1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 60
Текст из файла (страница 60)
+ b,,_la"'-lте жекоэффициенты.Этимдоказа.-tавтораятеоремы.Переходим к доказательству основной первой половины ЭТОЙ теоремы, причем изложенное выше подскажет на м пути для этого. Намдан многочлен j (х) степени n ~ 2, неприводимый над полем Р, инужно построить расширение ПОЛЯ Р, содержаLЦее корень для j(x).ДлянаэтоговозьмемвсенепересекаЮLЦиесядаЮLЦие при делениикольцоклассы,многочленовотнесяна заданный намвР [х]одини разобьемклассмногочлен/егомногочлены,(х) одинаковыеостатки. Иными словами, многочлены ер (х) и 'Ф (х) относятся к одномуклассу, если их разность нацело делигся наj(x).Условимся обозначать полученные классы буква\ш А, В, С и т.
д.ИследуюLЦИМпроизведениеввполнеестественнымспособомопределимсуммуиKJJaCcoB. Возьме\1 любые два класса А и В, выберемнекоторый многочлен ерl (х), в классе В- HeKoTopblftклассе Аыногочлен 'Фl (х) и обозначим через Хl (х) сумму ЭТИХ многочлеНОJJ.%1а через е 1 (х)(х) = ерl (х)+ 'Фl (х),- их произведение,е 1 (х)=ерl (х) . 'Фl (х).302поляи[гл.МНОГОЧЛЕНЫ10Выберем теперь в классе А любой другой многочлен ер2 (х), в классеВ - любой многочлен 'Ф2 (х) и обозначим через'вен:твенноихсуммуи%2 (х)и82(х) соотпроизведение:+%2 (х) = ер2 (х) 'Ф2 (х),82 (х) = ер2 (х).
'Ф2 (х).По условию многочлены ер1 (х) и ер2 (х) лежат в одном классе ~,а поэтому их разность ер1 (х) - ер2 (х) нацело делится на j (х); этимже свойством обладает и разность 'Ф1 (х) - 'Ф2 (х). Отсюда следует,чторазность%1 (х) - %2 (х)==++[ер1 (х)'Ф1 (х)] - [ер2 (х)'Ф2 (х)] =[ер1 (Х)-<Р2 (х)]['Ф1 (х)-'Ф2 (х)]+такженацело делится на многочленразности 81 (х)-8 2 (х), так какj(4)(х). Это же вернои для81 (х) - 82 (х) =ер1 (х) 'Ф1 (х) - ер2 (х) 'Ф2 (х) ==+ер1 (х) 'Ф1 (х) ~ ер1 (х) 'Ф2 (х)ер1 (х) 'Ф2 (х) - ер2 (х) 'Ф2 (х) ='Ф2 (х)][ер1 (х) -ер2 (х)] 'Ф2 (х).+= <Р1 (х) ['Ф1 (х) Равенствопоказывает, что многочлены(4)%1(х] и%2(5)(х) лежатв одном классе. Иными словами, сумма любого многочлена из класса Ас любым многочленом из класса В принадлежит ко вполне определенному классу С,который не зависит от того, какие именно многочленыкачествевыбраныв«представителей»вклассахА и В;назовем этот класс С суммой классов А и В:С=А+В.Аналогично, ввиду (5), не зависит от выбора представителейА и В и тот класс D, в котором лежит произведениев классахлюбого многочлена из А на любой многочлен из В; этот классназовем flроuзведенuем классов А и В:D=AB.Покажем, что совокупность классов, на которые разбито намикольцо многочленов Р [х], после указанного введения операций сложения и умножения превращается в поле.
В самом деле, справедливостьз а к о н о ва с с о ц и а т и в н о с т иик о м м у т а т и в н о с т идля обеих операций и з а к о н а д и с т р и б у'т И В Н О С Т И вытекаетиз справедливости этих законов в кольце Р [х], так как операциинадклассамисводятсянаоперациинадмногочленами,лежащимив этих классах. Роль н у л я играет, очевидно, класс, составленныйиз многочленов, нацело делящихся на многочлен j(x). Этот классназовем нулевым и будем обозначать символом о. Про т и в оп о л о ж н ы м для класса А, составленного из многочлеnов, дающих§ 49]ТЕОРЕМАСУЩЕСТВОВАНИЯ303корняпри делении на /(х) остаток qJ (х), будет служить класс, составлен·ный из многочленов, дающих при делении на / (х) остаток -qJ (х),Отсюда вытекает, что в множестве классов выполнимо однозначноев ы ч и т а н и е.Для доказательства того, что вмножествеклассоввыполнимод е л е н и е,нужно показать, что существует класс, играющий рольединицы,чтоидлявсякогокласса,отличногоотнулевого,существует обратный класс.
Е д и н и Ц е й будет, очевидно, класс многочленов, дающих при делении на / (х) остаток 1; этот класс назовемединичным и будем обозначать символом Е.Пусть теперь дан класс А, отличный от нулевого. Многочлен qJ (х),выбранный в классе А в качестве представителя, не будет, следовательно, нацело делиться на / (х), и поэтому, ввиду неприводимостимногочлена /(х), эти два многочлена взаимно просты. В кольце Р(х]существуют, таким образом, многочлены и (х) ищиеравенству+/ (х) v (х) =qJ (х) tt (х)v(х), удовлетворяю1,откудаqJ (х) tt (х) = 1 - / (х) v (х).Правая часть равенстват. е.
принадлежитпри делении на(6)(6)/(х) дает в остаткепринадлежит многочлен tt (х), мы обозначим через В, то равенствопоказывает,1,к единичному классу Е. Если класс, к которому(6)чтоАВ=Е,откуда В=А -1.Этимдоказанодля всякого не нулевогокласса,чтополе.классысоставляютсуществованиет.обратногоклассае.
закончено доказательствотого,Обозначим это поле через Р и пакажем, что оно является расширениеJrt поля Р. Всякому элементу а поля Р соответствует класс,составленный из многочленов, дающихтока;самэлемента,при делениирассматриваемыйкакj(х) остамногочленнанулевойстепени, принадлежит к э~му классу. Все классы этого специальноговида составляют в полетельно,взаимнаяР подполе, изоморфноеоднозначностьсоответствияполю Р. Действиочевидна;сдругойстороны, в этих классах можно выбрать в качестве представителейэлементы поля Р, а поэтомусумме (произведению) элементов из Рбудет соответствовать сумма (произведение) соответствующих классов. В дальнейшем мы имеемправо,следовательно,неразличатьэлементы поля Р и соответствующие им классы.Обозначим, наконец, через Х класс, составленный из многочленов,дающих при делении на j(x) остаток х. Этот класс является вполнеопределеннымэлементомполяслужит корнем для многочленаI(х)Р,jимыхотимпоказать,(х). Пусть= аох n + a1x n - 1 + ' , , -tа n _ 1х+а n •чтооп304поляи[гл.МНОГОЧЛЕНЫОбознаЧЮI черезAiкласс,соответствующийсмысле элементуaiполяi=Р,1, ...
,n,О,вуказанном10вышеи найдем, чему равенЭ.'!емент(7)поля Р. Считая представителями классова представителе~1A i элементыаi,i=О, 1, ... , fl,класса Х -многочлен х и используя определениесложения и умножения классов, мы получаем, что в класседержится сам многочленf(x).(7)соОднако [(х) нацело делится на самогосебя, и поэтому класс (7) оказывается нулевым. Таким образом, заменяя в (7) классы A i соответствующими им элементами a i поля Р,мыполучаем,чтов полеР имеетaoX n +a 1X n -l+ ...т.е.классХдействительноместоравенство+а n _ 1 Х+а n =0,являетсякорнеммногочлена [(х).Этим заканчивается доказательство теоремы о существованиикорня.
Заметим, что, в з я в заР п о л е д е й с т в и т е л ь н ы хчисел и положив [(х)=х 2 +1, мы получим еще одинс п о с о бп о с т р о е н и яп о л як о м п л е к с ны хч и с е л.Из теоремы о существовании корня могут быть выведены следствия,аналогичные тем,TeOpe\Ibl алгебрыние.Так§ 24которые выводились визосновнойкомплексных чисел. Сначала сделаем одно замечакак всякий линейный множитель х-с многочлена [(х)неприводим~тоондолженвходить втое д и н с т в е н н о е разложение на неприводимые множители, которым обладает [(х).Число J111Нейных множителей в разложении [(х) на неприводимыемножителине'тена. Мыможетприходи мпревосходить, однако,1{стенениэтогомногосяедующему результату:Многочлен [(х) степени n .может и.меть в поле Р не более nесли даже каждый из корней считать столько раз,корней,каковаегократность.Назовеи nоле.м разложения для многочлена лх) степенипопемР такое расширениежитсяnкорнейкратность).Надследовательно,(считаяполемQкратныеQnнадполя Р, в котором для [(х) содеркорнимногочленf(x)столько раз,будеткакова ихраскладываться,на линейные множители, причем никакое дальнейшеерасширение поляQуже не может привести к появлению новых корней дл"я f(x).Для всякого .многоч 1енаf(x)из кольца Р[xlсуществует надnоле.!.t Р поле разложения.Вnсамомделе,еслимногочленкорней в самом поле Р,ЕслижеI(х)не[(х)степениn,n~ 1, имеетто Р будет искомым полем разложения.разлагается над Р на линейные множители, тоберем один из его нелинейных неприводимых множителей qJ (х) и,наоснованииTeOpe\lblосуществованиикорня, расширяемР дополя Р', содержащего корень для qJ (х).
Если над Р' многочлен [(х)§ 50]ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХДРОБЕЙ305все еще не разлагается на линейные множители, то снова расширяемполе,создаваякореньещедляодногонеприводимых множителей. ПослеО'lевидно,изоставшихсянелинейныхчисла шагов мы приде~l,KOHe'lHOfOк полю разложения для [(х).Понятно, что [(х) может обладать многими разли'lНЫМИ по.1ЯМИразложения.
Можно было бы доказать, что все минимальные поля,содержащие поле Р и n I(орней многочлена [(х) (где n - степеньэтого МНОГО'lлена), изоморфны между собой. Мы не будем, однако,использоватьэтогоутвержденияипоэтомуне приводим его доказательства.Кратные корни. В предшествующем параграфе было доказано,что многочлен [(х) над полем Р характеристики О тогда и толькотогда не имеет кратных множителей, если он взаимно прост со своейпроизводной, аOTMe'leHO,также было'1ТО отсутствие у [(х) кратных множителей над Р вле'lет за собой отсутствие таких множителейнад любым расширением Р поля Р.
Применяя это к случаю когда Ресть некоторое поле разложения для [(х), и вспоминая опред:елениекратногокорня,мыприходимКследующемурезультату:Если мн,огочлен, [(х) над полем Р хара/(терцсти/(и О не имеет/(ратн,ых/(орнейnростсосвоейnростСОсвоейвданномполеnроизводн,ойnроuзводной,н,и в /(а/(ом из['разложения,(х).тоОбратно,ононвзаимн,оимеет /(ратных /(орн,ейсвоих полей разложен,ия.Отсюда, в частности,вытекает,j(x),'1ТО .м,н,огочленмый над полем Р хара/(теристи/(и О,/(орнейн,етоесли [(х) взаимнонеnриводин,е может иметь /(ратн,ыхни в /(а/(ом расширении этого поля.
Для полей коне'lНОЙхарактеристики это утверждение перестает бытьобстоятельство,справедливымиграющееза метную роль в общей теории полей.В заКЛЮ'lение заметим,'1то для слуцая nроизвОЛЫiого поля СОхраняются и ФОРМУЛЫ Вьета (см.§ 24);'1ленаразложенияберутсявнекотором§ 50*.ипри это:.! корнимногоэтого МНОГО'lлена.Поле рациональных дробейТеория рацион,альныхсохран,яется.поледробей,изложенная в§ 25,ILOлностыов случае nроизвольного основного поля.Однакопри переходе от поля действительных чисел к произвольному полю Рвзгляд на выражения ; ~~ как на Ф у н к Ц и и переменного х должен1(бытьотброшен, таккак он,"а[( мы знаем,неприменим ужемногочленам. Перед нами стоит задача определить, какой смыслнужн() придать этим выражениям в том СЛУ'lае, когда коэффициентыпринадлежат к произвольному полю Р.поле,чемввтак,этомTO'lHee,мы хотим построитькотором содержалось бы кольцо МНОГО'lленов Рчтобыновомопера!LИИПОJlе,всложения и умножения,\xj,приопределенныеприменении к многочленам совпадали бы306поляи[ГЛ.МНОГОЧЛЕНЫ1Ос операuиями в кольuе Р [х); короче, кольuо Р [Х) должно быть п о д){ о л ь Uо м этого НОВОГО поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
