1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Больше того, такни производная многочлена, ни наибольший общий делитель двухмногочленов не зависят от того,его любое-сейчасрасширениерезультатамыЕсли .многочленjР,рассматриваем лимы поле Рилито в качестве следствия из доказанногополучаем:(х) с коэффицuента.lttи из поля Р характеристики нуль не и.меет над этим полем кратных множителей,то у него не будет кратных .множителеЙ ни надKaKu.lttрасширение.м Р поля Р.В частности, еслиj(х) неприводим над Р, а Р- некоторое расширение поля Р, то, хотяоднакозаведомо(над Р)неj(x)будетуже может быть над Р приводимым,делитьсянаквадратнеприводимогомногочлена.Выделениекратных множителей.
Если дан многочлен j (х)и если через d 1 (х) мы обозначим наибольшийобщий делигель [(х) и его производной j' (х), то (12) будет разложением для d 1 (х). Деля (11) lIа (12), мы получим:с разложением(11)V1(х)t (х)= d 1 (х) =а О Рl (х) Р2 (х) •.. Pl (х),Т. с. получим многочлен, не содержащий кратных множителей, приче\!всякийдлянеприводимыйt (х). Этиммножитель дЛЯ V 1 (х) будет множителем иразыскание неприводимых множителей для(х) своtдится к разысканию их для многочленаговоря,меньшуюстепеньн,вовсякомV 1 (х),случае,имеющего,вообщесодержащеголишьпростые множители. Если эта задача для V 1 (х) будет решена, тоостанется определить лишь кратность наЙденных неприводимыхмножителей вчто достигается применением алгоритма деления.j(x),Усложняя изложенный сейчас метод, можно сразу перейти к рассмотре"ИЮ нескольких многочленов без кратных множителей, причем, найдя непринодимые множители этих многочленов, мы не только найдем все нrприводнtмые множители для(х), но и будем знать их кратности.Пусть (11) будет разложением(х) на неприводимые множигели, причемнаивысшая кратность множителей есть s, s~ 1.
Обозначим через Р 1 (х) проIlзведение всех однократных множителей многочлена(х), через F 2 (х) -ftпроизведение всех двукратных множителей, но взятых ЩIШЬ по одному разу,и т. д., наконец, через F s (х) - произведение всех s-краТНbIХ множителей,также взятых лишь ПJ одному разу; если при этом для некоторого j в(х)01 сутствуют j-краТНbIе МНОr!{ители, то полагаем Р; (х) = 1. Тогда (х) будетделиться на k-ю степень многочлена Р" (х),приметk = 1, 2, ..
,S,видl(х) = аоР 1 (х) Р; (х) P~ (х) ... p~ (х),tи рэзложениеf(11)298поля(12)а разложениедляи[гл.многочлвныd 1 (х) = (f (х),f'(х»10перепишется в видеd1 (х) = F 2 (х) P~ (х) •.. p~-1 (х).иОбозначая через d 2 (х) наибольший общий делительего производной и вообще через d k (х) наибольшиймногочленов d k _ 1 (х) и d~-1многочлена d1 (х)общий делитель(х), мы таким же путем получим:d 2 (х) = F з (х) Р; (х) ••• p~-2 (х),d з (х) = F 4 (х) p~ (х) .•.
p~- з (х),.. . . . . . . . . . . .dS _ 1 (х) = F Sds (х)= 1.(х),Отсюдаf (х)V1(X)=d 1 (x)=a oF 1 (х) Р 2 (х) Fз(х) ... Ра(х),d1(х)и 2 (4= d 2 (х) =Р 2 (х) F з (х) .• , Р а (х),d2 (х)Vз (х)=d з (х)=F з (х) ... Ра(х),и а (х) =ипоэтому,dS _1 (х)ds (х)=Fs (х),наконец,F (1V1(х)х) = аои 2 (х) ,F 2.(х)= и~и 2 (х)'(х)....F ( )( )s х =иа х.Таким образом, пользуясь лишь приемами, не требующими знания неприводимых множителей многочленаалгоритмом Евклида и алгоритмомf (х),а именно взятием производной,деления, мы можем найти многочленыР 1 (х), Р 2 (х), •.. , Р а (х) без кратных множителей, причем всякий неприводимый множитель многочлена F k (х), k = 1, 2, ••• , s, будет k-краТНbIМдля(х).Изложенный здесь метод нельзя, понятно, считать методом для разложения многочлена на неприводимые множители, так как для случая s = 1,т.
е. для многочлена без кратных множителей, мы получим лишь(х) = Р 1 (х).fl§ 49*.Теорема существования корняСамо собою разумеется, что доказанная восуществованиидлявсякогочислового§ 23основная теоремамногочленакорнявподекомплексных чисел не может быть перенесена на случай произвольнога поля. В настоящем параграфе будет доказана теорема, в некоторой мере заменяющая в общей теории полей указанную основную теорему алгебры комплексных чисел.Пусть дан многочленj(х) над полем Р.
Естественно возникаетследующий вопрос: если многочленj(x)вообщене имеет корнейв поле Р, то существует ли такое расширение Р поля Р, в котором§ 491дляjТЕОРЕМА(х)уже найдетсясчитать,СУ~ЕСТВОВАНИЯхотябыодинчто степень многочленаj(x)299корнякорень? Приэтомможнобольше единицы: для многочленов нулевой степени вопрос не имеет смысла, а всякий многочленпервойстепениС другойахстороны,+Ьобладаетможноограничиться,многочленj(x)неприводим:любого изегонеприводимыхидлянегокорнемеслионЬв-асамомполе Р.очевидно, случаемприводиммножителейнадбудетР, тослужитькогдакоренькорнемсамого.Ответ на интересую~ий нас вопрос дает следую~ая т е о р е м ас у ~ е с Т в о в а н и яДлясуществуетжитсяк о р н я:вСЯ1Сого .многочлена j(x}.та1Соекореньдлярасширениеj(х).ВсенеnривоОи.Jtогоэтогополя,.мини.мальныевнадnоле.м1Соторо.мполя,Р,содерсодержащие!LOле Р и 1Са1Сой-либо корень этого .многочлена, изо.JtoРфны .Jtеждусобой.Докажем сна чала вторую половину этой теоремы.Пусть дан неприводимый над Р многочленj(x) = аох n + a1xn- 1причем n ~+ ..
". +an_1x+an,(1)j(x} не имеет корней в самом поле Р. Предположим, что существует расширение Р поля Р, содержа~ее корень адляj(x},2,т. е.и докажемследующуюл е м м у,необходимую для дальнейшего, но представляю~ую и самостоятельный интерес:Если лежащий в Р корень а .многочлена j (х), нenриводи.могоg (х)над Р, служит 1COPHe.Jl также для не1Соторого .многочленаиз 1Сольца Р [х]. то j (х) будет делителе.м для g (х).В самом деле, над полем Р многочлены j(x} и g(x} обладаютоб~им делителем х-а и поэтому не являются взаимно простыми.Свойство многочленов не быть взаимно простым и не зависит, однако,от выбора поля, ПОЭТОМУ можно перейти к полю Р и применитьсвойство v} из предшествую~его параграфа.Найдем теперь минимальное подполе Р (а) поля Р, содержа~ееполе Р и элемент а.
К нему заведомопринадлежатвсеэлементывида(2)где Ь о , b1, Ь 2 ,••• ,Ьn_1-элементы поля Р. Никакой элемент поля Рне может обладать двумя различными записями видаместотакже(2):если имеетравенство~= со + с 1 а + с 2 а 2 + ... + с n _ 1 а"-l,причем хотя бы при одномg(x) = (Ь о - Со)kCk=1= bk ,то а будет корнем многочлена+ (Ь 1 -C1) х + (Ь 2 -с 2 ) х + ... + (bn_1-C n_ 1) хn-l,2300поляи[гл.МНОГОЧЛЕНЫчто противоречит доказанной выше лемые, так как степеньg10(х)j (х).1{ числу элементов поля 75, имеющих вид (2), принадлежат всеэлементы поля Р (при Ь 1 = Ь 2 =- .•• = bn - 1 = О), а также сам эле~leHT а (при b1 = 1, [10 = Ь 2 = ...
= bn _ 1 = О). Докажем, что эле.менты вида (2) составляют все UC1CO.AZOe подполе Р (а). В самомменьшестепениделе, если даны эле~lенты ~ (с записью(2)) иу=с о +с 1 а+с 2 а 2 + ... +cn_1an-t,ТО, на основании свойств операций в поле ~р+у = (Ь о + с о )+ (Ь 1+ с 1 ) a-t (Ь 2 + с 2 ) а 2 + .•. +(Ьn - 1 ± Cn_ 1 ) аn-l,т. е. сумма и разность двух J1юбых элементов видаэлементамитакогоже(2)снова будутвида.Если мы перемножи"1 р и у, ТО 1I0ЛУЧИМ выражение, содержащее аnи более высокие с гепени а.
Однако из (1) и равенства j (а) = Овытекает, что а", а по"тому и a"+l, а n + 2 и т. д., можно выразитьчерез меньшие степени ЭJ1емента а. Наиболее простой способразыскания выражения для ~y состоит в следующем: пустьtj- (х)= Ьооткудаи+ ь 1 х+ ... + bn_1xn-\ер (а) =~,'Ф (а)=у.'Ф (х)= СО + C1X+ .•. +cn_1xn-1,Перемножимразде:IИМ это произведение на !(Х);ер (Х) 'Ф (х)гдеr (х)=!(х)q (Х) + r(х),(3)= d o + d 1x+ ... + d n_ 1x n- 1 •Б'еря значения обеих частей равенстваер (а) 'Ф (а)т. е., ввиду Ла)многочлены ер (х) и 'Ф (х)мы получим=f(а)(3)q (а)при х =а, мы получим:+ r (а),= О,~y=do+dla+ ...
+dn_ 1a n- 1 •Таким образом, произведение двух элементов видаэлементомтакогожеПокажем, наконец,р*'(2)Снова будетвида.чтоеслиэлемент~И\lеетвид(2),причемО, то элемент ~-1, существующий в поле Р, также может бытьзаписан в виде(2).Для ЭfОГО возьмем Многочленер(х)=Ь о +Ь 1 х+ ... +Ь n _ 1 хn - 1из кольца Р[х]. Так как степень ер (х) ниже степени !(х), а многочлен(х) неприводим над Р, то ер (х) и(х) взаимно просты ипоэтому, по §§ 21 и 47, в кольце Р[х] существуют такие многочлены и (Х) и 11 (х), чтоI!ер (х) и (х)+! (х) 11 (х) =1;~491ТЕОРЕМАможносчитатьприэтом,СУLЦЕСТВОВАНИЯчтостепеньU(X)=SO+SIX+'"Отсюда, ввидуравенстваI301корняи {х)n;меНЫl1е+Sn_lX"-I.(а) = О, следует:ер (а)u (а)=1н поэтому, ввиду равенства ер (а) =~, мы получаем:~-l=u(а)=SО+Slа+ ••.
+Sn_la"-I.Таким образом, совокупность элементов поля Р, имеюLЦИХ вид (2),составляет подполе поля Р; это и будет искомое поле Р(а). Так какмывидели,далее,меtlТОВ ~ и у видаэтихэлементовчтоприразысканиисуммыипроизведенияэле(2) нужно знать JJИШЬ коэффициенты выраженийчерезстепениа,тоМОn<IЮутверждатьвость слеДУЮLЦего результата: если сущеСl вует,расширение Р' поля Р, также содерn<ащеесправедлипомимо Р, другоенекоторыйкорень а'многочлена j(x), и если Р(а') есть минимальное подполе поля pl,Р и а', то поля Р (а) u Р (а') будут uзо.Jtорфн,Ы.JtU,содержащеепричем для получения изоморфного соответствия между ними нужноэлемен гу ~ вида (2) из Р (а) сопоставить элемент~'= Ь оизР(а'),половинаимеюLЦИЙ+ bia' + Ь 2 а'2 + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
