1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 63
Текст из файла (страница 63)
мы получим:+ t.ft.t (Х1 'Х 2 • ••• , Х n ) = <р (Х 1 • Х 2 • •••• Х n )g (X1 • Х 2 •.... Х n )= 'Ф (Х 1 ' Х 2 • .... Х n )+ ... ,+ ... ,где <р и 'Ф будут соответственно формами степенейзаменяют суммы форм меньших степеней. Тогдаfg=<р'Ф+sиt,амноготочия.. • ;s+t.форма <р'Ф имеет. по доказанному. степеньа так как все члены. замененные многоточием. имеют меньшую степень. то степень произведенияfgбудет равна s+t. Теорема доказана.Многочлен <р называется делителем многочлена {. аделяU(имсяна <р. если в кольце Р [X 1• X z• ...• Х n ] существует такой многочлен 'Ф.
что= <рф. Легко видеть. что свойства делимости 1- 1Х из § 21 сохраняются иf. -fв рассматриваемом сейчас общем случае. Многочленfстепениk. k:;;:,: 1. называется приводимым над полем Р, если он разлагается в произведениемногочленов из кольца Р [Х 1 , Х 2 • •••• Х n ]' степени которых меньше k, инеприводимым - в противоположном случае.Всякий многочлен из кольца Р [Х 1 ' Х2 • ••• , ХnЗ' имеющий - степень,отличную от НlfЛЯ,разлагается в про изведение неприводимых множителей. Это разложение однозначно о точностью до множителей нулевой степени.Эта теорема обобщает соответствующие результаты из § 48.
относящиесяк МНОГОIJленам от одного неизвестного. Ее первое утверждение доказываетсядословным повторением рассуждений из указанного параграфа. Доказательство второго утверждения представляет уже значительные трудности. Преждечем проводить его. мы заметим, что из второгоутвержденияэтой теоремыtBbITeKaer такое следствие: если произведение двух многочленови g изкольца Р [X1, Х 2 • ••• , Хn] делится на неприводимый многочлен р.
то хотябы один из этих многочленов делится на р. Действительно, в противномслучае мы получили бы для произведения fg два разложения на неприводимые множители,одно из которых рне содержит,а другое содержит.316МНОГОЧЛЕНЫОТНЕСКОЛЬКИХПусть теорема уже доказана дляхотимдоказать ее длямногочленов отмногочлена от[ГЛ.НЕИЗВЕСТНЫХn+1n11неизвестных. и мынеизвестных х. х 1 • х 2 • •••• Х n 'Запишем этот многочлен в виде fP (х); его коэффициенты будут. следовательно.
многочленами от Х!. Х 2 • •••• Х n ' ДЛЯ ЭТИХ коэффициентов теорема ужедоказана. т.е.каждый из них однозначноразлагаетсяприводимых множителей. Назовем многочленnримuтивным над кольцом. Р [x 1 • х 2 • •••• Х n )'в произведение не(х) nрuмuтuвным (точнее.если его коэффициенты неfPсодержат ни одного общего неприводимого множителя. т. е.
в совокупностивзаимно ПРОС1Ы. и докажем следующую л е м м у Г а у с с а:Произведение двух nримитивных многочленов само есть nримитuаныймногочленВ самом деле. пусть даны примитивные многочленыf (x)=aOx"+a1x"-1 + ... +щх k - i + .•• +а".g (х) =ьох ' +b1xl - 1 + ... +bJx l - i + ... +ь!с коэффиuиентами из кольuа Р [x1 • Х в ' .: .• х n ) и пустьf (х) g (х) =сохНI +C1xk+l-l+ ... +Ci+jX"+t-(i+JI + ... +с,,+/.Если это произведение не примитивно, то коэффициенты Со. C1 ••••• Ck+/будут обладаl ь общимнеприводимым множителем р = Р (x1 • х 2 • •••• Х n )'Так как все коэффиuиенты примитивного многочлена(х) не могут делитьсяна р. то пусть коэффиuиент Щ будет первым.
иа р ие делящимся; аналогично через Ь j мы обозначим первый коэффициент многочлена g (х). иеделяшийся на р. Перемножая почленно(х) и g (х) и собирая члены. соftдержащие хk+l-(I+Л. мы получим:Ci+J =а,Ь} +щ _lb J+1 +Щ_2Ь/+2 + ... +ai+lb/_l +ai +2bJ-2 + ...Левая часть 9'fOro равенства делится на неприводимый многочлен р. На негозаведомо деляте я также все слагаемые правой части, кроме первого; дейсгвительно. ввиду условий. наложенных на выбор i и j.
все коэффиuиентыb;_l' bj _ 2• • " делятся на р. Отсюда следует. чтопроизведение а,Ь ! также делится на р. а поэтому. как отмечено выше. на р;:олжен делиться хотя бы однн из многочленов щ, bj • что. однако. не имеетместа. Этим gаканчивается доказательство леммы в предположении справедa'_l' Щ-2' .... а такжеливости основной теоремы для многочленов от n неизвестныхКольцо Р [х!? х 2 • •••• х n ] содержится. как мы знаем. в поленальных дробей р (х 1 • х 2 • •••• х n ). которое мы обозначим через Q:Q=РассмотримкольцорациоР (X 1 • х 2 • •••• Х n )'многочлеиовQ [х).Если многочлеиfP(х) прннадлежитк этому кольцу.
то каждый его коэффициент представим в виде частногомногочленов из кольца Р [x 1 • х 2 • •••• Х n )' Вынося за скобки общий знаменатель !пих частных. а затем 11 общие множители 113 числителей. можнопредставить fP (х) в видеfPа(х) = Ьf (х).Здесь а и Ь являются многочленами из кольца Р [х 1 • х 2 • •••• Х n ]' амногочленом от хс коэффициентамииз Р [х 1 • Х 2 • ••• ,xnJ.причемf (х)дажепримитивным многочленом. так как его коэффициенты уже не имеют общихм 1l0житепеЙ.Этим путем всякому многочленуветствиепримитивныймногочленfP(х) из кольцаf (х).Q [х) поставлен в соотДля данногоfP(х)многочленi (х)§ 51]КОЛЬЦОМНОГОЧЛЕНОВОТопределен однозначно с точностьюnО/lЯ Р. Действительно, пустьаqJ (х) =ьгдеgНЕСКОЛЬКИХдоотли'!ного317НЕИ3ВЕСТНЫХотнулямножителя изсf (х) = ([g (х),(х)- снова ПРИМИТИВIIЫЙ мно.гочлен.
Тогдаadl (х) =bcg (х).Таким образом, ad и Ьс получены вынесением всех общих множителей изКОЭффlluиентов одного и того же многочлена над КОЛЬUО\l Р [х 1 , х 2 , ••• , xnJ.Отсюда вытекает, ввиду справедливости в этом кольuе (по предположениюИНДУКЦИИ) теоремы об однозначноrти разложения, что ad и Ьс могут отличаться друг от друга лишь множителем нулевой степени. Таким же множителем, следовательно, отличаются друг от друг примитивные многочлены(х) и g (х).Произведению двух многочленов из кольца Q [х] соответствует произведение соответствующих им npUAlumUBHblX многочленов. В самом деле,fеслиаqJ (х) = Ьгде1(х)иg (х) -f (х),сd\jJ (х) =g (х),примитивные многочлены, тоас1(х) g (х).qJ (х) \jJ (х) =мНо, как доказано выше, произведениеf(х) g (х) является ПРИI\IИТИВНЫМ многочленом.Отметим, далее, что если многочлен qJ (х) из кольца Q [х] неnР1l80дllм,над полем Q, то соответствующий ему nримитивный многочлен(л),рассматриваеАIЫЙ как многочлен от х, Х 1 , х 2 ' .•• , х n ' также будет неnриводимым, u обратно.
В caMO~1 деле, если многочленприводим,= 1f2,f1то оба множителя должнысодержатьfчленне был бы примитивным.qJ (х) над полем Q:qJ(х) =Отсюда1 (х) =:tнеизвестное х, так какBbITeKarT(ъ-tI'наче многоразложение многочлена{1) 12'Обратно, если многочлен qJ (х) приводим над Q, qJ (х) = ЧJ1 (х) !Р2 (х), то приМИТИlJные многочлены(х) и(х), соответствующие многочленам !Рl (х)1112и ЧJ2 (х), будут оба содержать х, но их произведение, как доказано выше,равно(х) (с точностью до множителя из поля Р).1Возьмем теперь примитивный многочлендимые множители,не только должнымногочленами, такfиз поля Р.1 небыл бы ПРИМIIТИВНЫМ. Это разложение nримибllдет однозначным с точностью до множителейВ самом деле, ввидупредшеС1вующейна это разложение как на разложениеполемQ,этиразложим его на непривосодержать н'еизвестное х, но даже будут примитивнымикак иначе многочленmивного многочленаВсе1имножителиl=f1'f2'" .,fk'f (х) налеммы,можно смотретьнеприводимые множители иадно для многочленов от одного неизвестного над некоторым полЕ'моднозначность разложения нам уже и~вестна; эта однозначность имеет местос точностью до множителе.Й из Q; однако в нашеы случае, благодаря приМИТИВНОСТИ всех множителейона будет с точностью до множителей из Р.fi,После этих лемм,справедливостькоторыхнамидоказана,исходяизиндуктивного предположения, доказательство нашей ОСНОВНОЙ теоремы прnходит БЕ'1 всяких затруднений.
В самом деле, всякий неприводимый многочлен из кольца Р (х, X 1 , х 2 , ••• , Хn! будет или неприводимым многочленом818МНОГОЧЛЕНЫиз кольца Р [х 1 , х 2 ,от••• , х n ),НЕСКОЛЬКИХ••• , х n )мыпредставим<р в11или же неприводимым примитивным многочленом. Отсюда следует, что если нам дано некоторое<р (х, х 1 , Х 2 ,[ГЛ.НЕИЗВЕСТНЫХразложение многочленана неприводимые множители, то, объединяя множители,видегде а от х не зависит,fаявляется примитивнымоднако, что это разложениедляq>многочленом.
Мы знаем,однозначно с точностью до множителейиз Р. Так как, с другой стороны, однозначность разложения на неприводимыемножителидлямногочлена а отnнеизвестныхимеетlместопо предположению индукции, а для примитивного многочленадоказана в предшествующей лемме, то наша теорема для случая n1 неизвестных также+полностьюдоказана.Из доказанных выше лемм вытекает еще одно интересное следствие:если многочлен q> (х) с коэффициентами из Р (х 1 , х 2 , ••• , х n ) приводимнад полем Q = Р (хl' х 2 , ••• , х n )' то он может быть разложен на множители, зависящие от х и имеющие коэффициентами многочлены из кольцаР [X1 , Х 2 , ••• , Х n )' Действительно, если многочлену q> (х) соответствует примитивный многочленf (х),т.
е. q> (х) =а' (х), то, как мы знаем, из разложиfмости q> (х) следует разложимость(х); последнее приводит, однако, к разложению q> (х) над кольцом Р [х 1 , х 2 ' •.• , Х n )'В отличие от случая многочленов от одного неизвестного, которые, какмы знаем из § 49, могут быть разложены на линейные множители над соответственноподобраннымрасширениемрассматриваемогоосновногополя,над любым полем Р существуют а б с о л ю т н о н е при ~ о д и м ы е многочлены nроизвольноii степени от нескольких (двух или более) неизвестных,т. е.
многочлены, которые остаются неприводимыми при любом расширении8ТОГОполя.Таков, например, многочленНх, у) =!р (х)где!р (х)-произвольный+ у,многочлен от одногонеизвестногонад полем Р.Действительно, если бы в некотором расширении Р поля Р существовалоразложениеf (х,то, записываяgиhу)=g (х,у)hне зависит от у, а затем,пень О, т.е.hу),по степеням у, мы получили бы, что, например,g (х, у) ==а о (х) у +al (х),т. е.h (х,не зависит и от х.Лексикографическоемногочленов от ОДНОГОh (х,у) =Ьо (х),ввиду а о (х) Ь о (х) =расположениечто Ь о (х) имеет сте1,членовмногочлена.Длянеизвестного мы имеем два естественных способа расположения членов-по убывающим и по возрастающим степеням неизвестного. В случае многочленов от нескольких неизвестныхтакиестепениотспособытрех!(X 1 ,ужеотсутствуют:если данмногочлен пятойнеизвестных)Х 2 , Хз =Х 1 Х 22 Х 2з+Х 41 Хз+2Х32 Хз+2Х21 Х2Хз ,то его можно было бы записать и в виде!(X1, Х 2 , ХЗ)=Х~Х8+Х~Х2Х:+Х1Х:Х:+Х:Х:,§ 51]кольцоМНОГОЧЛЕНОВотНЕСКОЛЬКИХ319НЕИ3ВЕСТНЫХи нет оснований одну из этих записей предпочесть ДРУГОЙ.
Существует, однако, способ вполне определенного расположения членовмногочлена от несколькихнеизвестных, зависящий,впрочем, от выбора нумерации неизвестных; для многочленов от одного неизвестного он при водит К расположению членовнеизвестного. Этот способ, называемыйпо убывающим степенямле"СUlсографuчес"u.м, подсказан обычным приемом расположения слов в словарях (<<лексиконах»): считая буквы упорядоченными так, как это принято в алфавите, мы определяем взаимное положение двух данных слов в словарепо их первым буквам, если же эти буквы совпадают, то по вторымбуквам и т. д.Пусть дан многочленивнемдваразличныхI(Х 1 , Х 2 , •• ' .
Х n ) из кольца Рlx 1 , Х 2 ,••••Хnlчлена:X kl'Xk22 ••• Xknn'(1)(2)коэффициенты которыхР. Такэлементами -йзодна из разностейявляются некоторыми от личными от нулякак члены (1) и (2) различны, то хотя быпоказателейпринеизвестныхi = 1, 2, .•. , n,k r - /i ,отлична от нуля. Член (1) будет считаться выше члена (2) (11 член(2)-ftuже члена (1», если первая из этих разностей, отличная отнуля, положительна, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
