнем для(х) и(х), чтопротиворечит, однако, нашим предположениям. Наконец, выполнениеIl'§ 40]условияТЕОРЕМА3)то fk-l (сх)вытекает непосредственно из равенства=-251ШТУРМА(7):еслиf k (сх) =О,Ik+l (сх).Применим методграфе многочленуШтурмакрассматривавшемусяв предыдущем параh (х) =х5 + 2х4-5х3 + 8х 2 -7х-3.Мы не будем при этом предварительно проверять, что h (х) не имеет кратных корней, так как метод построения системы Штурма, изложенный выше,одновременно служит для проверки взаимной простоты многочлена и егопроизводной.Найдем систему Штурма для h (х), применяя указанный метод.
При этомв процессе деления мы будем, в отличие от алгоритма Евклида, умножатьисокращатьлишьнапроизвольныеп о л о ж и т е л ь н ы ечисла,таккакзнаки остатков играют в методе Штурма основную роль. Мы получим такуюсистему:+h (х) =х· +2х4-5х 3 8х 2 -7х-3,h1 (х) =5х4 8х 3 -15х 2 16х - 7,h2 (х) = 66х З -150х 2 172х 61,h з (х) = - 464х 21135х723,h 4 (х) = - 32 599 457х - 8486093,h 5 (х)=-l.++++++Определим знаки многочленов этой системы при х = - 00 и х = 00, длячего, как было указано, следует смотреть лишь на знаки старших коэффициентов и на степени этих многочленов. Мы получим такую таБЛИЦУIЧисло перемензнаков4Таким образом, при переходе х от - 0 0 к 00 система Штурма теряеттри перемены знаков, а поэтому многочлен h (х) имеет ровно три действительных корня. Отсюда видно, что при построении в предыдущем параграфеграфика этого многочлена мы не упустили ни одного ИЗ' корней.Применим метод Штурма к другому многочлену, более простому.
ПустьданмногочленНайдем число его действительных корней, а также целые границы, междукоторыми каждый из этих корней расположен, причем не будем строитьзаранее графика этого многочлена.Система Штурма ./I.ля многочлена(х) будетll (х)=х3+3х 2 -1[1(х) = 3х 2+ 6х,12 (х)=2х+ 1,lз(х)=l.252ВЫЧИСЛЕНИЕНайдемчислоперемен знаков в этой системе при х =-соf (х)+00f (х)If1(х) I f (х) I f (х) I2I+ Iзооб.1Jадает, следовательно, тремяДля более точного определения положениядущую таблицу:х=-Зх=-2х=-!х=Ох=!IIIf('С)I+!I23~I+мензнаков+3о+2+2оI +корнями.Число пере-+I +Iдействительнымиэтих корней продолжим предыI f (х) I f (х) I f (х) I1их=оознаковI+ II+ I+9Число перемен3I+ I-00Многочлен[Г JI.КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНОВ++++оТаким образом, СИСТема Штурма многочленаперемене з~аков ПрИ переходе х от -3 к -2, отКорни а 1 , а 2 и аз этого многочлена удовлетворяют,f (х)теряет по однойк О и от О к 1.следовательно, нера- 1венетвам:- 3§ 41.< a1 < -2,-1 < а2<О,О<аз<1.Другие теоремы о числе деиствительных корнейТеорема Штурма полностью решает вопрос о числе действительных корней многочлена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
