1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Пусть дан многочлен/(х) = аоХ n +a1xn -1+ ... + а n _ 1х+ аnс любыми комплексными коэффициентами. Подставим в него вместо хсумму x+h, где h-второе неизвестное. Разлагая в правой частикаждую из степеней (х+h)k,k.,;; n, по формуле бинома и собираявместе члены с одинаковыми степенямиh,мы получим, как читательбез труда про верит, равенство/(x+h)=/(x) +h/' (х)т. е. докажемформулупо степеням «при ращения»nh2hn ) (х),+21/" (х) + ...
+nг/Тэйлора,дающуюразложениелх+ h)h.!Н е п р еры в н о с т ь про и з в о л ь н О г о м н о r о ч л е н а(х)в л ю б о й т о ч к е хо доказывается теперь следующим образом.По формуле Тэйлора/(xo+h)- /(хо) = c1h+ c2 h'l.где+ ... +cnhn=!p (h),150МНОГОЧЛЕНЫИИХ(гл.корни5Многочлен fP (h) от неизвестного h есть многочлен без свободногочлена, поэтому, по леМ\lе 1, для всякогоО можно подобратьтакое б> О, что при I h 1б будет 1 fP (h) 18, т.
е.8><<If(xo+h)-f(xo)1<8,что и требовалось доказать.Из неравенстваIlf(xo+h) I-If(xo)f(x);~ If(xo+h)-f(xo}(13) § 18,основанного на формулерывности многочлена вытекаетгочлена111,и из доказанной сейчас непренеnрерывl-tосmь .модуляIf(x)Iмноэтот модуль является, очевидно, действительной неотрицательной функцией комплексного переменного х.Сейчас будут доказаны леммы, используемые при доказательствеосновной теоремы.Ле м м аом о Д у л е ~ с т ар ш е г оч л е н а.Еслидан.многоn;?; 1,Член n-й стеnеl-tи,j(x) =аох n + а 1 х n - 1 + а 2 х n - 2 + ... + аnСnроuзвlJЛbrtЫ.Аtи1Со.мnле1Ссны.ми1Соэффиll,uеl-tmа.милюбое nоложuтелы-tеe деuствumелы-tеeточно больших по .модулю значеl-tUЙ.местоU если kчuсло, то для достанеuзвестного х и.меетнеравенство(2)т.
в, .модуль старшего члена будет больше .JtодуляостаЛbrtых члеl-tов, nрито.А! во С1Соль1СО угодно раз.су.ммы всехВ самом деле, пусть А-наибольший из модулей коэффициентова1 ,а2 ,•• '1аn:АТогда (см. 13§ 18= тах (j а 1 1, I а 2 /,свойствамодулей... ,/а n 1).суммы и произведениякомплексных чисел)1а 1 х n - 1 + а 2 х n - 2 + ...
+ а n l~ / а 1 11 х ,n- 1 + 1а 2 11 х jn- 2 + ...... +lаnl~А(lхln-l+/хln-2+ ... +1)=АII:I~ /.ПолагаяJхI>1, МЫ получим:I х In-lI х ,nIxl-l <Ixl-llоткуда§ 23]ОСНОВНАЯТаким образом, неравенствобудет выполняться, если Х удовле(2)творяет, помимо условия 1 х 1>151ТЕОРЕМАтакже неравенству1,kA 1~ ~ ,N 1 ~ 1аохn 1= 1а о 11 х In •т.е.если(3)Так как правая часть неравенстваждать,что для значений х,(3)большеудовлетворяющих1,то можно утверэтому неравенству,имеет место неравенство(2), что доказывает лемму.Л е м м а о в о з р а с т ан и и м одулям н о г о ч л е н а.Длявсякогомногочлена / (х)скомплекснымикоэффициентами,степень которого не меньше единицы, и всякого nоложительн.огодействительного числа М, сколь угодно большого, можно подобрать та/сое nоложuтельн.ое деiiствительное число N, что приIxl>NБУдет If(x) '>М.Пусть/По формуле1/ (х) 1=(х) = аох n+ a1xn - 1 + ...
+ аn•(11) § 18J аох n+ (a1x n - 1 + ... + аn) 1;;;.;;;'1 аохn \ - \ a1xn - 1 + ... + аn !· (4\При мени м лемму о модуле старшегоствует такое число N 1 , что при хчлена, положивN 1 будетI I>\ аох n \ >k = 2:суще2\ a1xn - 1 + ... + а n 1.Отсюдат. е., по(4),Ilравая часть этого неравенства будет больше А1 приVТакимобразом,при2MIx!>N2 =laol'Ix\>N=max(N1 , N 2 )будетI/(Х)!>А1.Смысл этой леммы может быть выяснен при помощи следующейгеометрической иллюстрации, которая в настоящем параграфе будетнеоднократно использоваться.
Предположим, что в каждой точке х окомплекснойкуляр,длинаплоскостикоторогокэтой(приплоскостизаданнойвосставленединицеперпендимасштаба)равна1.модулю значения многочлена /(х) в этой точке, т. е. равна '/(х о )Концы перпендикуляров будут составлять ввиду доказанной выше152МНОГОЧЛЕНЫиих[гл.КОРНИ5непрерывности модуля многочлена некоторую непрерывнуюкривуюповерхность, расположенную над комплексной плоскостью. Лемма о возрастаниимодулямногочленапоказывает,чтоэтаповерхностьвозрастании 1 х о 1 все больше и больше удаляется отплоскости,вовсенехотя,понятно,являетсяприкомплекснойэтоудалениемонотонным.Рис.8схематически изображает линию пересеченияэтойповерхностиперпендикулярнойксплоскостью,комплекснойплоскости и проходящей через точку О.Основную роль в доказательстве играетоРис.этому8.1[(хо) 1>следующаяЛ е м м апричто[(х о + h)формулеЕслих =- х о многочлен [(х) степени п, n ~ 1,не обращается 8 нуль, [(xo)=I=O и поО, то .можно найти такое прuращение h, 8 обще.м.СЛУ'tае КОМllлексное,Полемма:Д а л а м б ера.Тэйлора,если1< I[(xo) 1·приращениеhпокапроизвольно,будет[(хо + h) = [(хо) + h[' (х о ) + ;~ [" (х о ) + ...
+ ~~ рn) (Х о )'По условию, х о не является корнем для [(х). Случайно, одна ко,это число может оказаться корнем для [' (х), а также, быть может,для некоторых из дальнейших производных. Пусть k-я производная (k~ 1) будет первой, не и,меющей х о своим корнем, т. е.[' (х о ) = [" (х о ) = ... =[<"-1) (хо )Такое= О,[(k)(xo)=f=O.существует, так как, если а о есть старший коэффициентkмногочлена [(х), тоТаким образом,[(х оh+ h) = [(хо) + kТ[<k) (х о ) +h'l+l [(k+ 1) ( ) ++ nгh n [(n) ( )+ tk+l)!хо•••Хо 'kНекоторые из чисел [<k+l) (х о ), •.. , [<n- о (х о ) также MorYT равнятьсянулю,ноэтодлянаснесущественно.деля обе части этого равенства на [(хо), отличное, по условию,от нуля, и вводя обозначение__ f(j) (х о )Cj-jlf(xo)'j=k, k+1, ...
, п,§ 23]мы153ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМАполучим:f(xo+h)'(хо)или, ввидуCk=kk 11 +Ck h +Ck+1 h ++ ... +cnhn=F О,f(xo+h)t (хо)-(I+с hk)+c hk (Ck+l h+k-kCk• ••+~hn-k)Ck'Переходя к модулям, получим:It j(~ I~ 11 + Ckhk 1+ 1Ckhk 11 C::i h + ... + ~: hn- k 1.h)(5)До этого момента мы не делали никаких предположений о приращении h. Теперь мы будем В ы б и р а т ь h, причем будем отдельновыбирать его модуль и его аргумент.следующим обраЗ0М. Так какМодульhбудетвыбиратьсяck+l Iz+ ••• +~ h n- kCkCkявляетсямногочленом(полагая8= ; ).отбезhсвободногоможно найти такоеICk+1 hCkчлена,что при61'+ ... + ~h n- k I<Ckто,по лемме1h 1<611будет(6)21 •С другой стороны, прибудет<1Ck hk 1Положим, что модульhвыбран в соответствии снеравенством< min (61'1h 1Тогда,ввиду(6),(7)1.неравенство(5)(8)62)'превращается в строгоенеравен-ство·(9)условиемДля(7)мы воспользуемся лишь позже.выборааргументаh~отребуем,чтобычислоCkhkбылоотриuательным действительным числом.
Иными словами,arg (ckhk)=arg ck+k arg h=1t,откудаarg h =n-argckk•(10)154МНОГОЧЛЕНЫПри этом выборейих[гл.КОРНИ5h число ckh" будет отличаться знаком от своейабсолютной величины,а поэтому, используя неравенство11 +(7),ckhkl =11-1 ckh k I1 = 1-1 ckhkl.Таким образом, при выборенеравенствоh на основании условий (8) и (10)(9) принимает видItf(Xo+h)!(Х о )< 1-11!1ckh k 1+21 ckh k 1=1-2 ckhkl ,т. е.
тем болееотку даследуетI/(xo+ h) I <I/(x o) 1,что доказывает лемму Даламбера.При помощи той геометрической иллюстрации, которая быладана выше, можно следующим образом пояснить лемму Даламбера.Дано, что '/(хо)о. Это значит, что длина перпендикуляра, вос,1>ставленного к комплексной плоскости в точке хо, отлична от нуля.Тогда, по лемме Даламбера, можно найти такую точку X 1что1/(x1) 1< I/(xo) 1,т. е. перпендикуляр в точкеx1= Хо + h,будет болеекоротким, чем в точке хо, и, следовательно, поверхность, образованнаяконцамиперпендикуляров, будет в этойсколько ближе к комплеКСIiОЙтельство леммы, модульhплоскости.новойточкенеКак показывает доказаможно считать сколь УГОДIiО малым, т.
е."точку x 1 можно выбрать как УГUДНО близко к точке хо; мы небудем,однако, пользоваться в дальнейшем этим замечанием.Корнями многочлена /(х) будут служить, очеВИДIiО, те комплексные числа (т. е. те точки комплексной плоскости), в которыхповерхность, образованная концами перпендикуляров, коснется этойплоскости. Опираясь лишь на лемму Даламбера, нельзя доказатьсуществование таких точек. В самом деле, пользуясь этой леммой,можнонайтитакуюбесконечнуюпоследовател~ностьточекХО,x 1'Х2 ,••• , что'/(хо) 1> 1/(x1 )1> If(x 2 ) \> ..
,(11 )Отсюда не следует, однако, существование такой точки Х, что / (х) =0,тем более, что убывающая последовательность положительных действительных чисел (11) вовсе не обязана стремиться к нулю.Дальнейшие рассмотрения будут основаны на одной теореме изтеории функций комплексного переменного, обобщающей теоремуВейерштрасса, известную читателю из курса математического анализа.Она относится к действительным функциям комплексного перемен-§ 23]ОСНОВНАЯного, т.
е. к функциямлишь155ТЕОРЕМАкомплексногопеременного,действительные значения; примеромтакихпринимающимфункцийслужитмодуль многочлена. В формулировке этой теоремы мы будем говоритьдля простоты О заМlCнутомкомплексной плоскости,ICруге Е, понимаяподк которому присоединеныэтимвсекруг наточкиегограницы.ЕслиногохдействительнаяфунlCll,UЯнепрерывнавовсехсуществует в ICругеЕтаlCая(х)gтОЧlCах1C0мnлеICсного nеремензаМlCнутоготОЧlCахо, чтоICругадляЕ,товсех х из Еимеет место неравен.ство g (х) ;;;:. g (Х о )' ТОЧlCа х о является, следовательно, точlCОЙ .ftиниму.ttа для g (х) в ICруге Е.Доказательство этой теоремы можно найти во всех курсах теории функций комплексного переменного, и мы его не приводим.Ограничиваясь случаем, когда функция g(x) неотрицательна вовсех точках круга Е,- толькоинтерес,- пояснимэтотгеометрическислучай представляет д.'IЯ насэтутеоремуприпомощитойиллюстрации, которая уже использована выше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
