1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 58
Текст из файла (страница 58)
, cs ' что C~ Р2(Х) = C1 Q2(X),что§ 48)РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА НЕПРИВОЛИ~lhlЕ МIЮЖИТFЛII293откуда q2(X)=(C~lC~)P2(X), 11 CiPi(X)=Qi(X), i=3, ... , s. Полагая c~l С: = С 2 и учитывая (4), мы полностью получим равенства (3).Доказанной сейчас теоремеформулировку:J-lножителивсякийможноnal ьтакую более короткую.многочлен разлагаетсяодnозначяоСточностьюдонаHenpuooau.ttble.множителейпулевойстепени.Всегда можнорассматривать, впрочем,разложение следующегоспециального вида, которое будет для каждого .многочлеnа ужевnолnенаоднозначnы.tt:неПРИRодимыебереммножителилюбоеи изразложениекаждогомногочленаиз этихj(x)множителеltвыносим за скоБКII старший коэффициент.
Мы получим раз.~ожениеj(x)= а О Рl (Х)Р2 (х)... ps(X)'(5)=где все Pi (х), i1, 2, ... , S, являются неприводимыми многочленами со старшими коэффициентами, равными единиuе. Множитель а обудет равен старшемукоэффициентумногочленаj(x),как легкодоказать, выполнив перемножение в правой части равенстваНеприводимые множители, входящие в разложение(5),(5).не обязаныбыть все различными. Если неприводимый многочлен Р (х) встречаетсяв разложении (5) несколько раз, то он называется кратны.м .множителе.м для j(x), а именно k-краmНbIМ (в частности двукратным,трехкратным и т. д.), если в разложеНИI1множителей, равныхлишьодинраз,Р (х).то он.множителе.м дляот друга,аназываетсяnросты.м(илиоднократны.м)j(x).Если в разложениидруг(5) содержится ровно kже множитель р(х) входит в (5)Если(5)множители Рl (х), Р2 (х),всякий другойи если Pi (х), i = 1, 2, ...
, 1,многочлена j(x), то разложение••• , Ре (х)множитель равенотличныодномуиз них,являеl ся kгкратным множителем(5) можно переписать в следующемвиде:(6)Именно э:гой записьюмы будемдальшеобычно пользоваться,неоговаривая особо, что показатели равны кратностям соответствующихчто Pi (х) =F Р . (х) при i =F j.Если даны разложения .ttноiочленов j (х) и g (х) на неnриводи.ttbIe .множители, то паибольший общий делитель d (х) этихJft1iогочленов равен произведению .ttножителеЙ, входящих oa1ioopeMeH1iO в оба разложения, nриче.м каждый .множитель беретсямножителей, т. е.в степени,равнойJftеiiьшейиз его кратnостейв обоих дmt1iЫХJflногочленах.Действительно, указанное произведение будет делителем для каждого из многочленов j (х), g (х), а поэтому и для d (х).
Если бы этопроизведение былонеприводимыеотличнымотd(х), то враЗ.'lОженииd(х) намножители либо содержался бы множитель, которыйне входит в разложение хотя бы ОДНЩQ из многочленовj(x)цg(x),294полячто невозможно, либо жестепень, чем онииодин[ГЛ.МНОГОЧЛЕНЫизмножителейимеет в разложении10имел бы б6льшуюодного из многочленов !(х)что снова невозможно.Эта теорема аналогична тому правилу, по которому разыскиваетсяg(x),обычно наибольшийобщийделительцелых чисел.Она на можетзаменить, однако, в случае многочленов алгоритм Евклида. Действительно, так как простых чисел, меньших данного целого положительногочисла,лишьконечноепростые множителинеимеетполем,места ви в общемчисло,достигае тсякольцеторазложениеконечныммногочленовнадслучае нельзя датьцелогочисломчисланапроб. Это ужебесконечным основнымспособа для практическогоразложения многочленов на неприводимые множители.
Больше того,даже решение вопроса, является ли многочлен! (х) неприводимымв данном поле Р, оказывается в общем случае весьма трудным. Так,описание всех неприводимыхмногочленовдляслучаяполей комплексных и действительных чисел было получено в § 24 в качествеследствия из очень глубокой теоремы о существовании корня. Что жекасаетсяполярациональных чисел, то о многочленах,над этим полем,ваниячастногов§ 56будут сделанылишьнеприводимыхнекоторые высказыхарактера.Мы показали, что в кольце многочленов, каки в кольце целых ·чисел,имеf'Т место разложение на «простые» (неприводимые) множители и что этораЗЛОЖЕние в некотором смысле однозначно. Возникает вопрос, можно липеренести эти результаты на более широкие классы колец.
Мы ограничимсяпри этом случаем таких коммутативных колец, которые обладают единицейи не содержат делителей нуля.Назовем делителем единицы такой элемент ав этом кольце существует обратный элемент a- 1 ,аа- 1 =кольца,длякоторого1.В кольце целых чисел это будут числа 1 и -1, в кольце многочленовР [х]-все многочлены нулевой степени, т. е. отличные от нуля числа изполя Р. Элемент С, отличный от нуля и не являющийся делителем единицы,назовемпростым элементом кольца,есливо всякомего разложениивпроизведение двух множителей, с= аЬ, один и~ этих множителей непременноявляется делителем единицы.
В кольце целых чисел простыми элементамибудут простые числа, в кольце многочленов-неприводимые многочлены.Будет ли всякий элемент рассматриваемого кольца, отличный от нуля ине являющийся делителем единицы, разлагаться в произведениЕ' простыхмножителей? Если да, то бу дет ли такое разложение однозначным? Последнеенужнопониматьв таком смысле:еслиa=PIP2···P,.=Qlq2 ···Qt-два разложения элемента а на простые множители, тоk =1и (возможно.после изменения нумерации)Qj=PjCj,гдеСj-делительi= 1, 2, .... k,единицы.Оказывается, что в общем случае на оба вопроса должен быть да н ОТрицательный ответ.
Мы ограничимся одним примером, а именно, у к а Ж е мк о л ь ц О,х о т яиВК О Т О Р О Мв о з м о ж н О,раз л о ж е н и ен он ен ая в л я е т с япро с т ы ем н о ж и т е л ио Д н о з н а ч н ы м.РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА НЕПРИВОДИМЫЕ МНОЖИТЕЛИ§ 48]295Рассмотр им комплексные числа видаа=а+ЬУ -3,(7)где а и Ь-целые числа. Все такие числа составляют кольцо без делителейнуля, содержащее единицу; действительно,V -3) =(а+Ь У -3) (c+dНазовем нормой числа а =а+ Ь У -3NВвиду(8)(ac-3bd) +(bc+ad) У -3.(8)целое положительное число(а)=а 2 +3Ь 2 .норма произведения равна произведению норм,(a~)NДействительно,(ac-3bd)2 + 3 (Ьс+ ad)2 =а 2 с2=N(а)N(~).(9)+ 9b2d2+ 3Ь с + 3a d2 22 2=(а 2+ 3Ь ) (с + 3d222 ).Если число а является в нашем кольце делителем единицы, т.
е. числоа- 1 также имеет вид (7), то, по (9),N (a).N (а- 1 ) = N (аа- 1 ) = N (1) = 1,N(a)=I, так как числа N(a) и N(а- 1 )-целыеЕсли а=а+Ь У -3, то из N(a)=l следуетN (а)=а 2 +3Ь2 = 1;это возможно, однако, лишь при Ь=О, а= ± 1. Такима поэтомуи положительные,образом, 8 нашемкольце, как и 8 кольце целых чисел, делителями единицы будут лииlЬ числа1 и -1 и лишь эти числа имеют норму, равную единице.Равенство (9) для нормы произведения переносится, понятно, на случайлюбого конечного числа множителей.
Отсюда легко вывести, что всякоечисло а из нашего кольца может быть разложено в nроuзведение конечноючислапростыхмножителей;проведениедоказательствамыпредоставимчитателю.Однозначность разложенияна простые множители уже нельзя, однако,утверждать. Справедливы, например, равенства4=2.2=(1+ У -3) (1- У -3).В нашем кольце нет других делителей единицы, кроме чисел1 и -1, а поэтому число 1 + v=з (К,ак и число 1- У -3) не может отличаться отчисла 2 лишь на множитель, являющийся делителем единицы. Нам остаетсяпоказать, что каждое из чисел 2, 1 У -3, 1- У -3 будет 8 рассматри+ваемом кольце простым. Действительно, норма каждого из этих трех чиселравна числу 4.
Пусть а-любое из этих чисел и пустьa=~y.Тогда, по (9), возможен один из трех случаев:1) N(~)=4, N(y)=l; 2) N(~)=I, N(y)=4; 3) N(~)=N(y)=2.В первом случае число у будет, как мы знаем, делителем единицы, во втором случае делителем единицы будет ~. Что же касается третьего случая,то он вообще невозможен ввиду иеВОЗМОЖIIОСТИ равенстваа 2 +3Ь 2 =2при целых а и Ь.Кратные множители. Хотя, как уже указано выше, мы не умеемразлага тьмногочленынанеприводимыемножители,темнеменеесуществуют методы, позволяющие узнать, обладает ли данный многочленкратнымимножителями,ивслучаеПОJ10ЖJjтеllЬНQгао-твета296поляи[гл.МНОГОЧЛЕНЫ10даю:цие ВОЗ'.lOжность свести изучение этого многочлена к изучениюмногочленов, уже не содержащих кратных множителей.
Эти методытребуют,однако,Hel<OTopbIXналоженияполе. Именно, все дальнейшееограничений на основноесодержаниенастоящегопараграфабудет излагаться в предположении, что п о л е Р и м е е т ха р а к т ер и с т и к у О. Без этого ограничения теоремы о кратных множителях,которыебудутдоказаныс точкизренияприложений,являетсявсеинаиболееЧlIсловыениже,важным,ужеслучайтаккактеряют силу;полейвместе с тем,характериС1 икисюда относятся,ну льв частности,полн.Заметим сначала, что на рассматриваемый случай переносятсяпонятие про и з в о д н о й многочлена, введенное в § 22 длямногочленов с комплексными коэффициентаыи, и основные свойстваэтого понятия 1).
Докажем теперь следующую теорему:Если р (х) является k-t<раmНbl.Аl н,еnриводи.Аеы.АТ мн,ожителе.м.АtногО'lЛeftа Лх), k ~ 1, то он, будет (k - 1)-кратн,Ы.Ае .Аtн,ожителем nроизводн,ой этого .Jtн,огочлен,а. В 'lасmн,ости, простой.Аtrtожиmрль .А!НогО'lлен,аВ самом дe.~e, пусть~Eeвхосит8 разложениеnРОllЗ8ОСн,ой.j (х) = pk (х) g (х),причем(1 О)g(x) уже не делится lIа р (х). ДиффереНЦИРУ51 равенство (10),[' (х)= рп (~) g' (х) + kpk -1 (х) р' (х) g (х) == pk- 1 (х) [р (х) g' (х)+ kp' (х) g (х)].Второе из слагаемых, стоящих в скобках, не делится на р (х); действительно,g (х)неменьшую степень,делитсят.е.нар (х)поусловию,р' (х)имееттакже не делится на р (х), а отсюда, ввидунеприводимости многочлена р (х) II свойств б) из настоящего параграфа и \Х из§ 21,следует наше утверждение.
С другой стороны,первое слагаемое суммы,стоящей вквадратныхскобках, делитсяна р (х), а поэтому вся эта сумма не может делиться на р (х), т. е.множитель р (х) на самом деле входит вИз нашейтеоремыf'и из указанного(х) с кратностью k - 1.выше способа разысканиянаибольшего общего делителя двух многочленов следует, что еслидано разложение многочленаj(x)нанеприводимые множители:j (х) = aop~l (х) p~, (х) ... pJI (х),(11)то н-аибольший общий делитель .mh-огО'lлен,а j (х) и его nроиЗ80дн-ой обладает следующим разложен-ие.М н-а н,еnри80ди.Аlые .Аtliожители:и(х), j'(Х))=Р~1-1(Х)Р~,-1(Х)1)Для полей конечнойпроизводная многочленахарактеристикистепениn... р~l-l(Х),теряетимеет степень(12)силу утверждение, чтоn-l.РАЗnОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА НЕПРИВОДИМЫЕ МНОЖИТЕЛИ§ 48]где, понятно, множитель p~t-l (х) следует приНИllеЙ. Н частности, многочленkj=1297заменять еди(х) тогда II только тогда не соjдержит кратных .множителей,еслионвзаи.Jt1iоnросm со своейпроизводной.Мы научились,ванииKal,следовательно, отвечать на вопрос о существократных множителей у данного многочлена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
