1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 61
Текст из файла (страница 61)
С ДРУГОЙ стор'оны, всякий элементЭТОГО нового поля должен представляться (в смысле деления, определенного в этом поле) в виде частногО двух многочленов. Такоеполе для всякого Р может быть построено, как будет сейчас показа но; его обозначают Р (х) (неизвестное заключено в круглые скобки!)и называют полем рациональных дробей над полем Р.Предположим сначала, что кольuо Р [х) уже является подкольuомполя Q. Если [(х) и g (х) - произвольные многочленыиз Р[х), причем g(x) =#=0, то в поле Q существует однозначно определенный элемент, равный частному от деления [(х) на g(x).
Обонекоторогозначая этот элемент, как обычно в случае поля, через ~~~, мы наоснованииопределениячастногоможемнаписатьравенство[(х) =g(X)J(X) ,(1)g(x)где произведение нужно пони мать в смысле умножения в полеМожет случиться, что некоторые частные ~ ~;~ и:Q.~;~ являютсяодним и тем же элементом поля Q; условием для этогообычное условие равенства дробей:являетсяТогда и толЬ/со тогда f (х) = qJ (х) если [(х) 'Ф (х) = ер (х) g (х).g (х)'Ф (х) ,f (Х) qJ (Х)Действительно, если g (Х) = 'Ф (х) = а, то, по (О,t (х) =откудаg (х) а,t (х) 'Ф (х) =ер (х) = 'Ф (х) а,g (х) 'Ф (х)CG= g (х) ер (х).Обратно, если [(х) 'Ф (x)=g~(x) ер (х)=и (х) в смысле умножеНИIIв кольце Р{х), то, переходя к полю Q, мы получаем равенстваf (х)U (Х)qJ (Х)g (х) = g (Х) 'Ф (Х) = 'Ф (х) •изЛегко видеть, далее, что сумма и произведение любых элементовявляющихся частными многочленов из Р [xl, снова могут бытьQ,пред ставлены в виде таких частных, причемсправедливы обычныеправила сложения и умножения дробей:f (х) + qJg (Х)(х) ='Ф (х)f (х)g (х) •f (х) 'Ф (х) +g (х)g (х) 'Ф (х)qJ (х)'Ф (х) =f (х).
qJ (х)(Х)''Ф (х)gqJ (х)(2),•(3)Действительно, умножая обе части каждого из этих равенств напроизведение g(х)'ф,(х) и применяя (1), мы получим равенства,справедливыевкольцеР [х].Справедливость равенств (2) и (3)§ 50]ПОЛЕследует теперь изв полеРАЦИОНАЛЬНЫХДРОБЕЙ307.ого, что, благодаря отсутствию делителей нуляобе части каждого из полученных равенств можно сокраQ,тить на отличный от нуля элементg(x)'Ф (х), не нарушая равенств.Эти предварительные замечания под сказывают нам тот путь, покоторому мы должны пойти при построении поля Р(х).
Пусть даныпроизвольное поле Р И над ним кольцо многочленов Р[х]. Всякойgупорядоченной паре многочленов [(х),(х), гдеg (х) =1= О,мы ста-вим в соответствие символ ~ i:~, называемый рацион,альн,ой дробыос числителем [(х) и зн,аМен,ателем(х). Подчеркиваем, что этоgпросто символ, соответствующий данной паре многочленов, так какделение многочленов в самом кольце Р [х],вообщеговоря, невыполнимо, а ни в каком поле 'Кольцо Р[х] пока еще не содержится;если дажеследуетявляется делителем для [(х), новый символ ~ ~:~g(x)покаотличатьотмногочлена,частного при делении [(х) наполучающегосявкачествеg (х).Назовем теперь рациональные дроби ~ \;) и ~ \;)f (х)paBIibl.JlU:qJ (х)(4)g(X)=1jJ(X) 'если в кольце Р [х] имеет место равенство [(х) 'Ф (х) = g (х) qJ (х).Очевидно, что всякая дробь равна самой себе, а также, что еслиодна дробь равна другой, то и вторая равна первой.
докажемт р а н з и т и в н о с т ь этого понятия равенства. Пу сть даны равенстваи(4)qJ (х)и (х)(5)1jJ (х) = v (х) •Из равносильных им равенств в кольце Р[х][(х) 'Ф (х) =g (х) qJ(х),qJ (х) 'V (х) = 'Ф (х) и (х)вытекаети поэтому, после сокращения на не равный нулю (как знаменательодной из дробей)многочлен 'Ф (х), получаем:f(х) 'V (х) =g (х)и (х),откуда, по определению равенства дробей,f(х)и (х)g (х) = v (х) •что и требовалось доказать.Объединим теперь в один класс все дроби,данной,собой.равныенекоторойи поэтому, в силу транзитивности равенства, равные междуЕсливодномклассеимеетсяхотябыоднадробь,не308полясодержащаясяравенства,вдругомэти дваиклассе,класса[гл.МНОГОЧЛЕНЫ10то, как следует из транзитивностине имеют ни ОДНОГО общегоэлемента.Таким образом, совокупность всех рациональных дробей, написанных при помощимногочленов из кольца Р [х], распадается нанепересекающиеся классы равных между собой дробей.
Мы хотим1 еперь так определить алгебраические операции в этом м н о ж е с т в ек л а с с о в равных дробей, чтобы оно оказалось полем. Для эгогомыбудемкаждыйопределятьразоперациипроверять,чтонадзаменарациональнымидробями ислагаемых (или множителей)равными им дробями заменяет сумму (или произведение) также равной дробью. Это позволит говорить о сумме и произведении классовравных дробей.Предварительно сделаем следующее замечание, которое дальшебудет неоднократно применяться: рациональная дробь превращаетсяв равнуюндодиндробь,иесли ее числитель и знаменатель умножаютсятотжемногочлен, отличный от н уля, илиJ/ceсокращаются на любой общий /Jножuтель.
Действительно,f (х) f (х) h (х)g (х) = g (х) h (х) ,так как вкольце Р[х]/(х) [g(x) h (х)]=g (х) [лх) h (x)l.Сложение рациональных дробей мы определяем по форм улетак как изчастьэтойg(x) =1=о и 'Ф (х)формулыЕсли дано, далее,=1= оследует'Ф (х)=1= О,(2);то права>!действительно будет рациональной дробью.чтоqJ (х)1jJ (х) =т.g(x)qJn (х)'1'0 (х),е./ (х) go (х)то,умножая обечастивторогоравенства[f (х)'Ф (х)= g (х) /0 (х),части первого из равенствравенствапочленно,мы-- на g (х) go (х),а= 'Ф (х) еро (х),(6)(6)на 'Ф (х) 'Фо (х), обезатемскладывая этиполучим:+ g (х) ер (х)] go (х) 'Фо (х) =[/0 (х) 'Фо (х) + go (х) еро (х)] g (х) 'Ф (х),=чтоер (х) 'Фо (х)равносильноравенствуf (х) 1jJ (х) + g (х) qJg (х) Ф(х)(х) _-f о (х) Фо (х) + до (х)go (х) '1"0 (х)qJO (х)Таким образом, если даны два класса равных между собой дробей,то суммы любой дроби из одного класса с любой дробью издругого класса все между собой равны, т.
е. лежатвнекоторомвполне определенном третьем классе. Этот класс называется суммойзаданныхдвухклассов.ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ§ 501309к о м м у т а т и в н о с т ь этого сложения непосредственно вытекаетиз(2),[ ' (х)g (х)а а с с о ц и а т и в н о с т ь доказывается следующим образом:+ ер (Х)] + u (х) -== 1(х) '1' (х) + g (х) 'Р (х) + u (х) ='1' (х)v (х)g (х) '1' (х)v (х)_ ( (х) '1' (х) v (х) + g (х) 'Р (х) v (х) + g (х) '1' (х) и (х)g (х) '1' (х) v (х)= f (х)g (х)Из определенияОдроби вида g(x)'+ 'Р (х) v (х) +'1' (х) u (х)равенстват.f (х)'1' (х) v (х)е.g (х)+ ['Р (х) + и (х)]'1' (х)v (х)дробей без труда следует,•что вседроби с равным нулю числителем, равнымежду собой и что они составляют полный класс равных дробеif.ЭlОТ класс мы назовемше\! сложениидробьнулевЫ.Аt и докажем,что он играетв нароль нуля.
действительно, если дана произвольная'Р(Х)'1' (х) , то~g (х)+ 'Р (х) = 0.'1' (х) + g (х) 'Р (х) = g (х) <р (х) ='1' (х)g (х)'1' (х)g(x)'1' (х)'Р (х)'1' (х)•Из равенстваправаячастькоторогопринадлежиткнулевомуклассу,следуеттеперь, что класс дробей, равных дроби g~;;) будет nротивоnоIЛОЖНЫ.Аt для класса дробей, равных дроби ~знаем,следуетвыполнимостьоднозначногоr;).Отсюда, ка" мывычuтаnuя.у множеnuе рациональных дробей мы определим по формуле(3),причем, ввиду к(х) 'Ф (х)*О, правая часть этой формулы действительно будет рациональной дробью.
Если, далее,f (х)g (х)т.е./ (х) go (х)то,перемножая{о (х)= go (х) ,= g (:х) /0 (х),эти'Р (х)'Ро (х)'1' (х) = '1'0 (х)(j) (х) 'Фо (х)последниеравенства,= 'Ф (х) (j)o (х),по член но,мыполучим:/ (х) go (х) (j) (х) 'Фо (х) = g (х) /0 (х) 'Ф (х) (j)o (х),чторавносильноравенству{ (х) 'Р (х)g (x)'I' (х)Таким образом,классов,можнособой дробей.10 (х) 'Ро (х)go (х) '1'0 (х)по аналогии с даннымговоритьо•выше определениемnроuзведенuuсуммыклассов равных между310поляи[гл.МНОГОЧЛЕНЫ10к о М М У т а т и в н о с т ь и а с с о Ц и а т и в н о с т ь этого умножениянепосредственноследуют из(3),асправедливость з а к о н аД и с т р и б У т и в н о с т и доказывается следующим образом:[ ' (х)g (х)+ ер (х)]\jJ (х)и (х)v (х)(f (х) \jJ (х)= f (х) \jJ (х) + R" (х) ер (х)g (х) \jJ(х)+ g (х) ер (х)] и (х)g (х) \jJ (х) v (х)=_ f (х) \jJ• и (х) =v (х)f (х) \jJ (х) и (х) + g (х) ер (х) и (х)g (х) \jJ (х) v (х)+(х) и (х)fv (х) g (х) ер (х) и (х) v (х)g (х) \jJ (х) и 2 (х)-(х) и (х)g (х) v (х)f (х)= g (х)+u•v=ер (х) и (х)=\jJ (Х) V (х)(х)(х)ер (х)и (х)+ \jJ (х) • v (х) •Легко видеть, что дроби вида ~ i:~, т.
е. дроби, числителькоторых равен знаменателю, все равнымежду собой и составляютотдельный класс. Этот класс называется едиnиЧnЫ.!t и играет в нашемумножениирольединицы:f (х)f (х)Если,т. е. /(х)наконец,=1= о,ер (х)• \jJ (х) =то существует дробьf (х)праваячастьер (х)\jJ (х) •дробь ~ ~~) не принадлежит к нулевому классу,g (х) •аf (х) ер (х)f (х) \jJ (х) =этогоg(x}f (х)' Так какg(x)f (х) g (х)f (х) = g (х) f (х) ,равенствапринадлежит к единичному классу,f ,то класс дробей, равных дроби ~;; будет обратnым для классадробей, равных дроби ~ i:~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
