1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 28
Текст из файла (страница 28)
В самом деле, в качестве наибольшегообщего делителя двух взаимно простых многочленов можновзятьлюбое число, отличное от нуля, но, умножая его на обратный эле~мент,мыполучимединицу.При м е р. Найти наибольший общий делитель многочленовПрименяя алгоритм Евклида к многочленам с целыми коэффициентами,мы можем, чтобы избежать дробных коэффициентов, умножить делимое илисократить делитель на любое не равное нулю число, причем не только начиная какое-либо из последовательных делений, но и в процессе самого этогоделения. Это будет приводить, понятно, к искажению частного, но интересующие нас остатки будут приобретать лишь некоторый множитель нулевойстепени, что, как мы знаем, при разыскании наибольшего общего делителядопускается140МНОГОЧЛЕНЫДелимf (х)ИихКОРНИнаg (х), предварительно умноживt (.t")3х 4++2х-39Х 3-3Х 2 -12Х-9/3Х 33х 4 +10х 3 +2х 2 -3х+'Ох 2на3:х+'-х 3 -5х 2 -9х-9(умножаем на-3)3х 33х 3+ 15х 2 + 27х + 27+ ,ох +2х- 3а5х 2 +25х+30Таким образом, первый остаток, после сокращення па=х 2 +5х+6.
Делим на него многочлен g(x):Зх3Зх 3+ !Ох 2 + 2х + 15х + 18х3/ х2 + 5х + 6-5х 2 -16х-32-5х 2 -Вторымостатком,послеТак как=3х-525х-309х'2(Х)=Х+3будет '1 (х)5,+27.сокращенияна9,будет,следовательно,='2 (х) (х + 2),'1 (х)то '2 (х) будет тем последним остатком, на который нацело делится предшествующий остаток. Он будет, таким образом, искомым наибольшим общимделителем:(f(х),g (х»Используем алгоритм Евклида=х +3длядоказательстваследующейт е о р е м ы:Еслииg (х),fd (х) есть наибольший общий делитель многочленов (х)то можно найти такие многочленыи (х) U" v (х), чтоf(х) и (х)+g (х) 'V (х) =d (х).Можно считать при этом, если степени многочленов(3)f(х) иg (х)больше нуля, что степень и (х) меньше степени g(x), а степень'V (х) меньше степени(х).Доказательство основано на равенствах (2). Если мы учтем, что'k (х)d (х), и положим и 1 (х)1, 'V 1 (х) = - q k (х), то предпоследнее из равенств (2) даст:f==d (х)= 'k-2 (х) U1 (х) + 'k-l (х) 'V 1 (х).Подставляя сюда выражение 'k-l (х) через 'k-3 (х) и 'k-2 (х) из предшеств ующего равенства(2),мы получим:d (х) = 'k-З (х) и 2 (х)+ 'k-2 (х) 'V 2 (х),=где, очевидно, и 2 (х)'V 1 (х), 'V 2 (х) = U 1 (х) -'V 1 (х) qk-l (х).Продолжая ПОДltиматься вверх по равенствам (2), мы придем, HaKoHelt,к доказываемому равенству(3).Для доказательства второго утверждения теоремы предположим,что многочлены U (х) и 'V (х), удовлетворяющие равенству(3),уже§ 21}ДЕЛИТЕЛИ.НАИБольшиli ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ141найдены, но, например, степень и (х) больше или равна степениДелим и (х) на g(x):и (х)= g(x) q (х) -1- r (х),где степень г(х) меньше степениние вg (х).g(x),и подставляем это выражеМы получим равенство(3).(х)jr(х)-1- g (х)Степень множителя, стоящего припень многочлена,-1- f(x) q (х)] =(х)[v(х), уже меньше степениjстоящего в квадратныхочередь меньше степениd (х).скобках,g (х).будетСтев своютак как в противном случае степеньj(x),второго слагаемого левой части была бы не меньше степени произведенияg (х) j(х),а так какстепеньстепени этого произведения,первогослагаемого меньшето вся левая часть имела бы степень,б6льшую или равную степениg(x)j(x), тогда как многочлен d(x)заведомопредположениях,имеет,принашихменьшуюстепень.Теорема доказана.
Одновременно мы получаем, что если многочленыj(х) иg (х)имеют рациональные или действительные коэффициенты, то и многочлены и (х) и(3),ствунальнымиствуv(х), удовлетворяющиеравенможно подобрать так, что их коэффициенты будут рациоили,соответственно,При м е р. Найдем(3) придействительными.многочленыи (х) иv (х),Применим к этим многочленам алгоритмудовлетворяющиеравенЕвклида, причем теперь привыполнении делений уже нельзя допускать искажения частных, так как этичастные исполиуются при разыскании многочленов и (х) н v (х).
Мы получнмтакуюсистемуравенств:f (х) =g (х) + (-7х 2 + 12х+4);Ig(x)=(-7x 2+12x+4) (-7"Х-54)49235+-;и-(х-2)i_7х 2 + 12х+4=(х-2) (-7х-2).Отсюда следует, что и(х),и чтоg(x»=x--27Мu (Х)=235Х+235 ,75V(X)=-235 X -235'Применяя доказанную сейчас теорему к взаимно простым многочленам,мы получаемМн,огочлен,ыесли.м,ож1tоf(x)такойин,айтиgрезультат:(х) тогда и толЬ/со тогда взаи.м,н,о просты,.м,н,огочлен,ыравен,ствуf(х) и (х)u (х) u v(х),+ g (х) v (х) = 1_удовлетворяющие(4)Опираясь на этот результат, можно доказать несколько простых,новажныхт е о р е мов3а и м н опро с ты хм н о г о ч л е н а х:142МНОГОЧЛЕНЫ1 (х)а) Если .мн.огочлен.Иихбзаи.мн.о[ГЛ.КОРНИ5nрост с кажды.м из .Atl-lОеочленов ер (х) и 'Ф (х), то он взаи.Аtн.о nрост и с их nроизведение.Аt.В самом деле, существуют, почто(4),такие многочлены и (х) и v (х),1 (х) и (х) + ер (х) v (х) = 1.Умножая это равенство на 'Ф (х), получаем:+ [ер (х) 'Ф (х)] v (х) =I(x) [и (х) 'Ф (х)]'Ф (х),отку да следует, что всякий общий делитель лх) и ер (х) 'Ф (х) был быделителем и для 'Ф (х); однако по условию (f(x), 'Ф (х)) = 1.б) Если произведение .многочлен.ов лх) и g (х) делится н.а ер (х),но(х) и ер (х) взаи.мно просты, то g (х) делится на ер (х).1В самом деле,умножаяравенство1 (х) и (х) + ер (х) v (х) =наg (х),1мы получим:+ ер (х) [v (х) g (х)] = g (х).[f(x) g (х)] и (х)Оба слагаемых левой части этого равенства делятся на ер (х); на негоделится, следовательно,и g (х).в) Если .Аtн.огочлен I(x) делится н.а каждый из .Аlн,огочлен,овер (х) и 'Ф (х), которые .Аtежду собой бзаи.мн,о просты, то лх)делится и н,а их nроизведен.ие.Действительно,1 (х) = ер (х) q; (х),справа, делится на 'Ф (х).q; (х) =Поэтому,'Ф (х) 1jj (х), откуда j (х)=так что ~роизведение, стоящеепо б), ер (х) делится на 'Ф (х),[ер (х) 'Ф (х)]1jJ (х).Определение наибольшего общего делителя может быть распространено на случай любой конечной системы многочленов: н.аибольши.мобщи.м делителе.м многочленов(х),(х), ...
,(х) называется12/118такой общий делитель этих многочленов, который делится на любойдругой общий делитель этих многочленов. СуществоваНllенаибольшегообщего делителя для любой конечной системы многочленов вытекаетиз следующей т е о р е м ы,дающей также способНаибольший общий делитель .Аtн,огочленовего вычисления.11 (х), 12 (х),..• ,18 (х)равен. наибольше.Atу обще.му делителю .Аtн,огочлен,а j~ (х) и н,аибольшего общего делителя.мн,огочлен.овВ самом деле, при 8чтО для случая8-1=211 (х), 12 (х),•..
,18-1 (х).теорема очевидна. Мы примем поэтому,она справедлива,т. е., в частности, уже доказано существование наибольшего общего делителя/1 (х), 12 (х),.•• ,/$-1 (х).Обозначим черезIsd (х)d (х) многочленовнаибольший общийделитель многочленов d (х) и(х). Он будет, очевидно, общимделителем для всех заданных многочленов. С другой стороны, всякийдругой общий делитель этих многочленов будет делителем также идляd(х),а поэтомуи дляd(х).§ 22]КОРНИ143МНОГОЧЛЕНОВв частности, система многочленов[1(х),[2(х),... , [s (х)называется взаимно простой, если общими делителями этих многочленовявляются лишь многочлены нулевой степени, т. е. если их наибольшийобщий делитель равен1.Еслиs> 2,то попарноэтимногочленымогут и не быть взаимно простыми. Так, система многочленов+ 7х+ 15,h (х) = х + хg(x) =х 2 -х-20,[(х) =х 3 -7х 23взаимнопроста,([(х"2 --12ххотяg(x))~x-5, ([(х),h(x))=x-3, (g(x), h(x))=x+4.Читатель без труда получит обобщение доказанных выше теорема)-в) о взаимно простых многочленах на случай любого конечногочисламногочленов.§ 22.Мы уже встречались вговорилиоКорни многочленов§ 20созначениямитеоретико-функциональнойточкемногочлена,зрениянакогдапонятиемногочлена.
Напомним определение.Если(1 )есть- некотороеf(C)=aOCn+alCn-1+ ...не который многочлен,а сПОЛУ<lенное заменой в выражении(1)число,то число+а n ,для [(х) неизвестного х числом си последующим выполнением всех указанных операций,значенuе.Аt многочлена [(х) при хв С\lыслев§ 20,тоалгебраическогоf(c)=g(c)=называетсяс. Понятно, что если [(х)равенствамногочленов,= g (х)определенногопри любом с.что еслиЛегко видеть также,ер (х) = [(х)+ g (х),'IjJ (х)= [(х) g (х),тоep(c)=f(c)+g(c), 'IjJ(c)=[(c)g(c).Иными словами, сложение и умножение многочленов, определенныев§ 20,превращаются при теоретико-функциональной точке зренияна многочлены в сложение и умножение функций, понимаемые в смыслесложения ·или умножения соответственных значений этих функций.Если [(с) = О, т.
е. многочлен [(х) обращается в нуль при подстановке в него числа с вместо неизвестного, то с называется корнеммногочлена [(х) (или уравнения [(х) = О). Сейчас будет показано,что это понятие целиком относится к той теории делимости многочленов, которая была предмеrом изучения в предшествующем параграфе.144МНОГОЧЛЕНЫИихЕсли мы будем делить многочлен[гл.КОРНИ5на произвольный многоj(x)член первой степени (или, как будем говорить дальше, н а лин,ейн,ый,мн,огочлен) , то остаток будет либо некоторым многочленом нулевойстепени, либо нулем,т.е.
во всяком случае некоторымчислом г.Следующая т е о р е м а позволяет найти этот остаток, не выполняясамого деllения,видавслучае, когда производится деление на многочленх- с.Остаток от деления ,многочленах-с равен значениюДействительно,jj(x) на линейныйj(x) при х = с.пустьj(х)= (х-с) q (х)+ г.Беря значения обеих частей этого равенства при хлс) = (счтодоказываетОтсюда,многочлен(с) ,мн,огочлена- с) q (с)= с,мы получаем:+ r = г,теорему.вытекаеттакоеисключительноважноес л е Д с т в и е:Число с тогда и только тогда будет корне,м ,мн,огочленаесли j (х) делится на х- с.С другой стороны.
если j(x) делитсяпервойх-степени(-f),ах+ Ь,тоделится,j(х),на некоторый многочленочевидно,инамногочлент. е. на многочлен вида х-с. Таким образом, разыскан,ие корн,ей ,многочлена ЛХ) равносильно разысканию его линейных делителей.Ввиду сказанного выше представляет интерес следующий методделения многочленаj(x)на линеYiный двучлен х-с, более простой,чем общий алгоритм деления многочленов.
Этот метод называетсям е т о Д о м Г о р н ера.ЛХ)и=аох nПусть+ a1xn - 1+ а 2 х - +n2+ ал(2)пустьj(x)= (х-с) q (х) +г,(3)гдеq(x)=boxn-l+ыln-2+ьzхn-з++... +bn _ 1 •Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ~ ваоа1(3),получаем:= ЬО •= b 1 -СЬ о ,a 2 =b 2 -cb 1 ,an -1аn== bn - 1 -cbn - 2 ,= r-cb n _ 1 ·=+Отсюда следует, что Ь Оа о • bkcb k _ 1 ak • k = t, 2, ... , n - t,т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
